反常积分的审敛法分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-04-05 12:26 标签： 不定积分
反常积分 -
定义反常积分一般地，我们有下列定义
定义6.2设函数f(x)在[a，+∞)上连续，取t&a，如果极限当t→+∞时lim∫f(x)dx（t为上限，a为下限）存在，就称此极限值为函数f(x)在无穷区间[a，+∞)上的广义积分。记作∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）
即∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t为上限，a为下限）　（6.24）性质这时我们说广义积分∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）存在或收敛；
如果不存在，就说函数f(x)在无穷区间[a,+∞)的反常积分没有意义或发散
类似地，可以定义在区间(-∞，b]及取t&b上的广义积分∫f(x)dx（b为，-∞为）。
其中∫f(x)dx(b上限，-∞为下限)=lim(t→-∞)f(x)dx（b上限，t下限）　（6.26）
对于广义积分，其收敛的充要条件是：与都收敛.
广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如、分部积分法以及牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆。.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限.
为方便起见，引入记号，
这样，若为的一个原函数，则
注意：这里与是独立变化的，不能合并成。
反常积分 -
先给出瑕点或奇点的概念，若函数（或）时，则点（或点）称为无界函数的瑕点或奇点。的无穷间断点就是的瑕点。
定义6.3设函数在上连续，左端点为的，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的广义积分。记作
这时我们说广义积分存在或收敛。如果不存在，就说广义积分不存在、不收敛或发散。
注：表明从大于0的方向趋于0，已经隐含了。
类似地，设函数在上连续，右端点为的瑕点，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的广义积分。记作
这时我们说广义积分存在或收敛。如果
不存在，就说广义积分不存在、不收敛或发散。
还有，设函数在上连续，左端点、右端点均为的瑕点，如果
及均存在，其中为内的一个确定点，且与两者之间是独立变化的，就称存在或收敛，记作
如果及中至少有一个不存在，则称不存在、不收敛或发散。
对于区间端点、均为的瑕点的广义积分有存在和均存在.和都存在。
其中为内的一个确定点，且与两者之间是独立变化的，另外，设函数在上除一个内部点外连续，且内部点为的瑕点，如果和均存在，也即和都存在，其中与两者之间是独立变化的，就称存在或收敛，记作
如果及中至少有一个不存在，则称不存在、不收敛或发散。
对于内部点为的瑕点的广义积分有存在和均存在。和都存在。
广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限。
为方便起见，引入记号
左端点为瑕点时，记，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为
右端点为瑕点时，记，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为
左端点、右端点均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为
（为内的一个确定点）
(这里的值有时不必马上算出，可对抵掉。)
仅内部点为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为
注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点。有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分。若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点。若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点。
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