Update 增加了一个组合恒等式及其证明

Update 增加了一个组合恒等式及其证明

同一步下的不同选择，可以通过累加得到方案数。

整个流程的方案数可以由每一步的方案数相乘得到。

有了加法原理和乘法原理，就可以解决一些没有选择导致分支的问题了。

有 \(n\) 个篮子，第 \(i\) 篮子有 \(a_i\) 有水果，每个水果各不相同，问每个篮子选出一个得到的水果的方案数。

用加法和乘法原理，那么每个篮子选出的方案数为 \(a_i\) ，总共就是 \(\prod a_i\) 种方案。

从 \(n\) 个不同元素中选出 \(m\) 个，按照一定顺序排列，简而言之就是选出一个数列的方案数。

从 \(n\) 个不同元素中选出 \(m\) 个的方案数，换句话就是选出一个集合的方案数。

其实排列数可以看做在选出 \(m\) 个数后还有对这 \(m\) 个数做一个全排列，所以多一个 \(m!\)

因为组合数我们用得多一点，所以我们一般用二项式系数来表示组合数，也就是说：

多重组合数和多重集排列数

相当于是所有数的全排列数再除去相同元素的全排列数。

这个怎么弄？先来个简单的的，我们使 \(r<n_i\)。

这个我们考虑用插板法来求。可以看做我们现在有 \(r\) 个小球，然后现在往里面插板来分组。

最初的时候，我们有 \(r\) 个球，那么我们有 \(r+1\) 个位置是可以插空的。当我们插入了一个板子之后，我们可以插入的位置就又多了一个，后面就同理了。

于是乘法原理加上除去板子的全排列可以得到答案：

现在考虑把 \(r<n_i\) 的限制拿掉，怎么做？

这个要容斥原理！但是在这篇博客里我们还没有学！超纲了，我们等会讲容斥的时候再说。

\(1\to n\) 个自然数中选出 \(k\) 个，使得他们互不相邻的方案数？

从组合意义上来说容易证明。因为你 \(n\) 中拿 \(m\) 个等价于有 \(n-m\) 个不拿。

其实不一定要求必须是两元的，多元的也是同理。

然后我们可以得到多项式定理：

展开发现可以抵消一些东西，于是上面的系数就等于：

帕斯卡定理，你也可以说是杨辉三角。我们知道 \((x+y)^n\) 得到的多项式是系数满足杨辉三角的，我们知道了二项式定理的话，发现这个东西实际上是组合数，所以实际上是组合数的同层展开是满足杨辉三角的。但是证明的话显然不能这么证明。

我们一个数一个数看这个数是否选取，假设现在已经看了 \(n-1\) 个数，选了 \(x\) 个数。我们考虑如果得到 \(\binom{n}{k}\)

