两个标准正态分布的和服从什么分布服从什么分布？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-29 12:11 标签： 两个标准正态分布的和服从什么分布

最近在家隔离，楼主就来写一个比较完整的回答吧。

  1. 首先，数据的分布可能多种多样。我们给两三个例子，均以直方图为例子。第一，数据可能是这样偏左分布的：

第二，数据可能是这样偏右分布的：

第三，数据的分布可能是或高或低的：

此外，在现实生活中，很多时候，数据可能是围绕着一个中心分布，不偏左、不偏右、也不或高或低，呈现一种中间高、两边低的趋势，我们称之为“正态分布”：

“正态分布”的形状类似于一个钟，又可以称之为“钟形曲线”

2. 生活中，有哪些数据通常是服从“正态分布的”？

第一，人类的身高；第二，机器制造的产品的大小；第三，测量误差；第四，血压；第五，考试分数。正是因为“正态分布”的数据在生产生活中经常出现，所以这是其备受重视的原因之一。此外，“正态分布”也叫“高斯分布”（纪念德国天才数学家高斯）。

3. 正态分布的简单性质。第一，平均数=中位数=众数；第二，关于中心对称；第三，50%的数据比平均数小，50%的数据比平均数大。

“正态分布”的性质示意图

4. 如何检验一批数据是否服从“正态分布”。第一，最简单也是最直观的方法，使用直方图：

如上图所示，如果直方图出现“中间高，两边低”的趋势，则我们可以说它近似服从正态分布。（这种做法简单有效，但是不严谨。）

如上图所示，如果QQ图中的数据点近似分布在一条直线附近，那么我们就说其近似服从“正态分布”。这种方法也是简单有效，不太严谨。

第三，量化检验方法一。量化检验方法分为两个学派，第一个学派就是我们说的频率学派（Frequentist tests）。常用的方法有：

  • (只有在零假设下，均值和方差已知才可用),
  • (基于KS检验, 从样本中估计均值和方差),

上述几种量化检验方法需要一定的统计学知识才能懂得其原理，此处不加以介绍。需要一定的编程基础，使用R、Python、MATLAB、SPSS等才可以实现。手工计算一般不太现实。其中皮尔森卡方检验是最常用的，其次是KS检验和Shapiro-Wilk检验。

第四，量化检验方法二。贝叶斯学派的检验（Bayesian tests）。计算slope和variance的整体后验分布的，会给出一个类似于Shapiro-Wilk检验的检验结果。

PS：借图说明一下偏态分布是什么概念。

事件A是一个随机事件，所有可能性汇总可以用正态分布函数N（μ，σ2）描述。其中μ是事件A在无限次触发下的结果的平均值（也叫数学期望，expectation）；σ是这个事件的随机值的标准差（stand deviation）。标准差右边的2，是平方的意思（下同）。因为此处好像没有按钮让我打上标。

标准正态分布（Normal distribution），即N（0,1）的含义是，有一个随机事件B满足【无限次触发下，均值为0，且这些随机数们的标准差是1】。

对于函数P（X<10）的含义是，某个事件触发的结果在数字10以下的可能性的总概率是多少。P的含义是possibility。显然这个可能性的范围只会在[0,1]之间。

假设事件M服从标准正态分布N（0,1），写作M～N(0,1)。波浪线代表“服从”的意思。那么P（X<3）的意思就是事件M随机到3以下的数字的总可能性有多大。

对于这样的特殊事件M，因为我们已经知晓其～标准正态分布，所以如果我们若是画出标准正态分布的函数图像，就可以在图中用几何方法标识出P的具体大小。

标准正态分布的函数解析式为

标准正态分布的函数解析式

下图所示为标准正态分布的函数图像。图像上每一个具体的点的横坐标代表事件M本次触发的随机数，纵坐标代表本次触发的随机数的概率密度。

值得一提的是，如果随机变量是离散的，任意一个点都不连续的，那么纵轴的单位是概率。譬如，某个事件C（事件C不服从正态分布）只会出现1,2,3,4这样四种情况，且4种情况等可能出现。那么，横坐标为1的点的纵坐标一定是25%。而且这样的事件C的函数图像在整个R上只有4个悬空的点，这4个点的横坐标分别是1,2,3,4。但如果随机事件D的触发值是连续的（比如我打翻一盆水，地上被我弄湿的面积），那么纵轴在量纲上就是概率密度了，因为整块函数与x轴包络的面积才代表概率。正态分布的初始研究是对于连续变量的研究，故而纵轴的量纲为概率密度。

