欧拉常数的正弦余弦正切是有理数还是无理数 怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-01 22:12 标签： 欧拉常数是无理数吗

欧拉-罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于的数学常数。它的定义是调和级数与的差值。

学过的人都知道，S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

于是调和级数的前n项部分和满足

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

将ln（1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故

即ln（1+1/n)-1/(n+1）>0，所以Sn单调递减。由单调有界定理，可知Sn必有极限，因此

于是设这个数为γ，这个数就叫作常数，他的约为0.09，目前还不知道它是有理数还是。在学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1）+1/(n+2）+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：

欧拉常数最先由数学家莱昂哈德·欧拉1735年定义。曾使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1790年，数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

终于，Xavier Gourdon使用该公式在1999年计算欧拉常数到了108,000,000位，他使用了一种新算法：

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10E242080(Havil，第97页)

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