如何用理论方法证明（注意！是理论方法！）：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合？请详细说明，如满意追加300分，绝无食言！如何用理...
如何用理论方法证明（注意！是理论方法！）：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合？请详细说明，如满意追加300分，绝无食言！
如何用理论方法证明：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内相交（此处应该为“相交”）？用理论方法（非反证法！）
我做了归纳：做这种题目要用假设法
假设:一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合
已知:三角形ABC不是等腰三角形,AD是角A的角平分线也是BC的中垂线
所以:这个三角形是等腰三角形
该条件与"三角形ABC不是等腰三角形"不符
所以任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合
我看了半天，总觉得楼上的几位老兄说的与楼主要求的有些文不对题。人家是要证明任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线与该顶点所对边的中垂线的交点不在三角形内，而不是中垂线与不与角分线重合的问题。
这道题我是用解析几何方法解的，开始我也费了一番力气，原因就在于没有建立恰当的直角坐标系。今天早上5点钟起来重新做了一下，觉得按照如下的方法可以比较容易的得到证明。
这里没有办吧画图，只好用文字描述了，要耐心看哦！
设任意非等腰三角形ABC，在底边BC上建立x轴，以BC边的中点为直角坐标系的原点，角A的角分线交BC边于E，设点B、C两点的坐标分别为（-c，0）和（c，0），（c>0）点A的坐标为（x，y）（x>0,y>0）即先假设点A位于第一象限，那么设此时E点的坐标为（e，0）(此时一定有e>0，图形一画出来就知道)
如此原问题就转化成了证明e是否真的大于零了，因为如果e<0，那么该角分线与中垂线的交点一定相交与三角形之内了。
线段BE的长度为e+c
线段CE的长度为c-e
上式中分母一定是正数，可见e的正负就看√[(x+c)^2+y^2]与√[(x-c)^2+y^2])的大小关系了。由于x、c均为正数，容易证明√[(x+c)^2+y^2]>√[(x-c)^2+y^2])。当A位于第四象限时，该不等式仍成立。即E点位于原点以右。由此证明它们的交点一定在三角形以外。
(如果非要算一下的话，可以将直线AD的解析式求出来，然后另x=0，看看y的值是不是为负（第四象限为正）即可。)
同理可以证明当A位于第二、三象限时，e<0。即E点位于原点以左。
说句题外话:其实,从e的分式中容易看出，当x=0时，e=0，即当A点位于y轴上时角A的角分线与BC边的中垂线重合，而此时三角形恰为等腰三角形。
我自己对该证明方法还是非常满意的，哈哈，不知楼主还有何指教。
用反正法很容易证明的。假设他们重合。就可以得出是等腰三角形，与假设矛盾。
设任意一非等腰三角形为三角形ABC,
从A点做角A的角平分线交BC于D,用正弦定理可得:
因为三角形ABC是非等腰三角形,SIN角B不等于SIN角C；
所以BD不等于CD,即AD不是中垂线；
同理可证角B和角C的角平分线也不是中垂线。
图在百度画不了，只能说了。<>表示不等于
画一个任意三角形ABC，角A，角B，角C互不相等。
（1）做角A的角平分线AD交BC与点D，做边BC的中垂线 OM垂足为O。
根据三角形外角定理：角BDA=角C+角CAD，角CDA=角B+角BAD；因为角A，角B，角C互不相等，
(平行线性质：两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
判定：1、两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等,那么这两直线平行.
如果同位角不相等,那么这两直线相交.
所以 直线AD与直线OM相交
所以 直线AD与直线OM不重合，
（2，3）同理可证角B，角C的情况
综上：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合
PS:证明：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，与该顶点所对边的中垂线在三角形内相交
角BDA<>角BOM，所以相交。这还有什么好证明的，如果非要证也可以。
反正法：如果不相交，那必平行，或重合，但不管是平行还是重合，都可推出 角BDA＝角BOM ，与角BDA<>角BOM矛盾，所以不是平行，或重合，而是相交。
在补充一下，证明两直线是否相交，只要证明这两条直线的夹角是否为0，为什么呢？因为这是相交的定义这么规定的。
本回答由新航道无锡学校提供
图在百度画不了，只能说了。<>表示不等于
画一个任意三角形ABC，角A，角B，角C互不相等。
（1）做角A的角平分线AD交BC与点D，做边BC的中垂线 OM垂足为O。
根据三角形外角定理：角BDA=角C+角CAD，角CDA=角B+角BAD；因为角A，角B，角C互不相等，
(平行线性质：两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
判定：1、两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等,那么这两直线平行.
