双曲线离心率公式的方程是？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-03-25 21:35 标签： 双曲线离心率公式

圆锥曲线的切点弦是考试中的难点，尤其是双曲线。
平面中，双曲线将平面区域划分为三个部分：1、双曲线内部的点；2、双曲线上的点；3、双曲线外部的点。其中，包含焦点的部分称之为内部。当点P在双曲线内时，不存在切线与切点弦；当点P在双曲线上时，存在切线；当点P在双曲线外时，可作两条切线，两切点的连线段叫切点弦。值得一提的是，点P在内部同样对应着一条直线，这条直线叫极线。
一、试题与分析
1、【题目】
已知双曲线 C:\frac{x^{2}}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) ，过 C 外一点 P(x_0,y_0) 引 C 的两条切线 PA,PB ，切点分别为 A,B ，求切点弦 AB 所在直线的方程。
2、【分析】
如图1，可先设出双曲线的一条切线方程；然后联立双曲线，通过判别式为0，结合切点在双曲线上可求得切线的斜率，进而求得一条切线方程；接着利用点P在两条切线上，也即是同构的思想便可求得切点弦的方程。
图1
二、解答与总结
1、【法1】判别式法
设 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) ，则 \frac{x_1^{2}}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1 。
直线 PA:y=k(x-x_1)+y_1 ，代入 C 得
(b^2-a^2k^2)x^2-2a^2k(y_1-kx_1)x-a^2(y_1-kx_1)^2-a^2b^2=0 。
令 \Delta=0 得 (a^2+x_1^2)k^2-2x_1y_1k+y_1^2-b^2=0 ，
解得 k=\frac{b^2x_1}{a^2y_1} ，则切线 PA:\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1 。
同理切线 PB:\frac{x_2x}{a^2}-\frac{y_2y}{b^2}=1 ，
于是 \frac{x_1x_0}{a^2}-\frac{y_1y_0}{b^2}=1,\frac{x_2x_0}{a^2}-\frac{y_2y_0}{b^2}=1 ，
故切点弦方程为 AB:\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1 。
【注】
法1，判别式法。这个方法的好处是容易理解，坏处是计算量极大。你看到了，好和坏并不是完全对立的。在过去的几年中，常常考查这样的题型，好在大多都是以开口向上的抛物线，所以导数成为工具。这里先求得切线方程，再利用同构求得切点弦的方程，同构的思想要理解。
2、【法2】导数法
设 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) ，对 \frac{x^{2}}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
求导得 \frac{2x}{a^2}-\frac{2yy'}{b^2}=0 ，则 y'=\frac{b^2x}{a^2y} ，
于是切线 PA:y-y_1=\frac{b^2x_1}{a^2y_1}(x-x_1) ，
化简得 \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1。
同理切线 PB:\frac{x_2x}{a^2}-\frac{y_2y}{b^2}=1 ，
于是 \frac{x_1x_0}{a^2}-\frac{y_1y_0}{b^2}=1,\frac{x_2x_0}{a^2}-\frac{y_2y_0}{b^2}=1 ，
故切点弦方程为 AB:\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1 。
【注】
法2，隐函数的导数。这是推导圆锥曲线的切线方程中较简单的一种，不过由于高中没有学过这样的，所以不建议深究。考试时，如果想获得理想的分数，还是以法1为标准。
3、【法3】公式法
过双曲线 C:\frac{x^{2}}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 外一点 P(x_0,y_0) 引 C 的两条切线 PA,PB ，切点分别为 A,B ，则切点弦方程为 AB:\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1 。
【注】
法3，换一半。这实际上是圆锥曲线极点极线的性质，当点P在双曲线C上时，极线方程变为切线方程；当点P在双曲线C外时，极线方程变为切点弦的方程。正是因为极点极线才使得切线方程与切点弦方程统一成一样的方程。
以上，祝你进步。
我知道，这些年，你一定有些人不想再见，有些事不想再提。
无非都是些灰色的记忆，谁又会比谁有耐心，谁又会比谁更有勇气。
但总有一些东西你却无法回避。
我想我能帮到你，又或者你觉得值：
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编辑于 2022-01-10 21:18

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