一、选择题（本题共5小题，每小题３分, 共15分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内．） 1．设B?A，则下面正确的等式是

2.有r个球，随机地放在n个盒子中（r?n），则某指定的r个盒子中各有一球的概率为

5.设总体X在(???,???)上服从均匀分布，则参数?的矩估计量为

三、判断题(本题共7小题, 每小题２分, 共14分.把答案填在下面的表格内,正确的填“√”，错误的填“× 11 12 13 14 15 16 17 题号 答案 √ √ × × √ √ √ 11．设A,B,C为随机事件，则A与A?B?C是互不相容的.

13．连续随机变量X的密度函数f(x)与其分布函数F(x)未必相互惟一确定.

14．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.

15．样本均值的平方X2不是总体期望平方?2的无偏估计.

16．在给定的置信度1??下，被估参数的置信区间不一定惟一.

17．在假设检验中，显著性水平?是指P(拒绝H0H0为假)1??.

四、解答题(本题共６小题，满分48分，解答应写出文字说明和演算步骤.) 18.(本题满分6分) 某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率． 解：P?2C82CC88??2??2??0.67 10C

20(本题满分10分) 在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率． 解：f(x)??所以

21(本题满分6分) 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX． 解：E(X)?0.9，D(X)?0.61.

23(本题满分10分) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．（t0.025(35)?2.0301，t0.025(36)?2.0281） 解：X~N(66.5,t??2n) ，设H0:X?70,H1:X?70，则

五、证明题(本题共2小题，满分8分，解答应写出证明过程和演算步骤.) 24. (本题满分4分)设A,B是两个随机事件，且

??证明：A与B相互独立．

??P(AB)， P(A) 25. (本题满分4分)设总体X服从参数为?的泊松分布，X1,?Xn是X的简单随机样本，试

怎样学好概率论-概率论的学习方法介绍

　　篇一：“概率论与数理统计（二）”学习方法

　　“概率论与数理统计”的学习应注重的是概念的理解，而这正是广大学生所疏忽的，在复习时几乎有近一半以上学生对“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”仍说不清楚。对于涉及随机变量的独立，不相关等概念更是无从着手，这一方面是因为高等数学处理的是“确定”的事件。如函数y=f（x），当x确定后y有确定的值与之对应。而概率论中随机变量X在抽样前是不确定的，我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定性的思维方法就会出错。由于基本概念没有搞懂，即使是十分简单的题目也难以得分。从而造成低分多的现象。另一方面由于概率论中涉及的计算技巧不多，除了古典概型，几何概型和计算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些计算的难点，其他的只是数值或者积分、导数的计算。因而如果概念清楚，那么解题往往很顺利且易得到正确答案，这正是高分较多的原因。

　　根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理统计”的学习方法提出一些建议。

　　一、 学习“概率论”要注意以下几个要点

在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量X（即从样本空间到实轴的单值实函数）的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。 此外若对一切实数集合B，知道P（X∈B）。 那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量X的分布P（X∈B）。 就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。

　　2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X（w），但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，

　　随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P（X∈B），即随机变量X的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P（A）。P（B）＞0，则A，B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。

　　3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F（x）=P（X≤x），EX，DX等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx（x）=∫－∞∞

　　f（x，y）dy，事件B的概率P（（X，Y）∈B）=∫∫Bf（x，y）dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f（x，y）通常是分段函数，真正的积分限并不再是（－∞，∞）或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。

　　4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。

　　二、 学习“数理统计”要注意以下几个要点

　　1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实际问题。对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到① 如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个估计量的优劣？这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误。

　　2. 许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多，置信区间，假设检验表格多而且记不住。事实上概括起来只有八个公式需要记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式，完全没有必要死记硬背。

　　篇二：如何学习概率论

　　不少人特别是初学者总感到概率统计难学，不知怎么才能学好，摸不着头绪，比较着急。有人还问：学概率统计有什么窍门？总之，都渴望得到一种好的学习方法，从而学好概率统计。

　　概率论是研究随机现象的统计规律性的数学学科。由于问题的随机性，从这个意义上讲，也可以说有点难学。这正是不少人害怕概率的原因。但随机现象是有规律可循的，概率论正是研究它的这种规律性的，只要抓住它的规律，概率论也就不难学了。

　　学习概率统计要抓三个基本：基本概念，基本方法，基本技巧。

　　基本概念包括基本定义，基本原理和定理。特别要注意如何将实际问题转化成概率模型。这就要求对实际问题的性质，特点和概率论的概率都有充分的了解和认识，这样才能将两者互相联系起来，建立实际问题的数学模型，然后用概率论的方法解决问题。