图中，x=-3、x=-2、f(x)与x轴包络的面积表示的是随机事件触发结果值在(-3,-2)的可能性。比如我对着直角坐标系投掷飞镖，飞镖命中坐标后留下一个窟窿，窟窿的横坐标位置满足标准正态分布。如果我想计算砸出的窟窿所对应的横坐标正好位于-3到-2之间的可能性的大小（比如说砸1万次，有多少次横坐标在-3到-2之间），那么就根据函数解析式进行积分计算，可以求出这个可能性是2.5%，已在图中标注。

如果要计算飞镖的横坐标小于6的可能性，那么应当将函数从x=-∞到x=6的部分涂黑并计算其积分，黑色的面积大小即为所求的概率。

因为积分繁琐，故而现代常用excel中的正态函数公式计算。在计算机发明之前，数学家手工计算了标准正态分布的各个-∞到某个具体的x值所对应的面积，并汇总成表，交由工程师及物理学家进行生产实践。

《标准正态分布表》节选如下：

最左侧一列，代表的是x的前2位有效数字。最上面一行，代表的是第三位有效数字。比如我想知道标准正态分布从x=-∞到x=0.13之间的可能性，那么就在最左边一列里找到0.1所在的一行，在这一行里，找最上面是0.03的那个单元格。所以找到应该是0.5517。这个意思是，在标准正态分布下，从x=-∞到x=0.13之间的函数与x轴包络的面积是0.5517。换句话说，随机事件的结果小于0.13的概率是55.17%，写作P(X<0.13)=0.5517。

如果我想知道x∈(0.1,0.2)之间的可能性，那么就写作

可能你会奇怪为什么这张表没有列出x为负数的情况。是因为标准正态分布是一个偶函数，y轴左边的函数图像完全镜像于x>0的情况。故而，若是想知道P(X<-0.22)那么只需要计算P(X>0.22)即可，根据表格，这个概率应该是1-P(X<0.22)=1-0.9；

手握正态分布表可以让我们求出任意x对应的区间概率。也可以用概率反求x。比如我想了解，随机事件E服从标准正态分布，事件随机数从x=0.28开始，到x=多少之间，这区段的概率可以达到10%。换成数学符号，P(X<?)-P(X<0.28)=0.1，解得P(X<?)=0.1+0.3。然后我们再在表格中寻找0.7103会出现在哪里。观察发现？的值会在0.55到0.56之间，可以使用线性插值法进行进一步估算。

现实生活中，标准正态分布可遇不可求，大多是随机事件满足普通正态分布。即均值不为0，标准差也不会正巧等于1。事件A服从正态分布 N（μ，σ2），记A～N（μ，σ2）。

普通正态分布的函数解析式是：

普通正态分布函数解析式

显而易见，普通的对称轴是x=μ，标准的对称轴是x=0，那么初一小朋友都知道左加右减。而标准差σ在普通正态分布函数中决定了曲线的胖瘦。

如果对于一个服从普通正态分布N（μ，σ2）的事件A，我们想求出A无限试验下的PA(X<k)，则可以借助标准正态分布函数来间接计算。

假设事件B满足标准正态分布，即B～N（0，1）。存在如下重要结论：

举例子，如果事件A服从普通正态分布N（5，4的平方）。也就是说，无限试验下事件B的均值是5，各个实验结果的样本标准差是4，事件A的结果触发值在理论上是连续的（但是样本100%是离散的！因为是随机点）。现在我想要计算事件A的触发值比10小的可能性，写作PA（X<10）。即k=10。

下面放出4个例题，供参考。其中的φ(t)就是标准正态分布的P(X<t)

普通正态分布概率计算例题
宜城教育资源网正态分布的期望和方差_标准正态分布Φ(x)公式_正态分布3σ原则_正态分布通俗解释_正态分布概率公式正态分布本词条由"科普中国"科学百科词条编写与应用工作项目审核。正态分布（Normaldistribution），也称"常态分布"，又名高斯分布举一个身边的例子。我们先观察某中学男生的身高数据，从中指出身高最高和最矮的同学，或者算出他们身高的平均值。之后，如果我们想要知道男生身高数据的分布情况，比如

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