交错级数的通项带前面的（－1）的n次方吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-28 11:13 标签： 通项趋于0级数一定收敛吗 
①任意项级数收敛则加括号还是收敛；
②正项级数无论收敛不收敛，加括号都不改变其性质，
③任一项级数任意项级数不知道收敛不收敛，加上括号就可能改变敛散性？
这三句话那几个是对的？
是收敛。
所谓“任意添加括号”就是在原有级数里随意将若干项用括号括起来看作新级数的一项。在原级数里这样添加的括号可以是有限个，也可以是无限个，只要原级数收敛，添加括号后得到的新级数就一定收敛。但请注意：原来带括号收敛的级数，去掉括号后却未必仍收敛。
绝对收敛
一般的级数u1+u2+...+un+...
它的各项为任意级数。
如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，
则称级数Σun绝对收敛
经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛
条件收敛是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。
以上内容参考：百度百科-收敛
收敛级数任意添加括号后仍然收敛。
在原级数里这样添加的括号可以是有限个，也可以是无限个，只要原级数收敛，添加括号后得到的新级数就一定收敛。但注意：原来带括号收敛的级数，去掉括号后却未必仍收敛。
例：级数：a1+a2+a3+.+an+。收敛 ，lim(a1+a2+a3+.+an)=A
现任意加括号所得级数为：b1+b2+b3+.+bm+.
设m=kn+h，则当m趋于无穷大时，n趋于无穷
lim(b1+b2+b3+.+bm)
=lim(a1+a2+a3+.+an+...+a(kn+h))=A
扩展资料
级数收敛的条件
级数收敛的必要条件是通项an趋于0。 一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。
如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法（和一个知道的收敛级数比较）。例如an=1/n，通项趋于0，但是发散。
判断级数是条件收敛还是绝对收敛
一个收敛的级数，如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说z它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。
简单的比较级数就表明，只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛；因而分解式不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。
由此易见，绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。
1是对的，在收敛前提下家括号必收敛，有这个定理(楼上举的交错级数是发散的）
3因此就错了，反例：交错级数1，-1,1，-1……，括号加在相邻两项就收敛了，而本身是发散的
2也是对的
①肯定是的错的，反例：交错级数1，-1,1，-1……
②是对的。
③是的。如果原任意项级数是收敛的，加上括号之后，一定是收敛的。
路过的来给个解释~（我就是无聊了，不用理我）
首先，2楼的答案是完全正确的~
级数的收敛性就是其部分和序列Sn的收敛性。而带括号的级数部分和序列是不带括号的部分和序列的子列Snk（这个不用解释吧……）。
如果是正项级数，由于原部分和序列有单调性，所以保证了子列收敛性与原序列收敛性的充要。
如果是任意项级数，原部分和序列不具有单调性，此时原序列收敛仍然可以得到子列收敛，但子列收敛却不能推出原序列收敛。
如果原来级数发散，则加括号后的级数可能收敛也可能发散。 对正项级数，如果原来级数发散，则加括号后的级数一定发散。

对无穷序列 ，它们的和： （ ）称为无穷级数。（无穷级数是一个和）

如果 时 存在极限A： （A可以是有确定符号的无穷），那么就称 为级数的和。如果 为有限数则称 收敛，如果为 或极限不存在则称为发散。

  1. 如果级数收敛，则其任何一个余式也收敛（修改级数前面有限个项，不影响级数的收敛或发散）
  2. 如果级数收敛，余式 随 而趋于0

365.正向级数收敛条件：

如果 有上界则收敛，否则发散

PS 特殊的正项级数：调和级数

366.比较定理（只适用于正项级数）

  1. , 为有限数时级数同时收敛/发散

368.基于比较定理的判别法

作序列 ，将其极限与 1 比较（即是看其“公比q”是否小于 1）

作序列 ,其极限小于1则收敛，大于1则发散（与柯西判别法原理相同）

每个级数 都是一个序列中的项 自然可以应用序列的定理：柯西收敛原理：对 都有 使得 任取n, m > N, 都有

即只要足够靠后， (见 第二节基本定理 第2条）

377.绝对收敛：将一般级数 都转换为 正项级数收敛问题，架起一般与正项的桥梁

证明：假如n个项中有k个正项，m个负项，
把 中的正项 抽出作和： , 负项去掉负号抽出作和
是收敛的，所以有上界（即它的极限），所以P，Q都有上界。又因为P Q都是正项级数，单调有界必收敛，于是记它们的极限为P，Q

当 时，k m都 (如果不是这样，那么k，m中有一个为有限，那么请看PS）
两边同时取极限（上面已经证明了右边存在极限P-Q）：
也就是说：一般项级数如果绝对收敛，那么它 条件收敛 且 极限为P-Q
PS 前有限项不是正项级数的，因为修改前有限项不改变其收敛性和发散性，所以可以把它改成正项级数而不影响其敛散性。

381.交错级数 收敛性的判断

①交错级数的绝对值如果单调递减

PS 容易看出，满足以上条件的交错级数的每个余式符号都与 它的 第一项相同，并且绝对值比它的第一项小

384.相乘级数 收敛性的判断

无穷乘积有许多性质可以直接类比级数，并且可以通过级数来研究无穷乘积（把无穷乘积的问题转化为级数的问题）。

并且，研究乘积其实也是在研究序列，序列的方法也可以用在乘积上。

当序列 在 时有 有限的或 的 极限P：

则称这个极限P为无穷乘积的值：

如果P为非0的有限数，则称乘积收敛；在其他情况下称其为发散。

401（1）.基本定理

  1. 如果无穷乘积收敛，它的任何一个余式收敛；如果存在一个余式收敛，那么无穷乘积收敛。（修改前有限项不影响敛散性）
  2. 如果无穷乘积收敛，则其 余式 （ ）

401（2）.利用级数研究无穷乘积

由于 ，n充分大时，所有 大于 0. 因此我们修改其前几项，使其全体大于0方便研究。

  1. 无穷乘积 收敛 级数 收敛

由于ln的连续性，由海涅定理得 有极限 收敛

为了方便，把乘积因子 写成 （因为 )

1.当对于充分大的n来说，恒有 就有：

级数 与无穷乘积 同时收敛或发散

因为 的敛散性与 等价
（因为 等价无穷小，所以根据比较原理他们同时收敛或发散）
PS 那条件中 保持符号有什么用呢？因为比较原理只能对正项级数使用）

2.如果 同时收敛（这次不要求 符号），则 收敛

3.无穷乘积为0(所有 均大于0的情况下) ln级数为

4.定义无穷乘积的绝对收敛 ln级数绝对收敛

于是绝对收敛的无穷乘积具有可交换性（绝对收敛的 具有可交换性（不需要加绝对值））

级数的主线是：判断一个级数是否收敛

不同形式的级数有着不同的判断方法：

一般项级数：通用判别法是收敛原理，更常见的是 将其转化为正项级数判断，桥梁是绝对值。

特殊的级数：交错级数、乘积级数

判断级数收敛后，收敛的级数就有一定的性质，而这些性质又可以判断其他的相关级数收敛。

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