那么接下来这个数选或不选分别造成 \(1\) 和 \(0\) 的贡献，也就是说：

如果接下来这个数选，那么只有 \(x=k-1\) 的情况符合条件。否则只有 \(x=k\) 的情况符合条件。于是加法原理把两种情况的方案数加起来即可。

实际上是 \((1+1)^n\) ，当然也可以从组合意义上证明。

实际上是 \((1-1)^n\) ，我称之为第一类二项式反演。

按定义来就没了，简单提一下。

定义展开左边上下分子分母同乘 \((n-k)!\) 即可证明。

证明和上面差不多，就不证了。其实你想拆可以一直这么拆。

这是 9.积和式 的一种特殊情况，代入 \(m=n\) 即可。

先考虑右边的组合意义，即从 \(n+1\) 个数中选出 \(k+1\) 个。

左边的组合意义：相当于是总共 \(n+1\) 种不累加的情况的加法原理。

另外的一种常用的形式是上下项共变的。

证明和上面的式子是类似的。

右边问题等价于从 \(A,B\) 两个集合中选出 \(r\) 个的方案数。

所以左右两个问题组合意义等价，等式成立。

因此左右两边组合意义等价，等式成立。

解释一下：为什么这样选择的方案不会重复？

考虑一下对于第 \(i\) 种，为什么第 \(i+k\) 种不会与之重复？

个，不可能与之前的情况完全相同，因此可以直接加法原理。

还有，8.变上项求和式(1) 其实是这个公式的一个特殊情况。

10.第二类二项式反演

然后我们还可以得到一个扩展：

考虑 \(n\) 个人围成圆的圆排列方案数为 \(Q^n_n\) 。我们发现对于一个圆，从每个地方断开都可以形成一个新的排列，所以：

设 \(f(n)\) 表示将 \(n\) 个编号为 \(1,2,...,n\) 的物品，放到编号为 \(1,2,...,n\) 的位置中，使每个物品放置的位置的编号与物品的编号都相同的方案数。

我们考虑递推，考虑目前放置第 \(n\) 个物品，先暂时放在第 \(n\) 个位置，而保证其他 \(n-1\) 个物品都放在 \([1,n-1]\) 的位置。然后考虑前面的一个物品和第 \(n\) 号物品交换位置，可知 \(f(n)\) 只能由两种情况递推而来。

第一种情况：前面的 \(n-1\) 个物品全部错位。这个直接就是每个物品都可以换。总共 \(n-1\) 种交换方法。

第二种情况：前面 \(n-1\) 个中除一个物品外全部错位。\(n\) 必然与这个不错位的物品换位，这个不错位物品有 \(n-1\) 种可能。

假设有 \(n+1\) 个物品，那么将物品分为 \(n\) 组后，至少有一组含有两个及以上的物品。

假设每个分组都只有至多 \(1\) 个物品，那么最多有 \(n\) 个物品，与有 \(n+1\) 个物品的事实矛盾。

同样可以反证，简单就不证了。

如果对于每个元素都保证其出现一次，那么上式正确。

还有一个倒过来的推论（补集形式）

由于全序的对称性，我们可以知道 \(min\) 和 \(max\) 互换的话，效果也是一样的，所以我们只考虑证明第一个式子。

考虑构造一个系数 \(a_i\)，满足：

解释一下，这里是对于每个元素统计其贡献，对于第 \(i\) 大的数，我们可以知道其在所处集合作为最小值的集合的大小小于等于 \(i\) 。然后我们可以枚举集合的大小，显然比这个数大的有 \(i-1\) 个，我们从中再选出 \(j-1\) 个和当前这个数组成集合，那么上式可得。

其实 min_max 容斥 在期望意义下也满足：

我们前面提到过这个问题是需要容斥原理的。现在我们已经可以解决这个问题了。

后面那半部分我们容斥计算：

意义就是提前为其留出一些空间使其满足条件。

那么就可以切掉这个题了

但是这个题还有一个小技巧。

发现范围巨大，不好直接算组合数，但是 \(n\) 很小，我们把组合的求和转换为与 \(n\) 相关的算法。具体转换类似下方的做法。

卡特兰数 \(Cat_n\) ，是下问题的答案：从 \((0,0)\) 出发，可以按照向量 \((1,0)\) 和 \((0,1)\) 游走，不越过（可以碰到）第一象限角平分线的情况下，到达 \((n,n)\) 的方案数。（就是只能在这条线下方走）

我们通过解决这个问题可得到卡特兰数的公式。

然后你发现如果你碰到了直线 \(y=x+1\) ，那么可以发现从这个触碰点到 \((n,n)\) 的方案数和到 \((n-1,n+1)\) （\((n,n)\) 关于 \(y=x+1\) 的对称点）的方案数相同，因为在两边走是对称的。然后我们知道到达

对于 \(2n\) 长的括号序列，如果最后一个右括号与第 \(i\) 个左括号匹配，那么前 \((i-1)\) 个左括号的匹配肯定构成一个合法括号序列。这个 \(i\) 满足 \(1\le i\le n\) 。那么公式可得。

