全书分为上、下两册.本书为上册,共7章，主要内容包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理和导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用及微分方程.本书力求结构严谨、逻辑清晰，注重知识点的引入方法.对传统的高等数学内容进行了适当的补充,利用二维码拓展数学文化、数学模型等知识，以提高解题能力.本书叙述深入浅出,有较多的例题,便于读者自学.每节配置习题，每章附有总习题，书末附录为几种常用的曲线.

本书可作为高等院校非数学类各专业的教材,也可供工程技术人员参考.

1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限

1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限

1.4.3无穷小与无穷大的关系

1.6极限存在准则两个重要极限

1.8函数的连续性与间断点

1.8.1函数的连续性

1.8.2函数的间断点

1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

1.9.1连续函数的和、差、积及商的连续性

1.9.2初等函数的连续性

1.10闭区间上连续函数的性质

1.10.1最大值与最小值定理

2.1.3导数的几何意义

2.1.4函数的可导性与连续性的关系

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则

2.2.2反函数的求导法则

2.2.3复合函数的求导法则

2.2.4求导公式与基本求导法则

2.3.1高阶导数的定义及求法

2.3.2高阶导数的运算法则

2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

2.4.1隐函数的导数

2.4.2参数方程求导法

2.5.2基本初等函数的微分公式与微分运算法则

第3章微分中值定理和导数的应用

3.1.3拉格朗日中值定理

3.1.4柯西中值定理

3.3.1泰勒中值定理

3.3.2函数的泰勒展开公式

3.3.3泰勒公式的应用

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4.1函数单调性的判定法

3.4.3曲线的凹凸性

3.4.4函数单调性与曲线凹凸性的应用

3.5微分学在实际中的应用

3.5.1函数的最值及其应用

3.5.3曲率及其计算公式

3.6曲线的渐近线与函数图形的描绘

3.6.1曲线的渐近线

3.6.2函数图形的描绘

4.1不定积分的概念与性质

4.1.1原函数与不定积分的概念

4.1.2不定积分的性质

4.2.1第一类换元法

4.2.2第二类换元法

5.1定积分的定义及性质

5.1.2定积分的定义

5.1.3定积分的存在定理与几何意义

5.1.4定积分的性质

*5.1.5定积分的近似计算

5.2牛顿-莱布尼茨公式

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系

5.2.3微积分基本公式

5.3定积分的换元积分法和分部积分法

5.3.1定积分的换元积分法

5.3.2定积分的分部积分法

5.4.1无穷区间上的广义积分——无穷积分

5.4.2无界函数的广义积分——瑕积分

6.2定积分在几何上的应用

6.2.1平面图形的面积

6.2.3平面曲线的弧长

6.3定积分在物理上的应用

6.3.1变力沿直线所做的功

7.1微分方程基本概念

7.1.1微分方程模型

7.1.2微分方程的基本概念

7.2变量可分离方程与齐次方程

7.2.1变量可分离方程

7.3一阶线性微分方程与伯努利方程

7.3.1一阶线性微分方程

7.4可降阶的高阶微分方程

7.5线性微分方程解的性质与结构

7.5.2二阶线性微分方程解的性质与结构

7.6常系数线性微分方程的解法

7.6.1n阶常系数线性齐次微分方程的解法

7.6.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

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当变化量趋近于零的时候，函数值的差和自变量的差的比值，就是导数的定义，我们也叫瞬时变化率，也叫变化率。

实际上我们也会使用这个样子的形式来表示导数，它和表示的是同一个东西。前面那个是导数，后面这个也是导数。

因为这样的定义和我们说的极限其实就是一个道理了，所以需要注意到这些细节

没错，就是这个样子，一定要注意到，一个点的导数如果存在，那么也是它的左右都存在且相等才行。我们拿上面的变化量来说，如果是0+，那么很明显是加上了一个正的无穷小量，说明就是下一时刻的东西，下一瞬间！反之如果是负无穷小量，那么表明的肯定就是上一时刻的事情了。

很明显，我们换元之后，当趋近于0的时候，那x就趋近于x0了，这样我们的式子就可以改写成后面这个式子，实际上和上面的定义是一回事儿，但是不是不同的写法，这个也很重要，记下来。 

1.凡是看到求一个点的导数，必定先把导数的定义公式拿出来，上面两个都是导数的定义公式。

2.对于这样的式子，我们可以看到，x的绝对值除以x，它的自变量范围只要是非零就行了，但是这个函数的函数值是始终只有两个的，要么是1，要么是-1，说明这个函数一定是一个有界函数呀。这是常见的，一定要记住。

无穷小量*有界量一定是无穷小量。

3.导数公式的广义化：

这个依靠们自己的思维去凑这样的一个广义化公式。

1.一般我们碰到抽象的式子，使用增量式的定义公式，如果是具体的函数表达式，那么我们使用差值式来解决

2.0虽然在数量上表示不了什么，但是！！！请千万注意，它在我们使用导数定义公式的时候有极大的作用，因为有的时候你减去一个0大小没有发生变化，但是它却凑出了在0这一点的导数定义公式，就像下面这样。