　　基本方法包括基本的分析问题的方法，基本公式和基本的计算方法，这是解决问题必不可少的。它建立在对基本概率充分理解的掌握和基础上，什么样的模型用什么样的方法，这是必须搞清的。

　　基本技巧，实际上就是灵活巧妙地解决问题的某些方法，基本方法运用掌握的好，也能总结出一些基本技巧。基本技巧对提高学习效率是有好处的。

　　学习概率统计的方法要注意三多：多思，多练，多比。

　　多思，就是多想，多动脑筋，包括从多方面想。问题多是比较复杂的，只有多思多想，从多方面想，正着想，反着想，反复地想，才能悟出问题的实质。

　　多练：多练的直接意思就是多做题，做足够数量的题目，特别是不同类型的题目。必须有足够的数量，才能达到对问题的方法，熟能生巧，但多练时也要多思多想，光练不想是不行的。这里要特别提出一题多解的方法，就是一个题目要尽量多想出一些不同的方法来解决。这是一种效率高，效果好的学习方法，对提高能力，开放智力大有好处。多练时还要多总结，及时总结。

　　多比：多比就是多比较。同类型的问题的比较，不同类型问题的比较，自己的方法和书上的比较，和老师比较，和同学比较，等等，总之，可多方面比较，有比较才有鉴别，有比较才能有提高。这里特别提一下模仿。模仿是一种方法，也是一种能力，特别对学习困难的同学来说模仿是很有必要，很重要的。通过模仿入门，通过模仿掌握方法。当然，光模仿是不行的，要通过模仿学到知识，提高能力，达到能自主解决问题的程度。

　　三个基本和三多也是密切相连的，要掌握三个基本必须经过三多。基本概念要多思多想才能深刻地认识，也要多练多比才能得到加深和巩固。基本方法，基本技巧经过多练才能掌握，多练过程中也要多想多比才能掌握得更牢固，进而还可能提出更好的方法。

　　总之，三多是掌握三个基本的好方法。紧紧抓住三个基本，充分利用三多，就一定能把概率统计学好。

　　篇三：如何学好概率论

　　由于期中考后概率论课也没怎么听，前几天我也看了下同济四版的《概率统计》，在此写下些我的读书感悟吧！

　　（仅写给那些和我一样上课没听课的人，因为学霸会觉得我写的很幼稚，确实如此。） 首先，先说下这本书在讲什么，怎样排版的，正如书名《概率统计》所述，本书分为两大部分，概率论（1,2,3,4,5,章）和数理统计（7,8章）。不考的就不详细说了。

　　我们先要弄清楚概率论和数理统计的关系。概率论呢，就是个理论性的东西，研究事件的可能性的东西，而数理统计呢，是有实际用处的，对现实的一些问题先去调查取得数据，然后进行分析，也会用到概率论的知识。我认为，两者就类似于世界观和方法论之间的关系（由于我是文盲，有错的话请联系我）。

　　我去图书馆找了一下浙大版的，发现这本书的排版和浙大版是有些区别的。我们是按离散和随机来分的，浙大是按一维和二维来分的，但区别不大。下面我们来看一下，我们这版的出书人的思路。

　　首先，出书思路，就很直观的三点：【1】概率论的研究对象是随机变量，而【2】分布是随机变量的核心，【3】概率论很重要的两大理论是大数定律和中心极限定律。没了。先唠叨一句概率论的一些基础概念吧（举个例子，13班有37个男生，7个女生，随机试验是“抽个人出来，看它的性别，”随机事件是“这货是女生”，假设男生，记X=0，女生,X=1，那么X就是随机变量，P（X=ai）=pi, i=1,2这个就是分布，分布的意思就是随机变量具体是个什么情况）前五章就讲这些，接下来稍微细点讲：

　　（第一章 随机事件与概率）讲了概率论的基础知识

　　在第一章中，主要就是为了搞清两个很基础的东西“事件”“概率”

　　事件的概念上文也说了，接下来是事件的关系或者说是运算。主要就是和、积、差、互不相容、对立等，其中最重要的是两个公式：差A-B=AB （很好理解，我喜欢的女生中除掉你喜欢女生部分就是我喜欢而你不喜欢的女生）还一个是德摩根法则A∪∩不了上划线，所以大家将就着看吧。

　　然后是概率（起源、举例、性质、其他四个方面）起源是频率，举例是指古典概率，几何概率和二项概率，然后就是比较简单的性质，条件概率，其中条件概率中的特殊现象可以得出独立性，最后是全概率公式和贝叶斯公式（这两个公式做过一道题就可以理解，不难）