我们发现其实对于所有的可以转化为如下问题的问题，都可以考虑卡特兰数列：

长度为 \(2n\) 的合法括号序列计数。

对称可以得到相同的答案。

当然，如果遇到等价于我们最初提到的问题的问题，那么也是可以考虑卡特兰数列的。

我们看一些例子来判断一下：

1.有 \(2n\) 个人排成一行进入剧场。入场费 \(5\) 元。其中只有 \(n\) 个人有一张 \(5\) 元钞票，另外 \(n\) 人只有 \(10\) 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有 \(10\) 元的人买票，售票处就有 \(5\) 元的钞票找零？

每有一个有 \(5\) 元的人进来，就多可以接一个 \(10\) 元的人，分别抽象成左右括号，那么符合卡特兰数列。

2.一个栈，加入顺序为 \(1,2,...,n\) ，问合法出栈顺序的方案数。

左右括号分别代表入栈和出栈，符合卡特兰数列。

3.\(n\) 个节点，可以构成多少不同的二叉树？

满足递归公式，符合卡特兰数列。

4.在圆上选择 \(2n\) 个点，求将这些点成对连接起来使得所得到的 \(n\) 条线段不相交的方案数。

选择两个点后其他点被分为两个部分，两边相互独立可以分治进行，满足递归公式，符合卡特兰数列。

5.对角线不相交的情况下，求将一个凸 \(2n\) 边形区域分成三角形区域的方案数。

这个和 \(4\) 的本质相同，就不再赘述。

分析一下可以发现是卡特兰数列。我们可以发现一个结论，在奇数位放置一个数，那么它之前的数都小于它，它之后的数都大于他。然后可以分治处理，且当只有一个奇数位时，方案只有一个，因此满足卡特兰数列。

然后考虑怎么求这个卡特兰数，由于模数随机，我们不能逆元，递推公式就用不了了。

递归公式复杂度是 \(O(n^2)\) 的，显然不行。

那么只能考虑用通项公式求解。

把上下两个数约分一下。具体是把分子分母拆成乘法形式，开数组打个标记表示有多少个这个因数，然后它这些因数继续拆成质因数，最后统一计算每个系数即可。因为卡特兰数必定是整数，因此不用担心约分约不干净的情况。

这个可以增长一下经验，放个代码：

然后加法原理合并可得。Q.E.D.

设 \(g(i)\) 为将 \(n\) 个不同元素放入 \(i\) 个不同集合中（可以为空集）的方案数，\(f(i)\) 为将 \(n\) 个不同元素放入 \(i\) 个不同集合（不可为空集）的方案数。

第二个式子成立，是因为集合互不相同，先枚举启用几个集合，再枚举选择具体用哪些集合。

还是考虑新加入一个元素。

然后似乎没有什么好用的通项公式？

由上式加上斯特林反演得

同样是由上式加上斯特林反演得

其实这个式子也可以不用斯特林反演，我们直接按照组合意义来证明。

这是因为 \(m^n\) 的组合意义是将 \(n\) 个有区别的数放入 \(m\) 个有区别的集合，允许空集的方案数。上式子相当于先枚举盒子的个数，再枚举盒子的区别，再从 \(m\) 个集合中选出 \(i\) 个，然后再数放入。

