虽然身处名校，承担着全校最“知名”的课程之一，但是知道这支教学团队故事的人并不多——

他们在过去十多年里，获得的荣誉屈指可数；他们平时绝不轻易请假，二十来人的团队，每个人的课时都排得满满当当；他们编写的大学高等数学教材获得全国教学成果二等奖，并在全国高校推广使用，但团队本身却声名不显；他们承担着全校每年3000多名非数学专业新生的高等数学教学任务，抽身出去参加一次学术会议都显得有些“奢侈”，必须提前一个学期打报告，因为要找代课老师实在太难……

他们是复旦大学数学科学学院的公共课  “高等数学”教学团队。三名教师、七位教授、四位副教授，在过去几十年中，一直坚守在本科生公共课讲台，把提升学生的数学兴趣和科学素养作为他们教学工作的重要目标。他们还带领复旦大学非数学专业学生获得全国大学生数学竞赛一等奖。

一流大学的建设，核心是人才培养，而本科生教育则是人才培养的重中之重。复旦大学高等数学公共课团队，是无数热衷于教学的高校团队的缩影。

热衷最传统授课方式：一节课写满32块黑板，大冬天也是一身汗

对于每个初入大学的学生来说，高数都“声名在外”。这不只因为高数难学，更因为高数受众之广——在不少学校，它是所有大一新生的必修课。几乎所有大学生都知道一个冷笑话：“大学校园里哪棵树上挂的人最多？高数（树）！”

但在复旦大学的高数公共课上，不时会出现“逆袭”的故事。

有学生在一学期高数公共课后，不仅“开悟”了，而且迷上了数学，干脆从临床医学院转到了数学科学学院。还有一些文科生，因为上了高数公共课找回了自信。他们不再认为“文科脑袋天生学不好数学”，并开始挑战理工科学生的高数教程……

高数课是大学里最基础、最传统的课程，复旦高数教学团队也一直恪守着“传统”的教学方式。

课堂上，老师们上课很少用PPT，他们更喜欢最原始的黑板和粉笔。“上课用PPT，看上去是技术进步，说到底是方便了老师，而不是学生。”团队负责人、上海市教学名师金路说。

在他看来，学生听课时看着老师的PPT，只是貌似懂了，可解题的思路、思考的过程，并不清楚。而数学这门学科，恰恰是讲究逻辑和思维过程的科学。老师在黑板上写板书，其实是在展示思考的过程。

“用黑板板书，学生上课时能够跟随老师的演算过程进行思考，他们常常会提问，有时候甚至会发现老师的问题。这才是真正的学习状态。”金路说，他们也曾尝试过只用PPT授课，结果发现效果并不好，课堂上，学生常常是沉默的。“他们的提问少了，思考也少了，当然成绩也下降了。”

坚持用最传统的方法授课，高数课常常让老师很累。有时候，一道题就得写上一黑板。有人统计过，每次上高数课，写板书的黑板至少要32块，老师往往写了擦，擦了写，反反复复。

不论是有几十年教龄的金路，还是被学生们赞为“女神”的肖晓，上完一堂高数课，他们的脑袋上、衣服上，甚至睫毛上，都会粘上一层薄薄的粉笔灰。“一边在写板书，一边是公式在大脑里不停运转，哪怕屋外天寒地冻，老师们也热得满脑门儿的汗。”金路告诉记者，即便是大冬天，高数课老师也常常热得只能穿衬衫上课。

看似教的是数学，改变的是学生的思维方式，帮助他们从高中向大学过渡

上好一门公共课，让那些对数学“恐惧”的学生不再害怕，让他们从高等数学中获得思维训练和启发，也让喜欢数学的学生真正欣赏到数学之美、热爱数学，这是复旦高数教学团队追求的目标。看似是教数学，其实是在帮助低年级本科生完成思维方式从高中到大学的过渡。