　　（第二（三）章 离散（连续）型随机变量及其分布）讲了概率论的研究对象，随机变量，和随机变量的核心，分布。

　　第二章和第三章大同小异，就是随机变量的类型不同而已，一个是不连续，一个是联系。可能是中国有对称的传统的缘故，所以把不联系美名为离散。

　　这两章看下我列的一个表就清楚了，就两个内容，随机变量和分布（看图请，点击我） 为什么人人不能插入图片了，真坑！！！

　　（第四章）由于从分布中，我们不能直观地看出我们想要的东西（譬如班级成绩怎样分布知道了，但我们关心的是平均分是多少，好坏差距大不大）所以之后讲了随机变量的数字特征。

　　第四章主要是计算麻烦，另外还有协方差，相关系数，矩和协方差矩阵比较抽象。 学过高中都会知道什么是期望方差，就不解释了。主要就是把定义记住还有随机变量的平方的期望什么的记住就好了。

　　下面我们先说说什么是协方差吧。先举个例子，假设我是一个男孩，首先我的学习成绩肯定是存在方差的，其次我对“你”的感情亲疏也是存在方差的，那么我喜欢你的程度对我学习成绩有多大影响呢？这就是协方差哈研究的意义了。协方差为正且越大，表示我越喜欢你可能我就会越努力，所以我成绩会越好（正相关），若是为0，那就意味着我的处理能力很强，你和成绩完全没关系，若是为负，且越来越负，那么越喜欢你，我成绩就会越差（负相关）。而相关系数和协方差一样的，就是将协方差标准化了（数学上的标准化说白了就是各种变为1）。所以相关系数的范围是[-1,1]

　　矩的话在我理解就是类似于“平均”的意思，矩分为原点矩和中心距，原点矩就是和原点（各种0）比较，中心距就是和自己的中心比较。比如一阶的原点矩就是期望，拿个物体来说就是重心的意思。而高阶的话就比较抽象了，就是幂函数的“平均”，而中心矩呢就是先减去只记得中心，其他和原点矩没什么区别。方差（二阶）和协方差（二阶混合）都是中心距的特例，挺好玩的。

　　协方差矩阵呢，我看书上好像没有写出最初的式子，就给出一个结果所以不好理解。n维随机向量 X=(X1,X2,…,Xn)T（T表示转置），那么协方差矩阵呢，顾名思义啊就是协方差哈的矩阵=E{[X-E(X)][X-E(X)]T} ，然后就是书上的那个式子，帮助理解，不用记住我写的东西。

　　然后这章就没东西了。

　　最后就是两大理论（第五章 随机变量序列的极限）。

　　大数定律呢，就是随机变量的序列（序列是指X1，X2。。。，不是单单的一个X）的平均值在啥子情况下收敛到期望值。这个在下文数理统计的证明比较有用

　　中心极限定理就是大量的和的分布在啥子情况下接近于正态分布（话说每次上次肖岚说到正态时，我都会想歪）。

　　有时候我们不会用这两个理论就是不知道这是干啥的，多读书多看报多睡觉就好了。 （PS：说到这儿，我想补充一句，我写这篇文章主要是讲一下这本书的内容，而不是怎样去考试，毕竟我自己都不会考，实话。只是建议和我一样上课没怎么听的孩子，在期末大家复习前看一下此文，免得盲目复习，复习了白复习这两种情况，不然一直不知道在讲什么，所以会导致一直在复习第一章的情况）。

　　这部分书上只要求一半，第七章的基本概念和第八章的参数估计，第九章的检验假设（和参数估计同等级的，也是一种推测的方法）和第十章两种分析（貌似是讲怎样处理数据的，我也没仔细看，所以就不和前几章一样装做很懂的样子，我发现我好会装啊，其实我前几章也不懂，哈哈）不要求

　　相比于概率论，数理统计要求的内容比较少，只要掌握基本概念和参数估计就好了。先举个例子。

　　譬如我想知道在周一到周五哪天晚上去图书馆才能尽可能遇见你，所以首先呢，我在本学期前五周先安排了我的一个兄弟蹲守侧门，我呢蹲守正门，开始记录你来图书馆是星期几晚上（也就是抽样），然后呢我就开始分析这些数据，最后我可以推测在接下来的十几周，我应该在周四晚上去图书馆才能尽可能遇见你。诶，这就是数理统计要干的事。