当我们用这个来证明反演：

一个小小结论，按上面两个式子拆解易证：

上式中一二类斯特林数可以互换位置。

全文共计5473字，建议阅读时间18分钟

公差的计算公式：尺寸公差δ＝最大极限尺寸D(d)max－最小极限尺寸D(d)min=ES(es)－EI(ei)。

这种方法是在考虑零件尺寸最不利的情况下，通过尺寸链中尺寸的最大值或最小值来计算目标尺寸的值。

这种方法是一种统计分析法，其实就是把尺寸链中的各个尺寸公差的平方之和再开根而得到目标尺寸的值。

公差就是零件尺寸允许的变动范围，合理分配零件的公差，优化产品设计，可以以最小的成本和最高的质量制造产品。

本文介绍均方根法的计算、逻辑以及确保其有效性的注意事项。

均方根法是统计分析法的一种，在了解均方根法之前，需要了解什么是统计分析法。

统计分析法是如何产生的

极值法是考虑尺寸链中的所有尺寸均同时处于最大值或最小值，即最差或最坏的情况。

但是，一般我们认为在零部件实际加工后的尺寸分布是符合正态分布，请参考文章：

即，绝大多数的零件尺寸分布都是靠近平均值，离平均值越近，分布数量越多；离平均值越远，分布数量越少。

那么可以看出，尺寸链中的一个尺寸处在最大值或最小值的几率本身就非常小；多个尺寸同时处在最大值或最小值的几率那就更加小了。

所以，极值法发生的可能性非常小，与真实状况严重不符合。

统计分析法就是在这样的情况下产生的。

统计分析法是考虑零件加工过程中尺寸的真实分布，运用概率统计理论进行公差计算，不要求100%的良率(允许失效发生)，适当放大尺寸链中尺寸公差，降低零件精度要求，从而降低制造成本。

统计分析法是基于以下假设：

1)尺寸链中的各个尺寸符合正态分布；

2)正态分布的平均值与设计名义值重合，没有偏移；

3)尺寸链中的各个尺寸都是独立的，互不关联；

4)尺寸链中各个尺寸都需要进行SPC制程管控；如果实际实际加工后的尺寸分布与假设的不符，那么统计分析法的结果就会存在偏差；

5)使用统计分析法，不能保证100%的有效性，可能会有较小几率的失效发生。

顾名思义，均方根法(Root Sum Square , 简称RSS)是把尺寸链中的各个尺寸公差的平方之和再开根即得到目标尺寸的公差。

目标尺寸的名义值为尺寸链上尺寸的名义值之和：

式中Dasm是目标尺寸的名义值，Di是尺寸链上各尺寸的名义值。

目标尺寸的公差为尺寸链上各个尺寸的公差平方之和再开根：

式中Tasm是目标尺寸的公差，Ti是尺寸链上各尺寸的公差。

例1：如图所示，尺寸A为10±0.2mm，尺寸B为15±0.3mm，请计算尺寸AB累积后的名义值和公差。

即尺寸A和B累积后的尺寸为25±0.36mm。

同极值法一样，均方根法的计算也是很简单。

假设你经常要从家里出发到打车去机场坐飞机,按照过往的经验统计：

从打开滴滴下单到司机接单时间为5±2分钟

等待司机上门的时间为10±3分钟

到飞机场时间为50±20分钟

机场安检以及从安检口登机为30±10分钟

那么，使用均方根法，从滴滴下单到登机口的最快时间和最慢时间是多少？

假设每一个环节都没有误差，那么到达机场的时间为：

即使用均方根法到达机场的名义值为95分钟，这一点与极值法、蒙特卡洛法等均相同

累积公差为每一环节的公差平方之和再开根

使用均方根法，从滴滴下单到到达机场的时间为95±22.65分钟，即最快72.35分钟，最慢117.65分钟。

均方根法计算的背后逻辑

均方根法的计算结果能够满足几σ水平

如果尺寸链中每一个尺寸公差均满足±4σ的制程能力，那么均方根法分析的结果也满足±4σ的制程能力。

同样的，如果尺寸链中每一个尺寸公差均满足±1σ、±2σ、±3σ、±6σ的制程能力，那么均方根法分析的结果也就相应的满足±1σ、±2σ、±3σ、±6σ的制程能力。

如何提高均方根法有效性

有些时候，我们通过均方根法进行尺寸公差累积的计算，结果符合要求。但是在实际生产过程中，却依然有失效的情况发生。

例如，在赶飞机的案例中，按照均方根法的计算结果，到达机场的时间最慢为117.65分钟。但是，如果我们每次都仅仅提前117.65分钟滴滴下单，次数多了会免不了会有赶不上飞机的情况发生，因为真的有可能每一个环节最差状况发生了。