作为团队成员之一，被学生称为“校草”的黄云敏教授从事高数教学已经20年了。在他看来，高数的学习是大学教学的缩影，本质上是学习一种新的思维方式。“得思路者得高数”，“如果说有些课程的重点在于知识的传递，那么高数则更偏重于思路的转变。”

曾有一位大一新生和黄云敏交流：高中时，同一道题目做上五遍，心里就踏实了。“这不是大学里应该有的学习方式，大学里更应该具备逻辑推演、思辨审视、多种途径寻求问题解决方案的能力，这些在数学学习中都有。至于交流能力、表达能力，同样可以从数学学习中获得，毕竟数学就是用最简洁的方式表达这个世界上的复杂问题，并寻求答案。”黄云敏说，很多非常优秀的学生初入大学，会发现不适应大学课程，这正是因为他们缺少正确的思维方式，仍然依赖“题海战术”来解决学习问题。

复旦高数教学团队成员张永前说，相比高中学生学习的往往是一个个的知识点，而大学的高等数学公共课更关注学生知识体系的建立。复旦大学高等数学公共课有A、B、C、D四个等级，但四个等级并非难易之分，而是根据人文社科、管理经济类学科以及医科和理科所需要具备的数学素养和能力的不同而设。这更不用说，加上一学期的教学量相当于高中三年，也考验着老师的教学方式。“老师要讲清楚数学背景和概念，让学生明白面对不同的问题，如何使用不同的定理、工具，这背后的思路比完成多少道题都重要。”

有时候，讲清楚还不够，老师还得“手把手”教会学生如何思考。在黄云敏的高数课上，环境科学与工程系的学生小王因为重修课程，对高数失去了信心。经过三小时的谈话，黄云敏为小王重树了学习信心。随后的每堂课，黄云敏都要求小王坐在第一排，随时抽查他的学习进度。下课后，小王还经常被要求在黑板上解题，由黄云敏看着他一步步演算，帮他找出数学思维中的问题。十来节课后，小王“开窍”了。

小王不是唯一被留下来当面解题的学生。每当高数课下课，老师们几乎都会被学生“围追堵截”。不少高数课安排在上午三四节课，中午11点35分是下课时间，但经常要到下午1点，他们才会被学生从教室里“放”出来。“一到下课，就有学生围上来。一节课一两百人，即使只有十分之一的同学来请教，也得讲解两三个小时。”金路说。

高数绝不“为难”学生，天赋并不重要，只会拦住不会学习的人

很多学生之所以选文科，是因为他们害怕数学。但在复旦，不少专业要过数学关。高数公共课团队的老师们完成的不仅是教学，还要培养学生的兴趣。

“有些文科生考上复旦，发现大一的必修课里有高数，还没开始学，自己就先慌起来了。”一位旅游管理专业的女生向黄云敏诉苦：当年学文科就因为害怕数学，没想到逃过高考中的理科数学卷，却逃不过大学里的高数课。

高数对于文科生真的是无法跨越的天堑吗？其实不然！

“高数说到底是逻辑思维的学习，所谓的数学天赋并不重要。”在黄云敏主讲的高数课堂上，有不少来自哲学、经济专业的学生，他们的表现并不逊于理科专业的学生。

“高数毕竟是水平考试，而不是选拔考试，它更侧重抽象思维能力和数学素质的培养。”金路说，“无论文理科，掌握这门数学工具、特别是思维能力，是为后续的专业课学习打下基础。”

培养抽象思维能力，并不是简单靠“翻翻书”就能达成。作为一名高数老师，徐慧平认为，高数学不好，只可能因为你还不够用功，或者没找对思路和方法。

曾有人说，高数是大学“最不起眼的课程”，因为它只是大一必修的一门基础课。但他们不知道，唯有在高数锻造的数学思维基础上，才能建造复杂的物理化学公式。而这些默默承担着课程教学的“不知名”的老师们，也在尽最大努力帮助学生。

