泰勒公式的余项是什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-03 20:02 标签： 泰勒公式余项趋于0

前段时间，看图像处理和机器学习的时候，遇到了高数中微分与积分的内容，就复习了一下相关内容，下面就是这几天学习的一个笔记，因为我不是学数学的，数学基础也不好，相关概念理解可能不够准确，甚至有错误，欢迎大家批评指正。

这里说一下，为什么要说到微分的起源。自己学计算机也有几年了，发现一个问题，就是很多东西，记住了，又忘了，然后再记，再忘，比如，算法之类的知识，后来，我慢慢发现，为什么这些东西容易遗忘，就是因为我们不知道这些知识的起源，不知道他们为什么会被发明出来，如果你知道他们是为了解决什么问题而被发明出来，进而通过什么思想推导出来，那么这些知识就不容易遗忘，所以，我们在学习的时候，一定要注意这些知识的起源。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部是否可以使用用直线去近似替代曲线？(这个思想就是后来微积分中著名的”以直代曲”思想)。
如果在这个微小的局部，函数的增量可以用线性函数的数值来近似，就可以得出在微小局部可以使用用直线去近似替代曲线。下面看看是否可以？

函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，若存在常数A,对于自变量的增量Δx→0,等式Δy=AΔx+o(Δx)成立，则我们就可以认为在微小局部，可以使用一个线性函数去近似增量。那么存在这样的常数A吗？
假设存在，我们知道，如果函数在点x0处可导，则

即A=f′(x0),存在这样的常数！这个结论反推也是成立的.则定义Δx的线性函数AΔx(注意，线性函数是一次的)为函数在点x0处的微分，表示为

,所以函数f(x)在点x0可微的充要条件是在x0处可导,因为Δy?dy=o(Δx),他们之间存在一个高阶无穷小，所以只能使用微分近似表示增量。

这样我们就得到了微分的定义：

函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，若存在常数A,对于自变量的增量Δx→0,等式Δy=AΔx+o(Δx)成立,则称f(x)在点x0处是可微的,定义Δx的线性函数AΔx函数为在点x0处的微分，表示为

Δx→0,微分近似表示点x0处的增量

这里偷了个懒，直接用的书上的图(^__^)

在微小局部使用用直线去近似替代曲线，即”以直代曲”思想

他们之间是有一个误差的，这个误差就是o(Δx)=o(x?x0),这个误差有点大，现在我们想能不能提高精度？下面我们就需要解决两个问题:

为了提高精度，现在我们要用一个高次多项式去近似，假设这个多项式为

由公式2，我们可以推到出，多项式如果要近似为曲线，需要满足以下的条件：

对公式3求导数，最后得到

至于为什么会构造这个式子，先别急，通过后面的推导就知道了。由公式5，我们可以知道

该式子还可以继续用柯西中值定理，最后的计算结果为：

现在我们就很清楚为什么要构造那样的式子了，是为了方便使用柯西中值定理。又

这就是泰勒公式中的拉格朗日余项。有的时候，我们不需要余项的精确表达，这个时候可以写成

皮亚诺余项和拉格朗日余项在实际运用中的区别

  • 拉格朗日余项:函数在x0处有n阶导数,且在(x0,x)内有n+1阶导数
  • 皮亚诺余项只：函数在x0 处有n阶导数

当泰勒公式中n=0,则

这就是拉格朗日中值定理,我们可以看到拉格朗日中值定理就是泰勒公式的一个特例。

这就是麦克劳林公式,实际应用中，麦克劳林公式用的更多，因为是关于x的多项式，在实际应用中用的更多.

到这里，我们可以看出，泰勒公式可以推到出很多其他公式和定理，后面你会发现，泰勒公式的意义还不至于此，所以泰勒公式是高等数学中一个非常重要的公式。

的麦克劳林公式，我们还是非常有必要掌握的，最好是能够非常熟练的背下来。这对于以后的学习是非常有帮助的。

  • 下面分别举个例子，例题我就懒得用LaTex排版了，例题都是我从课件上找来的，我直接截个图放在上面，大家就将就看一下，主要看看泰勒公式的应用


其实求极限的方法：等价无穷小都可以使用泰勒公式推导而来，泰勒公式是万能的！

下面我们来说说泰勒公式最重要的东西，就是泰勒公式的思想。

泰勒公式中，f(x0),f′(x0),?,fn(x0),n阶导数信息表示的就是x0处附近的信息,泰勒公式说明了，我们只要知道x0处的信息，就可以表示整个函数了.
函数上任意一点的临域都包含着函数的全部信息！

用函数某个点x0的局部信息(就是n>=0阶导数)描述函数f(x)

我们的人生是解析函数吗？如果是的话，我们可以在最短最短时间内我们所经历的一切，外推到整个人生。所以说，如果人生是解析函数的话，那就太棒了。我们只要活一点点，我们就可以用一点点的生涯去幻想无穷无尽的生命到底是长什么样子。
有一个我很敬佩的数学家，他说过一句话，“死并不可怕，死只是我所遇到的最后一个函数”。意思就是说，其实他认为人生并不是解析函数，他在那个时候已经认识到了，人生是充满着断点，跳跃，以及不连续点，人生是一个非常非常算是 正规 的函数。因为事实上，Weierstrass已经证明：处处连续但处处不可微分的函数才是函数的常态。