如果我们希望减小失效，能够达到4σ的水平，那么我们需要进行SPC制程管控，确保做到以下几点：

1)尺寸链中的各个尺寸都符合正态分布；

2)正态分布的平均值与设计名义值重合，没有偏移；实际生产时，我们经常发现尺寸中心值偏离设计名义值；那么这个时候我们就需要通过修改模具或者调整工艺参数等方法来减小偏移。

3)各个尺寸的制程能力满足Cpk≥1.33，即4σ水平。

当制程能力较低时，需要提高制程能力。

这种方法是在考虑零件尺寸最不利的情况下，通过尺寸链中尺寸的最大值或最小值来计算目标尺寸的值。

这种方法是一种统计分析法，其实就是把尺寸链中的各个尺寸公差的平方之和再开根而得到目标尺寸的值。

公差就是零件尺寸允许的变动范围，合理分配零件的公差，优化产品设计，可以以最小的成本和最高的质量制造产品。

指允许尺寸的变动量，等于最大极限尺寸与最小极限尺寸代数差的绝对值。

指单一实际要素的形状所允许的变动全量，包括直线度、平面度、圆度、圆柱度、线轮廓度和面轮廓度6个项目。

指关联实际要素的位置对基准所允许的变动全量，它限制零件的两个或两个以上的点、线、面之间的相互位置关系，包括平行度、垂直度、倾斜度、同轴度、对称度、位置度、圆跳动和全跳动8个项目。

还是使用传统的尺寸链计算

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作这个等差数列的公差，记作d．

设是{an}等差数列，d为等差数列{an}的公差，则有如下公式：

①等差数列的通项公式：

②等差数列的一般形式：

③等差数列的前n项和公式：

(1)常数列：C，C，…，C是公差d=0的等差数列．

(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A=(a+b)/2

尺寸链(dimensional chain )，是分析和技术工序尺寸的有效工具，在制订机械加工工艺过程和保证装配精度中都起着很重要的作用。

在零件加工或机器装配过程中，由互相联系的尺寸按一定顺序首尾相接排列而成的封闭尺寸组。组成尺寸链的各个尺寸称为尺寸链的环。其中，在装配或加工过程最终被间接保证精度的尺寸称为封闭环，其余尺寸称为组成环。组成环可根据其对封闭环的影响性质分为增环和减环。若其他尺寸不变，那些本身增大而封闭环也增大的尺寸称为增环，那些本身增大而封闭环减小的尺寸则称为减环。

①期刊论文-三维装配尺寸链的自动生成 机械工程学报 200541 ( 6 )

②期刊论文-面向质量目标的尺寸链和统计公差设计方法 机械工程学报 200743 ( 4 )

③期刊论文-CAD环境下尺寸链方程组自动生成算法 重庆大学学报(自然科学版) )

从第二项起,每一项都等于前一项加上同一个数d的有限数列或无限数列.又叫算术数列.这个数d称为等差数列的公差.等差数列可以记作

等差数列从第二项开始每一项是前项和后项的算术平均数.

如果等差数列的公差是正数,则该等差数列是递增数列;

如果等差数列的公差是负数,则该数列是递减数列;

如果等差数列的公差等于零,则该数列是常数列.

对于一个数列al,a2,…,an,…,如果它的相邻两项之差a2-a1,a3-a2,…,an+1-an,…构成公差不为零的等差数列,则称数列{an}为二阶等差数列. 运用递归的方法可以依次定义各阶等差数列:对于数列{an},如果{an+1-an}是r阶等差数列,则称数列{an}是r+1阶等差数列.二阶或二阶以上的等差数列称为高阶等差数列.

r阶等差数列的通项公式可以用一个关于项数n的r次多项式来表示,反之,通项公式为项数n的r次多项式的数列必为r阶等差数列. [2]

高阶等差数列的求和方法主要有两种,一种是将其通项(项数n的r次多项式)表成差分多项式的线性组合从而求和.另一种是利用自然数幂的求和公式,如

r阶等差数列的前n项和公式是项数n的r+1次多项式,对r不太高的情况也可用待定系数法来确定.