“在高数课上，我成长了，真的成长了。我懂得了，只有努力才会有成功。”一位学生在给朱慧敏的邮件中这样写道。

“我们最高兴的就是看到同学们的成长。”金路说，老师们都愿意去做这样的铺路石，为把学生们推向更高的学术高峰而坚守。

——王巨平老师曾送我两份礼物：一份是一张空白的期中考卷，另一份是一张空白的期末考卷。同时还附送上陈寅恪先生的一首诗：“天赋迂儒自圣狂，读书不肯为人忙。平生所学宁堪赠，独此区区是秘方。”

虽然他捡起  “坠地铿锵有声”的粉笔、如古人注六经般连注十几条数列，已是近一年的事了。可每当我想起他提及牛顿、莱布尼茨，提及他们为人类剥开黑暗时微妙的音调与眼神中的光芒，依然久久不能忘怀。

大一第二学期，王巨平老师因临近退休而不再教授高数B，我又选不上热门老师的课，几经波折挤进程晋老师的高数A。程老师板书潇洒，一不留神就使人忘记板书顺序，逼得我不敢走神。可他上课从来都是面带微笑，时常不按书上方法证明、推导，喜欢另辟蹊径，使人不禁连连惊呼“巧妙”。此后某节课他去外地出差，请同事代课，我才知道这位中国数学会副理事长曾说：“做人要知足，做事要知不足，做学问要不知足。”

——大一入学时状态非常差，许多课程都没法跟上。当我每节课都仔细抄写肖晓老师的笔记（老师写板书实在太快了），最后的高数成绩终于没辜负我的努力。虽然与同专业“大神”们比起来还是……有个学期大家分数都很高，我原本可以拿到A档，但因为30%的比例限制被挤出来了，老师还很抱歉地说要请我吃饭。

我不是老师教过班上成绩最好的学生，过去不是，现在不是，将来也不是，但老师对学生的好，我会记住一辈子，这可能也是在复旦两年里最好的回忆之一啦！后来我因为读二专的原因还经常回来，还能看到老师就在隔壁教室给基础薄弱的学生上无学分的数学课。老师真的是很辛苦很敬业了！希望她能看到，嘻嘻（虽然加了老师的微信，但也不太好意思去说）。

——“表白”高数C朱慧敏老师：老师温文如玉，山高水长，谦光自抑，从来不见发火，总是耐心解答我们的问题，不厌其烦，平心静气。老师自己制作的PPT涵盖所有考点，还有亲自加上的历年考题，让我醍醐灌顶，茅塞顿开。我是班上的数学课代表，老师最后一次上课的时候还给我们课代表一人一个本子和一支笔，表达了对我们的感谢。其实我们也没做什么，倒是老师肩膀不好，还坚持上课，三尺讲台写春秋。老师也不会为难学生，而是让我们明白，只要努力还是能获得理想的成绩，这给了我希望，给了我动力。两学期的陪伴让我看到了世间那美好的一面，让我愿意相信努力的意义。

——徐惠平老师的高数嘛，我觉得超赞的，虽然时间有些久远，但印象还是超深刻（也可能是因为当初考过第一），每次都是手写板书，板书的逻辑超级清晰，而且上课会偶尔冒出上海话（当然好像带宁波口音）。

不知道你是否听过类似的说法：大学有棵树，叫做高树（数），上面挂了很多人,……

对于曾经的理工科学生深刻体会到：虽然高数虐我千百遍，依然还不得不待高数如初恋！只因挂一科高数，等于挂两门其他的课程的学分；只因为高数没学会，后续专业课无以为继，……

作为理工科学生（数学专业除外），甚至有些学校的文科生，无论如何，高数终究是要学的，逃避是不可能的事。至于进入大学以后，对于曾经的中学学霸，为什么感叹：“天呐，高数怎么就这么难学啊，不学了，我要回去读高三！”. 其中的原因以及如何破局，咱们在第一次课中一起来聊一聊！

