第二章 实数知识点汇总及经典练习题

第六章 实数 知识点归纳

一、实数的概念及分类 （3分）

1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数

无理数 无限不循环小数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定结构的数，如0.…等；

（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3

π+8等； 3. 实数与数轴上点的关系：

实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、 无限小数是有理数（×） 无限小数是无理数（×）

有理数是无限小数（×） 无理数是无限小数（√）

数轴上的点都可以用有理数表示（×） 有理数都可以由数轴上的点表示（√） 数轴上的点都可以用无理数表示（×） 无理数都可以由数轴上的点表示（√） 数轴上的点都可以用实数表示（√） 实数都可以由数轴上的点表示（√）

　　其实要学好初中数学并不难，而且初中的知识掌握起来比高中容易多了。想要学好数学的话就要对所学知识点进行一个总结归纳，这样才能加深知识点的记忆。

　　初中数学考试重点知识

　　考点1.1、实数的概念及分类

　　有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数.如：-3，，0.231，0.737373...，，.

　　无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，-，0....(两个1之间依次多1个0).

　　实数：有理数和无理数统称为实数.

　　在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数;二是不循环.二者缺一不可.归纳起来有四类：

　　(1)开方开不尽的数，如等;

　　(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;

　　(3)有特定结构的数，如0....等;

　　(4)某些三角函数，如sin60o等

　　注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断.要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准.

　　3、非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0)

　　性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

　　4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

　　①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴("三要素")

　　②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

　　③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

　　作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

　　实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。即：(1)实数的相反数是.(2)和互为相反数.

　　一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

　　(1)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即：﹝另有两种写法﹞

　　(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.

　　☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若，则，，.

　　注意：│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。

　　如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

　　即(1)实数(≠0)的倒数是.

　　(2)和互为倒数。

　　(3)注意0没有倒数.

　　一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

　　把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

　　(1)确定：是只有一位整数数位的数.

　　(2)确定n：当原数≥1时，等于原数的整数位数减1;;当原数<1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)。

　　(3).近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位

　　(4)按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来.

　　10、实数大小的比较

　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

　　知识2、实数大小比较的几种常用方法

　　(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

　　(2)求差比较：设a、b是实数，

　　(3)求商比较法：设a、b是两正实数，

　　(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

　　(5)平方法：设a、b是两负实数，则。

　　11、实数的运算 (做题的基础，分值相当大)

　　5、乘法对加法的分配律

　　6、实数的运算顺序

　　1. 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

　　12、有理数的运算：

　　加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。

　　减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

　　乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

　　除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

　　乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

　　考点1.2、实数与二次根式

　　如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。

　　一个正数有两个平方根，他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

　　正数a的平方根记做""。

　　正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作""。

　　正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

　　;注意的双重非负性：

　　注意：算术平方根与绝对值

　　① 联系：都是非负数，=│a│

　　②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

　　3、算术平方根的估算方法：两端逼近法.

　　例如：估算.(精确到0.1)∵∴.又∵，

　　又∵6更靠近5.76，∴　　4、立方根

　　如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。

　　一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

　　注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

　　式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号"";被开方数a必须是非负数。

　　若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

　　化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

　　(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

　　(2)如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

　　几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

　　8、二次根式的性质

　　9、根式运算法则：

　　⑴加法法则(合并同类二次根式);

　　⑴ (-幂，乘方运算)

　　⑵零指数：=1(a≠0)

　　负整指数：=1/(a≠0,p是正整数)

　　11、二次根式混合运算

　　二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)。

　　考点1.3、代数式与整式

　　用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

　　表示方根的代数式叫做根式。

　　含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。　　　　注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

　　只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

　　注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

　　注意：系数与指数：区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

　　①不含有加、减运算符号.

　　②字母不出现在分母里.

　　③单独的一个数或者字母也是单项式.

　　④不含"符号".多项式　　3、多项式

　　几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

　　单项式和多项式统称整式。

　　用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

　　注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

　　(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，"整体"代入。

　　所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

　　条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

　　合并依据：乘法分配律

　　(1)括号前是"+"，把括号和它前面的"+"号一起去掉，括号里各项都不变号。

　　(2)括号前是"﹣"，把括号和它前面的"﹣"号一起去掉，括号里各项都变号。

　　6、整式的运算法则

　　整式的加减法：(1)去括号;(2)合并同类项。

　　注意：(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

　　(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

　　(3)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

　　(4)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

　　(5)公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。(6)(7)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

　　一：平时的数学学习：

　　○1课前认真预习.预习的目的是为了能更好得听老师讲课，通过预习，掌握度要达到百分之八十.带着预习中不明白的问题去听老师讲课，来解答这类的问题.预习还可以使听课的整体效率提高.具体的预习方法：将书上的题目做完，画出知识点，整个过程大约持续15-20分钟.在时间允许的情况下，还可以将练习册做完.

　　○2让数学课学与练结合.在数学课上，光听是没用的.当老师让同学去黑板上演算时，自己也要在草稿纸上练.如果遇到不懂的难题，一定要提出来，不能不求甚解.否则考试遇到类似的题目就可能不会做.听老师讲课时一定要全神贯注，要注意细节问题，否则“千里之堤，毁于蚁穴”.

　　○3课后及时复习.写完作业后对当天老师讲的内容进行梳理，可以适当地做25分钟左右的课外题.可以根据自己的需要选择适合自己的课外书.其课外题内容大概就是今天上的课.

　　○4单元测验是为了检测近期的学习情况.其实分数代表的是你的过去，关键的是对于每次考试的总结和吸取教训，是为了让你在期中、期末考得更好.老师经常会在没通知的情况下进行考试，所以要及时做到“课后复习”.

　　二：期中期末数学复习：

　　要将平时的单元检测卷订成册，并且将错题再做一遍.如果整张试卷考得都不好，那么可以复印将试卷重做一遍.除试卷外，还可以将作业上的错题、难题、易错题重做一遍.另外，自己还可以做2-3张期末模拟卷.

　　三：数学考试技巧：

　　如果想得高分，在选择、填空、计算题上是不能丢分的.在考数学的时候思想不能开小差，而且遇到难题时不能想“没考好怎么办啊”等内容.在通常情况下，期末考试的难题都是不知道怎么做，但有可能突然明白的那种.遇到这种题目要沉着冷静，利用题目给你的一切条件进行分析，如这次考试有两个空白的钟，还有去年七年级期末的几题填空.这些条件都对你的解题有很大帮助.在期中、期末考试中有充足的时间，将自己的速度压下来，不是越快越好，争取一次做成功.大概留35分钟的时间检查.

　　最终提醒大家：多做题有一定作用，但上课听讲、认真答题及提高准确率、总结经验才是最重要的.还要将所学的知识用到生活中去，做到学以致用.当你运用数学知识解决了生活中实际问题的时候，你就会感受到学习数学的快乐.

　　其实要学好数学并不难，而且初中的知识掌握起来比高中容易多了。上课必须听讲，不管你多么厉害，上课不听讲就不行，因为老师有时候是会讲一些书本上没有的知识或者是他们自己的经验技巧。

　　课后作业必须做，也不要求你再去自己买题来做，你只需要认认真真的完成老师布置的作业就行。你需要听老师评讲作业，不管你是对的还是错的，都要听，老师就是在这个时候讲方法，所以说上课的专心最重要。

　　考试卷子也是一样，不要因为你是对的就不听讲了，老师讲的有时候不仅仅是那道题。

　　最重要的就是上面那几点，只要你做到了，你的成绩绝对不会差!最后就是多与同学交流，互相印证答题技巧，不懂多问。