式中an是第n项,a1是第一项,n为项数,d1是数列的后项减去紧邻的前一项所得的第一次差构成的数列的首项,d2是第二次差.例如二阶等差数列1,4,9,16,25,36,49,…,通项

例如二阶等差数列{n^2}前n项和

=常数d，d为等差数列{ }的公差．

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作这个等差数列的公差，记作d。公差等于a2-a1。

二、等差数列的求和公式。

等差数列的前n项和公式，也叫做高斯求和公式。

1785年，8岁的高斯在德国农村的一所里念一年级。

学校的老师是城里来的。他有一个偏见，总觉得农村的孩子不如城市的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。他最讨厌在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用鞭子敲打他们。孩子们到爱听他的课，因为他经常讲一些非常有趣的东西。

有一天，他出了一道算术题。他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少？谁算不出来，就不准回家吃饭。” 说完，他就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。

不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着一张草稿纸，说：“老师，我算出来了......”

没等小高斯说完，老师就不耐烦地说：“不对！重新再算！”

小高斯很快地检查了一遍，高声说：“老师，没错！”说着走下座位，把草稿纸伸到老师面前。

老师低头一看，只见上面端端正正地写着“5050”，不禁大吃一惊。他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。就问小高斯：“你是怎么算的呀？”小高斯回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，您看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100时101，2加99时101，3加98也是101......一前一后的数相加，一共有50个101，101乘50，得到5050。”

小高斯的回答使老师感到吃惊。因为他还是第一次知道这种算法。他惊喜的看着小高斯，好像刚刚才认识这个穿着破烂不堪的，砌转工人的儿子。

不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯，鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给教育当局，使他得到免费教育的待遇。后来，小高斯成了世界著名的数学家。 人们为了纪念他，把他的这种计算方法称为“高斯定理”。

很简单 首先需要判断这个数列是属于什么类型

数列分为很多种 做题目时经常碰到的有等差数列、等比数列，但是数列远远不止这两种类型，还有等和数列，斐波那契数列，杨辉三角……

最简单的等差数列 1，3，5，7，9……

最简单的等比数列 1，2，4，8，16，32……

斐波那契：1，1，2，3，5，8，13……

如果判断出来是等差数列

附上等差数列的专业解释

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列

公差就是那个常数 一般记作d

容易理解的来说 就是后一项减去前一项所得的差

尺寸公差：最大极限尺寸=公称尺寸+上偏差最小极限尺寸=公称尺寸+下偏差

担任多年高三教学工作。

1、等差数列、公差的概念。

一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数，这里我们称这个数列为等差数列。用符号表示为a(n+1)-an=d，d为常数。我们称常数d为等差数列{an}的公差。

2、等差数列的通项公式与前n项和公式

在公式(1)中涉及an，a1，n，d四个量，知三求一，即已知其中的任意三个量可以求出另一个量。

在公式(2)的前一半分中涉及，Sn，n，a1，d四个量，同样是知三求一。

我们把上述利用a1,n,d,an,Sn进行计算的方法称为基本量法。

基本量法是解决等差数列、等比数列基本运算的通用方法。

公差就是零件尺寸允许的变动范围。计算方法：零件的最大极限尺寸-零件的最小极限尺寸或者零件的上偏差-零件的下偏差。需要强调的是公差不能为零和负数。

尺寸公差等于最大极限尺寸减去最小极限尺寸的差值；或 尺寸公差等于上偏差减去下偏差的差值。

可根据使用要求直接提出。