中学阶段的数学课堂：老师讲为主，学生练为辅。通常情况下，老师都会先讲清楚概念定义，再出一些相似例题在课堂上练习、详细分析讲解，之后再辅助一些课后、家庭作业用于巩固。同时，还会进行大大小小的多次考试，比如周考，月考，期中、期末考等等；并且高中数学更多的是计算，也就是说老师给你一种方法，然后反复、不断加以练习直至掌握。

与高中数学教学、学习不同：大学数学抽象的定义证明超级多，而且内容多、课时少，老师讲课速度超级快，课堂上老师基本不会给时间消化和练习，例题、练习也一般只分析思路和可能的探索方法；而课后也不会督促练习。

更重要的是，进入大学，有些同学自我放松比较厉害，很多人理所当然觉得，大学里学习不是重要的，玩才是最重要的。在大学校园里，我们见到的不是背着吉他的小哥哥，就是打扮得漂漂亮的小姐姐，要么随处可见的就是一堆堆玩游戏的大学生。不再像高中般随处可见的是看书、读书的人，除去上上课，基本与“学习”隔绝。丰富多彩的大学生活，许多人渐渐忘了学习，没有督促，哪会抽出时间来主动练习来巩固听课效果、及时消化掌握课程内容。

而且，数学学习前后衔接（相关性）密切，一环扣一环，一旦开小差，前面没掌握，后面基本上就没法听懂、理解，也就失去了继续听下去的信心和能力。这样，高数也就自然成了众多大学生的噩梦。

二、大学数学的特点与学习方法

1、数学学习中最重要的是数学素质培养

“数学素质教育”是大学数学教学的灵魂。数学素质是以先天遗传因素为基体，在从事数学学习与应用活动的过程中，通过自身的不断认识和实践的影响下，使数学文化知识和数学能力在发展中内化，逐渐形成和发展起来的“数学化”思维意识与“数学化”地观察世界、处理和解决问题的能力。它是一种综合素质，它主要表现在观念、能力、语言、思维、心理等方面。数学素质包括数学意识、解决问题、数学推理、信息交流、数学心理素质五个部分。

“数学素质教育”就是通过系统和科学的数学教学来启发人的悟性，并挖掘人的潜能，从而达到培养能力、开发智力、启发创新的目的的过程。

• 被动的记忆能力上升为主动的、系统的分析问题的能力和独立思考的能力

• 现代大学教育成为以培养学习者获取新知识的能力为主要目的的素质教育

• 21世纪的人才，应具备自我学习、自我组织、自我适应及自我发展的能力

精确性、抽象性、技巧性(逻辑严谨、高度抽象、广泛应用)

学习抽象概念，要抓住下面几个环节：

(1) 记住一两个引入概念的实例；

(2) 记住一两个与概念相悖的反例，从多侧面加深对概念的理解；

(3) 弄清概念与其它已有概念的关系，避免将诸多概念分割成孤零零的教条，将诸概念之间的关系，用例子（包括反例）、定理、公式联系起来。

(1) 讲得学生人人都能听懂的教师，不是好教师；

(2) 上课主要听概念、思路，尤其注意老师强调的地方，这往往是容易出现错误的地方；听定理证明的方法，而不要过分拘泥于听懂证明过程中的每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充。

(3) 一堂课自始至终保持注意力不太容易做到，因此建议把主要精力集中在概念讲述、定理证明思路、易出错地方的介绍与讨论，学会合理分配精力与体力。

(1) 建议选定一本习题指导、疑难问题解答、或考研复习资料作为参考书；

(2) 读书：多则惑，少则得；

(3) 当把一本书读“薄”这一过程完成之后，应该尝试着再把书读“厚”，把体会、从参考书上学来的好的例子、新的证明思路、方法及相关扩展性的内容等等添加进去，使之丰富起来，使书真正成为自已“写出来”的书

(1) 概念性练习最重要，建议多花点时间

(2) 对基本运算题应多练习，并注意准确性与速度，少看书后的参考解答，靠答案的辅助提示

(3) 对做错练习不要放过，记住，错误往往正是这道题检测时所预先设计的，要引起警觉.

