如何四年级数学十道解决问题这道数学题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-25 08:45 标签： 四年级数学十道解决问题
粗略的证明思路：函数单调：对任意的x，左极限f(x-)和右极限f(x+)都存在。（1）取x=a+h，y=a-h，则有 f(a)\le \frac{f(a+h)+f(a-h)}{2} \Rightarrow f(a)\le \frac{f(a-)+f(a+)}{2} （2）取x=a，y=a+2h，则有 （当 h \downarrow 0 时）f(a+h) \le \frac{f(a)+f(a+2h)}{2} \Rightarrow f(a+) \le \frac{f(a)+f(a+)}{2} \Rightarrow f(a+) \le f(a) 和（当 h \uparrow 0 时）f(a+h) \le \frac{f(a)+f(a+2h)}{2} \Rightarrow f(a-) \le \frac{f(a)+f(a-)}{2} \Rightarrow f(a-) \le f(a) 由这三式合起来推出f(a-)=f(a)=f(a+) 所以函数连续。2. 函数有界：反证法。假设存在实数a，b使得f(b)>f(a). 为了便于书写，记c=b-a和g(x)=f(x+a).则有g(c)=g(b-a)=f(b)>f(a)=g(0)和g(\frac{x+y}{2})=f(\frac{x+y}{2}+a)=f(\frac{(x+a)+(y+a)}{2}) \le \frac{f(x+a)+f(y+a)}{2}=\frac{g(x)+g(y)}{2} 在g种取x=2c，y=0，则有g(c) \le \frac{g(2c)+g(0)}{2} \Rightarrow g(c)-g(0) \le \frac{g(2c)-g(0)}{2} \Rightarrow g(c)-g(0) \le \frac{g(2^nc)-g(0)}{2^n}
所以对于每个正整数n，都有g(2^nc) -g(0) \ge 2^n(g(c)-g(0)) 由于g(c)>g(0)，这与f有界（即g有界）矛盾所以f必须是常值函数，从而连续PS：首次用知乎公式编辑器，真不习惯
考虑函数\varphi (x)=x^be^x-1 ,由 \varphi(0)\varphi(1)<0 ，知 \exists x_0\in(0,1) 使得 x_0^be^{x_0}=1 ,由 f(x_0)\ge0得 ， x_0^be^{x_0}-alnx_0-x_0-1\ge0 故 lnx_0^be^{x_0}+1\ge lnx_0^ae^{x_0}+1 得
lnx_0^be^{x_0}\ge lnx_0^ae^{x_0} 故 b\ge a

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