高一物理计算题基本类型：

1．如图所示，劲度系数为k 1、k 2的轻弹簧竖直挂着，两弹簧之间有一质量为

m 1的重物，最下端挂一质量为m 2的重物，（1）求两弹簧总伸长。（2）（选

做）用力竖直向上托起m 2，当力值为多大时，求两弹簧总长等于两弹簧原

2.一物体在斜面顶端由静止开始匀加速下滑，最初3s 内通过的位移是4.5m ，最后3s 内通过的位移为10.5m ，求斜面的总长度.

3.一火车沿平直轨道，由A 处运动到B 处，AB 相距S ，从A 处由静止出发，以加速度a 1做匀加速运动，运动到途中某处C 时以加速度大小为a 2做匀减速运动，到B 处时恰好停止，求：（1）火车运动的总时间。（2）C 处距A 处多远。

4．物体从离地h 高处下落,它在落地前的1s 内下落35m,求物体下落时的高度及下落时间.(g=10m/s 2)

5．如图所示,长为L 的细杆AB,从静止开始竖直落下,求它全部通过距下端h

处的P 点所用时间是多少?

6．石块A 自塔顶自由落下m 米时,石块B 自离塔顶n 米处自由落下,不计空气

阻力,若两石块同时到达地面,则塔高为多少米?

7．一矿井深为125m,在井口每隔相同的时间间隔落下一个小球,当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好到达井底,则相邻两个小球开始下落的时间间隔是多少?这时第3个小球与第5个小球相距多少米?

四、追击之相距最远（近）类：

8.A 、B 两车从同一时刻开始，向同一方向做直线运动，A 车做速度为v A =10m/s 的匀速运动，B

车做初速度为v B =2m/s 、加速度为α=2m/s 2的匀加速运动。（1）若A 、B 两车从同一位置出发，

在什么时刻两车相距最远，此最远距离是多少？（2）若B 车在A 车前20m 处出发，什么时刻两车相距最近，此最近的距离是多少？

9.相距20m 的两小球A 、B 沿同一直线同时向右运动，A 球以2m/s 的速度做匀速运动，B 球以

2.5m/s 2的加速度做匀减速运动，求B 球的初速度v B 为多大时，B 球才能不撞上A 球？

摘 要：本文基于虚功原理，推导了通过力学平衡方程计算运动学特性的方法，并将该方法的计算结果与数值分析法做了对比，验证了其可靠性。该方法原理简单，可以快速直观地分析硬点位置与运动学特性的关系。

关键词：悬架 运动学 硬点

在悬架硬点的设计工作中，设计者需要获取硬点参数对应的悬架运动学性能，用以优化硬点设计。目前，基于数值方法求解的计算机运动学仿真工具已得到广泛运用，能够根据硬点位置较准确地预测对应的悬架运动学特性，适合作为设计冻结前的准确分析手段。但在初期的硬点布置方案确定时，采用图解法可以更快速直观地分析硬点位置与运动学特性的关系，适合进行总体硬点布置方案的规划。

但图解法的适用范围比较有限，只能适用于麦弗逊、双横臂悬架以及从这两种悬架形式衍生的，布置方式接近麦弗逊、双横臂的多连杆悬架。对于很多特殊形式的多连杆悬架，例如E型多连杆，H臂型多连杆等，无法使用图解法进行分析。另外，图解法对于跳动转向性能的分析也十分局限。

本文提供一种简单的运动学计算方法，不需要通过数值方法求解，仅通过矩阵计算，即可根据已知硬点参数获取对应悬架姿态下各项运动学参数及其变化率，可以像图解法一样快速直观地分析硬点位置与运动学特性的关系，同时能适应绝大部分独立悬架形式。原理上，基于虚功原理，不需要深刻的运动学知识，只需要掌握基本的力学平衡方程，即可建立硬点参数与运动学特性间的关联。

下面以H臂型多连杆悬架为例，分析其弹簧杠杆比，跳动转向和外倾角变化三项运动学特性。

如图所示为H臂型多连杆悬架的一般形式，其杆件包括一根前束拉杆，一根外倾拉杆，两者沿车身Y向布置，一端与转向节通过柔性衬套连接，另一端与车身或副车架通过柔性衬套连接;H形控制臂，与副车架（或车身）通过两个衬套铰点连接，形成一个内枢轴，另一端与转向节之间除了有一个直接连接的衬套铰点外，还通过一根沿车身Z向布置的小连杆连接，该小连杆通过两个衬套分别较与H形控制臂和转向节。