如果同位角不相等,那么这两直线相交.
所以 直线AD与直线OM相交
所以 直线AD与直线OM不重合，
（2，3）同理可证角B，角C的情况
综上：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合
PS:证明：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，与该顶点所对边的中垂线在三角形内相交
角BDA<>角BOM，所以相交。这还有什么好证明的，如果非要证也可以。
反正法：如果不相交，那必平行，或重合，但不管是平行还是重合，都可推出 角BDA＝角BOM ，与角BDA<>角BOM矛盾，所以不是平行，或重合，而是相交。
在补充一下，证明两直线是否相交，只要证明这两条直线的夹角是否为0，为什么呢？因为这是相交的定义这么规定的。
图在百度画不了，只能说了。<>表示不等于
画一个任意三角形ABC，角A，角B，角C互不相等。
（1）做角A的角平分线AD交BC与点D，做边BC的中垂线 OM垂足为O。
根据三角形外角定理：角BDA=角C+角CAD，角CDA=角B+角BAD；因为角A，角B，角C互不相等，
(平行线性质：两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
判定：1、两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等,那么这两直线平行.
如果同位角不相等,那么这两直线相交.
所以 直线AD与直线OM相交
所以 直线AD与直线OM不重合，
（2，3）同理可证角B，角C的情况
综上：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，不与该顶点所对边的中垂线在三角形内重合
PS:证明：任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线，与该顶点所对边的中垂线在三角形内相交
角BDA<>角BOM，所以相交。这还有什么好证明的，如果非要证也可以。
反正法：如果不相交，那必平行，或重合，但不管是平行还是重合，都可推出 角BDA＝角BOM ，与角BDA<>角BOM矛盾，所以不是平行，或重合，而是相交。
在补充一下，证明两直线是否相交，只要证明这两条直线的夹角是否为0，为什么呢？因为这是相交的定义这么规定的。
我看了半天，总觉得楼上的几位老兄说的与楼主要求的有些文不对题。人家是要证明任意一非等腰三角形任意顶点发出的角平分线与该顶点所对边的中垂线的交点不在三角形内，而不是中垂线与不与角分线重合的问题。
这道题我是用解析几何方法解的，开始我也费了一番力气，原因就在于没有建立恰当的直角坐标系。今天早上5点钟起来重新做了一下，觉得按照如下的方法可以比较容易的得到证明。
这里没有办吧画图，只好用文字描述了，要耐心看哦！
设任意非等腰三角形ABC，在底边BC上建立x轴，以BC边的中点为直角坐标系的原点，角A的角分线交BC边于E，设点B、C两点的坐标分别为（-c，0）和（c，0），（c>0）点A的坐标为（x，y）（x>0,y>0）即先假设点A位于第一象限，那么设此时E点的坐标为（e，0）(此时一定有e>0，图形一画出来就知道)
如此原问题就转化成了证明e是否真的大于零了，因为如果e<0，那么该角分线与中垂线的交点一定相交与三角形之内了。
线段BE的长度为e+c
线段CE的长度为c-e
上式中分母一定是正数，可见e的正负就看√[(x+c)^2+y^2]与√[(x-c)^2+y^2])的大小关系了。由于x、c均为正数，容易证明√[(x+c)^2+y^2]>√[(x-c)^2+y^2])。当A位于第四象限时，该不等式仍成立。即E点位于原点以右。由此证明它们的交点一定在三角形以外。
(如果非要算一下的话，可以将直线AD的解析式求出来，然后另x=0，看看y的值是不是为负（第四象限为正）即可。)
同理可以证明当A位于第二、三象限时，e<0。即E点位于原点以左。
说句题外话:其实,从e的分式中容易看出，当x=0时，e=0，即当A点位于y轴上时角A的角分线与BC边的中垂线重合，而此时三角形恰为等腰三角形。
我自己对该证明方法还是非常满意的，哈哈，不知楼主还有何指教。