这个是增量式的导数定义公式。这个式子中，f(0)的函数值为0，但是我们一定要这样写，因为这样一写出来，我们是否就明确的发现，它满足导数的定义公式了？

3.cosx和sinx这种函数是一种天生的单侧极限函数，比如在正数这边，他们是一定不能超过1的，如果趋近于1，那一定就是1的左极限。明白把。所有有些题目一定要注意这一点。

一静一动原则就是前面那个是可以动的，但是后面减去的这个东西是不能动的，反正只要看见前面后面都在动的就是错的。违反了导数的基本原则。

1.千万要注意一点，这个是一个记号，表示的是x0这个点的导数，如果它存在，那么它是一个具体的数，但是他还有可能不存在的。我们理解清楚一点，导数确实是一个具体的数，但是前提条件是它要存在，如果它不存在的时候，他就啥也不是了。

2.，这里要注意，有界但是极限不一定存在的。但是极限如果存在，那么函数是必定有界的。

3.和，这两点，不用证明，记住直接使用。也就是说，一个可导函数，导完之后，奇偶性互换。

这里需要注意的是，隐函数中的y不是一个变量，而是一个函数，所以求导的时候要把他当成函数来求导。

我们就是对式子两边都取对数进行化简。

反函数求导其实很简单，注意写法即可

同时呢！对于具体型的反函数的导数求解，我们可以先求函数的导数，然后再求函数导数的导数，为什么呢？

很明显，函数的导数和它的反函数的导数，互为倒数关系。

求导的时候我们一定要清楚，到底是对谁求导。

我们的二阶导数实际上可以写成这个样子。

在求导的过程中，我们始终记住一句话，这个式子是那个变量的函数，我们就对那个变量求导。

使用莱布尼兹公式的时候为下面这两个公式

第一个没得说，和差的n阶导数，等于n阶导数的和差。

而第二个乘积的高阶导数那该怎么办呢？同样是按照我们的这个公式来，此消彼长，好好理解一下，但是呢，考研中不会让我们把所有的式子都列出来，一般是列出前面的三项，后面的肯定都是0了，不然这计算量不符合逻辑的。

另外对于高阶公式，我们还应该记住以下这些公式，在一些只有几项的高阶导数计算中需要用到。

罗尔定理：比区间内连续，开区间内可导！妙啊···

在使用罗尔定理时候的注意点，通常情况下，我们由罗尔定理的定义可以知道

端点值相同，推出一定存在一个数，使得这一点的导数等于0，那么在实际的题目中，他一定会这样出题

它会把这个函数变得复杂。这样增大计算量，但是核心的东西还是罗尔定理的那一套。

罗尔定理解题方法一：求导公式逆用法

求导公式的逆用法；我们看见的求导公式可能是这样的。

但是注意，使用罗尔定理的时候，求导公式这个工具，可以反过来看看。

我们可以立马想到辅助公式：

这里把大F和上面的复杂化函数联系起来。

注意我们这里都是对罗尔定理的广义化，因为实际上的题目是不会直接把这个函数弄的那么简单的，一定是下面这种，或者上面的形式。他是多变的，需要我们结合前面的知识

由上面三个技巧我们可以总结出来，用好罗尔定理，实际要明白那个函数到底怎么拼凑，也就是辅助函数怎么做，就像几何中的辅助线一样，那么上面是三种常见的辅助函数。加深理解，一定是没有问题的。

什么意思呢？就是说在证明题中，只要看到定积分，就先用积分中值定理处理一下再说。 

罗尔定理解题方法二：积分还原法：

第三步移项之后得到的F(x)就是辅助函数

拉格朗日中值定理的使用：

实际上，拉格朗日中值定理是罗尔定理的一般化。

第一种思路：将f复杂化

第二种思路：给出相对高阶的条件，证明低阶不等式

在中值定理的求解过程中，如果出现多个点，那么最好画图

第三种思路：给出相对低阶条件，证明高阶不等式

1.带拉格朗日余项的泰勒公式

但是不需过多的担心，我们记住这个通式和余项，一般来讲，考研是考到2阶，最多到3阶。 

麦克劳林公式，这个也是很重要的。

2.带佩亚诺余项的泰勒公式；

这个一般就是我们第一章计算极限的时候使用，这里就不再过多的讲解。

在证明题中使用泰格公式的解题信号：

注意点，定积分是一个数。

需要记住的一个积分公式： 

这里可以见讲义； 

三点、两性、一线：极值点、最值点、拐点；单调性、凹凸性；渐近线

这个可以直接用，就是说，一个函数的三阶导数连续，同时在一个点的二阶导数等于0，三阶导数>0。那么个点一定是拐点。