这类悬架可以以紧凑的纵向布置实现较理想的侧视图运动学特性，其H形控制臂的受力情况较复杂。

如图，硬点坐标系OXYZ取车身后方为X轴正方向，车身右侧为Y轴正方向，竖直上方为Z轴正方向。

设外侧（转向节侧）硬点坐标：

取轮心O坐标为原点;外倾拉杆外点D1坐标为XD1，YD1，ZD1。

前束拉杆外点D2坐标为XD2，YD2，ZD2。

H形控制臂连接转向节的外铰点D3坐标为XD3，YD3，ZD3。

转向节连接小连杆的铰点D4坐标为XD4，YD4，ZD4。

由内侧和外侧（车身/副车架侧）硬点坐标，可计算外倾拉杆、前束拉杆和小连杆的内外硬点连线矢量，由于这三根连杆内外铰点可等效为球铰，忽略其惯量，连杆可视为二力杆，该连线矢量也即连杆的受力方向。

简明起见，此处直接设连杆的内外硬点连线单位矢量：

外倾拉杆内外硬点连线（由内点指向外点）单位矢量f1=[f1X;f1Y;f3Z];

前束拉杆内外硬点连线（由内点指向外点）单位矢量f2=[f2X;f2Y;f2Z];

小连杆内外硬点连线（由控制臂较点指向转向节较点）单位矢量f4=[f4X;f4Y;f4Z]。

设连接H形控制臂的弹簧下点S坐标为XS，YS，ZS;

H形控制臂内枢轴上的某点E坐标为XE，YE，ZE;

H形控制臂连接小连杆的外铰点D5坐标为XD5，YD5，ZD5;

弹簧轴线单位矢量（由上点指向下点）为fS=[fSX;fSY;fSZ];

以轮心为参考点，设车轮（转向节）受到的外部作用力为F=[FX;FY;FZ];

设车轮（转向节）受到悬架杆件的作用力：

转向节受到外倾拉杆作用力大小为F1（力由杆件指向转向节方向为正）;

转向节受到前束拉杆作用力大小为F2（力由杆件指向转向节方向为正）;

转向节受到小连杆作用力大小为F4（力由杆件指向转向节方向为正）。

则关于转向节有受力平衡方程：

其中FH为硬点力向量，FT为轮胎外力向量，AT2H为转化矩阵，对应有：

则可根据硬点受力求车轮受力情况，反之亦然 。

当根据车轮受力求得硬点力时，可进一步求得弹簧受力。分析方法与转向节受力分析相同：设弹簧力为Fs（弹簧受压缩力为正）;以H形控制臂内枢轴上任一点E为参考点，将车身/副车架对控制臂的作用力和力矩设为对该点的FE=[FEX;FEY;FEZ]和ME =[MEX;MEY;MEZ]，则有ME×I=0，结合以求得的F3=[F3X F3Y F3Z]与F4，以及H形控制臂相关硬点位置，对控制臂做受力分析得平衡方程：

其中FH2为控制臂外硬点受力向量，FI为内枢轴及弹簧力向量，AH2I为转化矩阵，对应有：

简明起见，略去AH2I表达式。

1.2 弹簧杠杆比分析

弹簧杠杆比为单位车轮跳动量对应的弹簧压缩量，同时也等效于悬架静态压缩时单位弹簧弹力变化对应的车轮垂向力变化。则根据前面的力学平衡方程求出加载车轮垂向力时，产生的弹簧力Fs与车轮垂向力Fz的对应关系，即可求出杠杆比。

可以看到，杠杆比表达式中的系数都是仅由硬点位置决定的参数，因此可由硬点参数直接导出杠杆比。

1.3 跳動转向/外倾角增益分析

跳动转向为单位车轮跳动量对应的前束角变化。根据虚功原理，可以知道，其等效于车轮受到单位回正力矩对应的车轮垂向力变化。因此根据力学平衡方程，求出加载车轮回正力矩时，产生的垂向力Fz与回正力矩Mz的对应关系，即可求出跳动转向值。