　　这章有3个内容。第一个就是总体样本观测值的定义，第二是统计量，第三是分位数。

　　【1】其实高中也学过，不过大学只是把它定量化了。其实这章有些人看不懂，主要是看大写X，Xi和小写xi看晕了。所以我们要明确总体X，样本X1，X2，Xn，而观测值是x1,x2,xn。从总体中抽出样本的过程就是抽样，也就是上文的蹲点。而观测值呢就是我蹲点后的记录。（这里要明确的是，样本也是个随机变量，因为我蹲点了，你来不来肯定不知道啊，只有等我观测了一晚上记录说“今晚你没来”，这样我才知道，而这就是观测值）

　　PS：大写的X和中文的“量”（譬如估计量）都是指随机变量是不确定的。小写的x和“值”（譬如估计值）都是数值，是个数。

　　【2】明确了定义，我们就来看下怎样去高校地表示和利用这些数据，也就是统计量。常见的统计量有样本均值，样本方差，样本K阶矩和最大最小次序统计量。（要注意的是，和概率论不同的是，这里是样本的统计量）

　　这些比较简单，难得是统计量的分布。（三大分布x2分布，t分布，F分布）主要掌握他们的定义，概率密度的图像，性质（书上很多东西都不要求的，只要记住定义图像和性质就行，譬如开方分布的期望是自由度之类的）。尤其是图形要记住，之后的区间估计会用到。这章中的考题也无非就是统计量的分布和统计量的数值特征。

　　由于现实中最常见的分布是正态分布，所以之后书本上讨论了正态总体的抽样分布，这里很枯燥，一大推不认娘的公式，有人肯定看不大懂，没关系，学到区间估计就懂了（由于内容重复，我在下文区间估计时一起讲）。

　　【3】分位数，这个比较直观实用，附录很多表就是这个。我们的教课书上采用的左侧分位数，就是阴影在左边的。具体的定义比较简单，记住横坐标和阴影的对应关系就好了。 总结下这章的重点，1）三大分布的定义和性质2）正态总体三个抽样分布（下文区间估计一起讲）3）三个图像在区间估计时的运用，譬如求下文1-α的置信区间等。然后这章就没了。

　　参数估计就是上文我分析推测你最可能哪天晚上去图书馆自习的方法之一，还一个方法就是假设检验。整章就两个内容，点估计和区间估计。

　　点估计和区间估计都是参数估计，就是用样本数据估计总体参数，顾名思义，区别在于点估计结果是个点，区间估计是个区间。因而两者的评价标准也不一样。

　　点估计分为矩估计和最大似然估计。

　　矩估计书上定义很烦，说白了就是用大数定律推出总体矩可以等于样本矩。矩估计计算比较简单，一般一个参数的话就用E（X），两个参数就用E（X）和E（X2）解下方程。

　　最大似然估计真是坑爹啊，当初看定义愣是没看懂，智商捉鸡。具体定义大家自己看吧，通俗地讲就是通过一种方式将最可能情况挑出来（当然最可能不一定指一定是它）。虽然定义坑，但是计算步骤是最明朗的，就三步，1）找出似然函数L(θ)。注意，计算时都只考虑正的情况。2）取对数3）解偏导等于0的方程（组），最后得到的θ是估计值，上面加个Λ才是估计量。

　　之后就将了估计量的性质（书上说是评选标准，一个意思）。

　　无偏性，就是说估计量的期望等于位置参数。没有偏差的意思。

　　有效性，在无偏性的基础上，若是估计量的方差小，那么有效性好。

　　一致性，或者说是相合性，就是数量无穷时，估计量趋向于未知参数（其实这个性质和切比雪夫是一个道理）

　　二、现在讲区间估计了

　　之前也说过了，我们就是算在某个区间内，概率为1-α。这个看起来比较易理解。

　　主要是研究正态总体参数的区间估计，分三类：（公式不好打，所以打开书本164或189页）

　　已知σ2，估计μ，用正态那个公式，然后用正态的图像可以解出置信区间。

　　未知σ2，估计μ，用t分布那个公式，然后用t的图像可以解出置信区间。

　　估计σ2，用开方那个公式，然后用开方的图像可以解出置信区间。

　　解置信区间需要用到分位数，很直观。

　　然后整本书要求的内容应该没了吧。好的，我装到现在不容易，下次上课一定要好好听讲，不能上课走神了，所以文中肯定会有我理解错的内容，请指正，谢谢。给自己鼓掌，晚安。 不过，话说你到底什么时候会去图书馆呢？真是伤脑筋o(