怎么用导数判断函数在某点的求导和求极限的区别值？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-10 17:26 标签： y=x^x的导数

P）——图中的(PP^{'})这条直线，(PP^{'})就叫作曲线在点P处的切线（割线的极限位置就叫作切线），这些割线的斜率(frac{Delta_{y}}{ ight))也是切线的斜率。

必须明确指出的是点(mathbf{Q})必须分别从左右两边逼近于点P并且过程中的产生的割线(mathbf{ ext{PQ}}^{mathbf{''}})…都要逼近于同样的极限位置才能说曲线在P点有切线。如何判断Q分别从两边向P逼近时产生的割线的极限位置是否相同呢？当然不能凭眼睛看一看就说位置相同，我们可以先计算Q从左边向P逼近时产生的割线的斜率的极限，然后再对比Q从右边向P逼近时产生的割线的斜率的极限，若二者相等，那么就可以断定Q分别从两边向P逼近时产生的割线的极限位置相同。通过这个判定条件我们可以知道一些有尖角的曲线在尖角处没有切线，比如y=|x|在(0,0)处就没有切线（左边的割线斜率极限是-1，右边的是1，二者不等），下图的曲线在P处（尖角）也同样没有切线。
一个函数如果在某点具有导数（要求左导数等于右导数），那么其图像在该点必然也具备上述切线存在的要求，所以函数在某点有导数预示着其图像在该处有切线，反之则不然，比如对于(y = x^{frac{1}{3}})的图像，
其在x=0处并无导数（我们要求导数值必须是实数，但此处非也，所以“无导数”），但是函数图像在x=0处的切线就是纵轴x=0，可以通过将函数图像旋转90°后用本文中切线定义的方法证明之，所以函数在某点无导数并不能说明其图像在该处无切线。

现在我们对比一下本文中切线的定义和文章开头提到的圆或椭圆的切线定义——不难发现，本文中切线的定义除了适用于给圆或椭圆定义切线外，还适用于给很多别的曲线定义切线，也就是说本文中切线的定义具有更广泛的意义，在接受了这个更广义的切线定义后我们便不再拘泥于中学时期的切线定义，下面两图中的水平直线均为曲线在P点处的切线，并且切线和曲线不再只有一个交点，另外图中的切线也穿过了曲线，有些书上介绍初等的切线定义时要求切线不能穿过曲线，但在广义切线定义中便再无此要求。
为什么要研究切线呢？促使数学家们研究这个问题的原因之一是始于十六世纪的最优化问题，比如在几何、机械和光学领域求最大值或最小值的问题，解决起来要用到切线，下面举一列作简要介绍。在一个函数图像上，极大值对应着一个代表峰顶的点并且它比周围的其它点都高，极小值对应着一个代表谷底的点并且比它周围的其它点都低。在下图中，B就是一个极大值点，C是一个极小值点，
为了用统一的方式刻画极大值和极小值的这种性质，我们可以从图像上发现在极大值和极小值点处的切线都平行于x轴（可以严格证明该结论），此时切线斜率均为0，也就是说我们可以通过解方程(f^{'}left(

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摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念，目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理， 通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法，以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用，使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化。

关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法

弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键。数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理，为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握，作为对教材内容的适当扩充和补充，我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法。

定义 设函数f（x）定义在区间I上，若对于任意的ε>0，存在δ>0，对任意的x1，x2∈I。只要x1-x2

引理1若函数f（x）在［a，b］及［b，c］都一致连续，则f（x）在［a，c］上一致连续。

注：改［b，c］为［b，+∞］时，结论也成立。

引理2设函数f（x）在区间I上满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对I上任意x'，x''两点，都有f（x'）-f（x''）≤Lx'-x''，则f（x）在区间I上一致连续。

从一致连续函数的定义及非一致连续函数的图像分析易知，函数的一致连续性与函数“陡度”有关，函数在某点附近的“陡度”大，曲线在该点附近的切线斜率的绝对值就大，反之亦然，若函数可导，则“陡度”大小与导数值的“大小”有关，故有如下导数判断法。

定理1设函数f（x）在区间I上可导，且f'（x）在区间I上有界，则函数f（x）在区间I上一致连续。

证明：由已知，f'（x）在区间I上有界，于是存在常数M使得对x∈I，有f'（x）≤M（M>0）。由微分中值定理，对任意的x1，x2∈I，有f（x1）-f（x2）=f'（x）x1-x2≤Mx1-x2。即f（x）在区间I上满足Lipschitz条件，于是由引理2知f（x）在区间I上一致连续。

注：f'（x）在I上有界是f（x）在I上一致连续的充分而非必要条件。例如函数f（x）=xx在（0，1）上一致连续。事实上，f（x）=xx在（0，1）内连续，且f（x）=1，f（x）=1，但是f'（x）=（exlnx）'=exlnx［lnx+1］-∞（x0+）。

定理2 若函数f（x）在区间［a，+∞）（或（-∞，b］）上可导，且=+∞（或f'（x）=-∞，则f（x）在［a，+∞）（或（-∞，b］ ）上非一致连续。

定理3 若函数f（x）在区间（-∞，+∞）内连续，且f（x）和f（x）都存在，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

根据引理1即知f（x）在（-∞，a］上一致连续。

由定义1和引理1知f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

根据定理3容易得出以下推论：

推论1 ：函数f（x）在［a，+∞）内一致连续的充分条件是f（x）在［a，+∞）内连续且f（x）与（x）都存在。

推论2 ：函数f（x）在［a，+∞）内一致连续的充分条件是f（x）在［a，+∞）内连续且f（x）都存在。

推论3： 函数f（x）在（-∞，b）内一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，b）内连续且f（x）与f（x）都存在。

推论4： 函数f（x）在（-∞，b］内一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，b］内连续且f（x）存在。

定理4 函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，g（x）在（-∞，+∞）上一致连续，且f（x）-g（x）=0，f（x）-g（x）=0，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

证明：只需证函数f（x）在［a，+∞）上一致连续，对ε>0，因为f（x）-g（x）=0，则?埚X1>0，当x>X1时，有f（x）-g（x）

令X0=X1+1，在［a，X0］上，因为f（x）连续，故必一致连续，所以?埚0

因为g（x）在［X1，+∞）上一致连续，则?埚δ2>0，x1，x2∈［X1，+∞），当x1-x2

故f（x）在［a，+∞）上一致连续，同理可证f（x）在（-∞，a］上一致连续，所以f（x）在（-∞，+∞）一致连续.

[1]鞠正云.用导数判别函数的一致连续性[J].工科数学，1999(15).

[2]林远华.对函数一致连续性的几点讨论[J].河池师专学报,2003(4).

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