(4) 做过练习之后一定要学会总结、归纳(知识点、思路、方法，“套路？”)，及时查漏补缺。

华罗庚：埋头苦干是第一，熟能生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才

■ 正确学习态度：把学习当快乐，把积累当成功；滴水成河，聚沙成塔；

■ 养成良好的学习习惯：脚踏实地、按部就班，把提高学习的效率与学习的质量放在首位

■ 数学记忆建立在理解和熟练做题基础上

■ 手写笔记，少或不积累电子文档

法国数学家笛卡尔：没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。

想学、会问、能用； 知之、好之、乐之

8、学习高等数学三个要求

各类知识都是在一定的历史过程中形成的。因此，要在历史发展的长河中，考察它的产生、发展、意义及未来。这就是历史地学习。建议大家了解一点数学科学史和一些科学家在关注专业领域和数学领域所做的贡献。

要从各个不同侧面来理解所学的知识。用不同的观点：如哲学的、物理的、直觉的、甚至常识的来解释同一个问题。学会从正面、反面和各个不同侧面来观察同一个问题。要通过联想、类比、归纳等方法，将所学的知识编织成一个知识的网络。知识只有融会贯通才能发挥它的巨大威力。

学习的目的在于应用。要勇于研究实际问题，善于将实际问题数学化（模型化），又善于将理论结果回到实际中去。学习离不开一个“勤”字：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

要勤于思考。勤于提问。凡事要问一问：为什么？它的本质是什么？要勤于互相讨论，学问学问，又学又问。要勤于动手，只要有一点体会、想法就要动手记下来。要从教材的字里行间、从课堂的讲授中、从彼此的讨论中，品味出属于自己的理解，品味出深层次的韵味。提倡主动地、生动活泼地、创造性地学习。

三、高等数学的学习目标与内容

高校理工科各类专业的学生（数学专业除外，数学专业学数学分析）一般都要学习一些数学基础课程，相对于某些需要学数学的文科专业，难度要大，其中最基础的课程所使用的教材一般就是“高等数学”；而文科各类专业的学生，学的数学内容稍微浅一些，教材通常称为“微积分”或“文科高等数学”。另外的数学基础课则通常有：线性代数（数学专业学高等代数），概率论与数理统计（有些数学专业分开学）。这两门课和高等数学一起，也是工科、理科（数学专业除外）、财经类等专业研究生全国招生考试的基础内容科目。

《高等数学》是高等院校的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，可以系统地获得微积分的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想、方法，使学习者受到数学分析的基本概念、理论、方法以及运用这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练，以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。

1、分析基础: 函数 , 极限, 连续

2、微积分学（一元微积分、多元微积分）

3、向量代数与空间解析几何

6、数学软件与数学实验

注：不同学校根据层次和专业不同略有不同！

不管你是刚入大学校园的学友

还是曾经学过高数的学友

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：证明： 是无理数。

【参考证明】：假设 为有理数，则其可以表示为最简分数形式，即 ，其中 为互素的整数。于是

所以 为偶数，则 为偶数并可表示为 ，代入上式，得

所以 ，即 也为偶数. 从而可得 和 有公因数2，与 为最简分数矛盾. 所以 不可能为有理数，即为无理数。

练习2：设 ，，为互异实数，求解方程组:

【参考证明】：考察方程结构，可以视，，为方程

的三个根，于是由多项式方程根与系数的关系，可得

练习3：设 ，且 . 证明：

等号当且仅当 时成立．

【参考证明】：用数学归纳法证明：

1. 当 时，由于 ，所以 ，且都为正数，所以从方幂不等式，有

等号当且仅当 时成立.

当 不全为1时，这时至少有一个小于1，一个大于1． 不失一般性，可以令 , ，于是

综上可知所证结论成立.

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