利用二重积分计算闭区域的面积？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-09 01:16 标签： 怎么用二重积分求面积

Presentation on theme: "第三节 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件. 一. 格林公式 平面区域上的二重积分与区域 边界曲线上的曲线积分的关系。 设 D 为一平面域，如果 D 内任意闭曲线所包围的全体 点都属于 D ，则称 D 为单连通域. 否则称 D 为复连通域 DD 从直观上看，单连通域是不含有 “ 洞 ” 的区域．"— Presentation

第三节 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件

一. 格林公式 平面区域上的二重积分与区域 边界曲线上的曲线积分的关系。 设 D 为一平面域，如果 D 内任意闭曲线所包围的全体 点都属于 D ，则称 D 为单连通域. 否则称 D 为复连通域 DD 从直观上看，单连通域是不含有 “ 洞 ” 的区域． §3 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件

定理 1 （格林定理） 设函数 P(x,y),Q(x,y) 在域 D 及其边界 L 上具有一阶连续 偏导数，则 L 取正向 格林公式 先假设区域 D 既是 X- 型又是 Y-

不满足以上条件，那么可以用辅助曲 线把 D 分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区域 都满足上述条件。 再考虑一般情形,

例如 M N 两式相加，注意到沿辅助曲线的曲线积分相互抵消 注意 : 对于一般的复连通域 D( 非 “ 点洞 ”), 格林公式仍 然成立, 此时 L 为 D 的全部边界曲线且取正向。

利用格林公式，可得区域 D

例 计算, 其中 L 是矩形闭曲线

二. 平面上曲线积分与路径无关的条件 设 P(x,y),Q(x,y) 是定义在平面域 D 上的有界函数， 恒有 如果对于 D 内的任意两点 A,B 以及 D 内

设函数 P(x,y),Q(x,y) 在单连域 D 内具有一阶连 续偏导数，则下面三个条件相互等价： (3) 在 D 内曲线积分 与路径无关. (1) 在 D 内恒成立； (2) 对于 D 内任一闭曲线 C ， 应用格林公式, 有 证 (1)→(2) 因为 D 是单连域, 所以闭曲线 C 所围成的区域 G 全部在 D 内,

设 因为 连续 使 从而 设 C 为 的正向边界，则由格林公式知 矛盾, 则 (1) 得证. 三个条件循环推导了一遍，从而证明了它们相互等价

注意 :1. 常用 (1) 来判断曲线积分与路径无关 ; 2. 当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径 —— 平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径 ; 3. 如果 D 是复连通域，即使 ，曲 线积分也不一定与路径无关。 成立 例 计算 L 是通过 O(0,0),A(1,0) 和 B(1,2) 的圆周 O A B 因为 所以积分与路径无关, 取折线 OAB 作为积分路径.

例 计算 L 是不过原点且按逆时针方向的闭曲线 因为

内包含原点 记 L 和 C 所围成的闭区域为 D, 在复连域 D 内应用格林 公式, 得 则选取适当小的正数 r, 作位于 L 内的圆周 C:

1,2 合并记忆为四命题等价. 3. 全微分求积 当 Pdx+Qdy 为全微分式时， 求其原函数 u(x,y) 的过程. 与路径无关，可选平行于坐 标轴的折线作为积分路径. 如图取 为积分路径, 得

例 验证全微分式并求其原函数. 取起点为 (0,0), 由公式 全微分式 在右半平面 (x ＞ 0) 取起点为 (1,0), 全微分式 注意 : 全体原函数为

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

看有没有不可导点存在，即尖点
由y =± x和y = 1组成，向左转|向右转。

X型，就是外层积分是对x积分，即图中红色箭头部分

在区间x=- 1到x=1中，你会看到-1≤x≤0和0≤x≤1两个区间对应的函数曲线是不同的。所以这个考虑X型的二重积分要分开为"两个"部分计算。但Y型，就是外层对y的积分，图中蓝色箭头部分，同样在区间x=-1到x=1中，对应y的区间0≤y≤1。可以看到只要一个箭头就同时穿越两个曲线，所以只用"一个"积分式就能计算出来，所以Y型最适合。

同样道理，可见X型时，曲线在(1,1)这点要切换曲线函数，所以X型时要"两个"积分计算。而Y型只需要一个箭头就能同时穿越两个曲线，所以Y型时只需要"一个"积分就能算出来。
二重积分其实找到规律非常容易
第一、请搞清楚你是先积x还是先积y，下面我以先积x，后积y为例（当然反过来一样）
第二、将二重积分写成∫∫dxdy=∫dy∫dx的形式。至于y的积分区域可以先确定了，记住，后积的y的积分上下限一定是常数，而决不能出现变量。非常简单：将平面区域向y轴作垂线，整个平面区域的上下限就是y的上下限。
第三、确定x的积分上下限稍微麻烦一些，但也不难。假如x的上下限都是常数，那么整个区域一定是矩形，除此之外，上下限一定要至少出现一次自变量y。那么具体怎么确定呢？在区域内任意点做一条平行于x轴的直线，直线会和左边界和右边界有两个交点。把左边界的方程写出来，解出y，作为下限。然后同样解出上限。第四、计算，先积x，积出来的函数，将x换成上限减下限（一般是关于y的方程），然后再积分这个关于y的函数。

性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

参考资料：二重积分_百度百科

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