由前面的平衡方程可知，如果转向节硬点处受力都是未知量，根据现有的平衡方程数量不足以直接求出Fz与Mz的关系，因此需要增加一个约束条件：加载回正力矩Mz时，弹簧受力Fs不产生变化。

这样，若要直接求Fz与Mz的关系，就需要将前面的方程（1）和（5）联立，计算较复杂;为简化方程，我们可以分三步计算：①求仅加载垂向力Fz时，产生的弹簧力Fs变化与Fz的关系;②求仅加载回正力矩Mz时，产生的弹簧力Fs变化与Mz的关系;③最后将前两步的计算结果联立，求Fs不变时垂向力Fz变化与Mz的关系。

显然，第①步在前面求杠杆比时已经完成。按照同样的方式进行第②步，求弹簧力随回正力矩的变化率MAlign：

求跳动转向（角度以弧度表示）：

同理，外倾角增益——单位车轮跳动量对应的外倾角变化，可以转化为求加载车轮倾覆力矩时，保持弹簧力Fs不变，产生的垂向力Fz与倾覆力矩MX的对应关系。

可得外倾角增益（角度以弧度表示）：

上面以三个常见运动学特性为例，进行了推导，它们都可以根据硬点参数直接计算。同理可推导出大部分运动学特性参数的表达式，包括侧倾中心高度，抗制动点头角，抗加速后蹲角，车轮跳动俯仰变化率等等（需要对轮胎接地点进行分析）。还可以方便地推导出一些不常见，但实用的运动学关系，例如外倾拉杆长度变化对车轮外倾角变化的影响、前束拉杆长度变化对车轮前束角变化的影响等，用于估算前束/外倾角调节机构所需满足的调节范围。

注意这种方法推导出的变化率都是输入的硬点参数对应悬架行程下，相应的变化率，不能体现整个跳动行程中运动学参数曲线的整体走向。

大部分常见独立悬架形式，如麦弗逊，双横臂，E型多连杆，五连杆等等，都适用该分析方法。

2 与数值分析方法的计算结果对比

取同样的H臂型多连杆悬架形式，设置同样的硬点参数，对其运动学特性分别用数值方法做运动学求解，以及用上述力学分析方法计算，其结果如下。

表1是用数值方法分别在轮心位置为-2mm，0mm和2mm处求解得到的几项悬架参数值，下面分别计算这几项参数随轮心垂向跳动的变化率，并将其与力学分析方法直接计算得到的变化率放在一起对比，如表2所示。

可以看到，受力分析法得到的变化率在数值方法求解得到的两组值之间。可以预见，随着数值分析步长的减小，其计算结果将越来越接近受力分析法的计算结果。

从前面的分析可以知道，受力分析法计算的变化率都是通过体现硬点参数的解析式直接计算得到的，不需要进行数值迭代，因此该方法虽然不能体现运动学参数曲线整体走向，但在求参数变化率时，一方面更节约计算资源，另一方面精度更高，其精度完全取决于四则运算的精度，不受迭代方法影响。

用数值分析法做运动学求解时，如果结合该分析方法，做不同悬架行程下的参数变化率计算，可以在采用较大步长时仍不影响精度。

本文基于虚功原理，推导了通过力学平衡方程计算运动学特性的方法，并将该方法的计算结果与数值分析法做了对比，验证了其可靠性。

3.1 该计算方法的优点：

（1）通过解析式计算，速度快（编辑公式后可即时得到结果），精度高;

（2）原理简单，便于实现。

3.2 该计算方法的缺点：

不能直接体现运动学参数曲线的整体走向。

3.3 该计算方法的适用场合：

（1）硬点初步设计时，代替图解法，对较复杂的悬架形式做初期布置方案的确定（建议用Excel实现）;（2）估算前束/外倾角调节机构所需满足的调节范围;（3）数值分析法做运动学仿真时，结合该分析方法求解，提高部分参数计算精度。

[1]王霄峰.《汽车悬架和转向系统设计》.

[2]（美）E·J·豪格 著，刘兴祥等译.《机械系统的计算机辅助运动学和动力学》.

吕近添：（1995.02—），男，湖南冷水江人，本科，试验工程师。研究方向：汽车操纵稳定性和车辆动力学。

手柄的ps键和□键进了油，回弹不起来 拆下来换胶垫，然后 发现r2和l2的2个弹簧不知道怎么装了，哪位好心人告诉下 谢谢！