泰勒公式的魅力还远远不止这些内容，虽然我还没有真正理解泰勒公式，但是我却感到莫大的兴趣，越来越发现，数学这个领域，越来越迷人，复杂的数学公式背后蕴含着简单的哲理和思想。

写到这里，忽然发现，”计算机之父”,”人工智能之父”的图灵是在1954年的今天去世的，距离今天已经61年了，这位光芒四射的划时代科学奇才为世人留下了无限的惋惜，缅怀一下这位伟大的数学家和计算机科学家。

这篇博文参考了以下内容.

北方民族大学叶志萍老师讲课视频，讲解泰勒公式非常好


我们已与文献出版商建立了直接购买合作。

你可以通过身份认证进行实名认证，认证成功后本次下载的费用将由您所在的图书馆支付

您可以直接购买此文献，1~5分钟即可下载全文，部分资源由于网络原因可能需要更长时间，请您耐心等待哦~

《泰勒公式中两种余项之比较及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泰勒公式中两种余项之比较及应用（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、泰勒公式中两种余项之比较及应用 摘要】泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在近似计算、定理证明中发挥着重要作用.本文首先介绍了泰勒公式的两种余项，并做了比较，然后巧用两种余项，解决不同问题.【关键词】泰勒公式;拉格朗日型余项;皮亚诺型余项;极限;拐点;不等式;级数敛散性泰勒公式是高等数学的重要内容，因其能把复杂函数转化为多项式函数的特性，因此，在近似计算、定理证明等方面都发挥着重要作用.比较比较详细的阐述和论证，但是对这两种余项有何区别介绍较少.因此，在具体应用中，该使用哪种余项，让很多学生感觉十分迷茫.以下我们将分别介绍带这两种余项的泰勒公式，并通过几个例子，帮助理解，拨开“迷雾.一、两种不同

2、余项的泰勒公式一带有皮亚诺型余项的泰勒公式定理1假设函数y=fx在点x0存在直至n阶导数，那么在x0近旁有fx=fx0+fx0x-x0+fx02！x-x02+fnx0n！x-x0n+ox-x0n，其中，ox-x0n称为皮亚诺型余项.特别地，假设x0=0，那么fx=f0+f0x+f02！x2+fn0n！xn+oxn，称它为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式.二带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2假设函数y=fx在a，b上存在直至n阶的连续导数，在a，b内存在n+1阶导数，那么对任意给定的x，x0a，b，至少存在一点a，b，使得fx=fx0+fx0x-x0+fx02！x-x02+fnx0n！x-x0n+

3、Rnx，其中Rnx=fn+1n+1！x-x0n+1，介于x0与x之间，Rnx为拉格朗日型余项.特别地，假设x0=0，那么fx=f0+f0x+f02！x2+fn0n！xn+fn+1xn+1！xn+1，0称它为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.比对两个定理，我们发现，带有皮亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少，只需要在x0处n阶可导，不需要n+1阶导数存在，也不需要在x0的邻域内存在n阶连续导数.皮亚诺型余项只是定性地告诉我们：当xx0时，逼近误差是较x-x0n高阶的无穷小量，而拉格朗日型余项那么是一个定量形式的余项，是对逼近误差进行具体的计算或估算.因此，应用上述定理，可以视问题的具体需求，

7、朗日型余项的泰勒公式，有fx=f0+f0x+f2！x2=12fx2，介于0与x之间.由题设，fx在x=0的邻域内连续.因此，fx在包含x=0的一个小闭区间内连续.由闭区间上连续函数的性质，在包含x=0的一个闭区间内，M0，使得|fx|M，所以|fx|=12fx2M2x2.令x=1n，有f1nM21n2.p-級数n=11n2收敛，因此级数n=1M21n2收敛.从而n=1f1n绝对收敛.以上我们借助几个实例展示了泰勒公式的应用.通过例子我们发现带皮亚诺型余项的泰勒公式，多用于只需对余项定性的问题中，如极限计算等;而带拉格朗日型余项的泰勒公式，多用于需对余项定量的问题中，如级数敛散性判断等.泰勒公式可以巧妙解决很多数学问题，在其他学科的问题中，也有着广泛的应用.当然，具体使用哪种余项，需要因地制宜、灵活把握.【参考文献】【1】苗文静，王昕.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论J.哈尔滨师范大学自然科学学报，20215：29.【2】姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用J.兰州文理学院学报自然科学版，20211：29.【3】徐海娜.泰勒公式的应用例举J.科技信息：学术研究，202114：83-84+87.【4】于力，刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用J.高等数学研究，20213：6.

我要回帖

更多关于 泰勒公式余项趋于0 的文章

 

随机推荐