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超好玩硬币游戏,你都会玩吗
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3秒自动关闭窗口超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，是自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是&正正正&的组合，这时候我们只要选择&反正正&，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了&正正正&的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现&正正正&的情况必然包含在如下的结果中：
&&反正正正&&
可以看到，当出现&反正正&的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的&不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论&是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
答案是能。我们可以用下面这种玩法&化腐朽为神奇&：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
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超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
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出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
&&U1 g: t: X(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - .濠.滨.网)/ J1 o! F+ {* Y) s+ ]尼姆游戏在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
; B! K0 B; i& |(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)$ d# Y5 w0 Q2 n! D这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
! ]+ w. ~8 v8 x/ b(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)% |0 }5 [# r" V, G
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游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
# e0 D# p& j: X7 v(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)/ _9 |$ I&&d' }9 {* f有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
, l8 j' Y/ _( U(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)& I" L. y, E2 t/ I3 {把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
' U3 f* ]3 N! c(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)9 t- T, F&&l8 y, r如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
/ O& q' T' z" \- Y; P(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网): V* Z2 {, k&&X回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
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可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
/ y# a( J9 N0 F6 b(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)0 _/ E+ f1 s/ c把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
3 c( y$ i! t$ O(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)$ b- W3 A% ?: ^尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
2 `. ?) V1 H+ J. l9 q(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)" f/ K& d3 [: E: k, z后选择一定赢的硬币游戏
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对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
$ X$ d7 W4 q/ P(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)( N& p( S5 J. c% ?抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
8 P2 t5 t" H! W$ x& A(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)3 E! O. A8 R3 n正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
/ a: ?# l2 u9 V* u) ^(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)9 ^8 z' G5 ?' A/ b1 v# J复制代码这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
! V; [7 e* W# \4 m1 q(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网): `+ b( M$ f4 T这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
" C/ W! i0 w, E& H(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)5 l' t! E5 Y6 G1 L( ~如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
' H* S5 h/ N; i" M(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)1 s! I: `$ \# L7 @5 `3 W如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
1 D0 _/ o: L+ J! W4 F(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)5 O: J5 q, f0 B……反正正正……
$ s4 r6 m) {' j5 X5 I- W(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)0 I. p& W$ X' [复制代码可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
0 J5 \8 b$ X/ b& V(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网). H1 R' C2 S: J5 w4 ]
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你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的 不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论 是如何颠覆你对世界的认识的吧。
! m. b8 G# s4 \(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)7 R+ `4 @1 s8 @硬币正反不一样
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通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
# @0 L/ u. a(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)/ J* x- {) [5 ]$ ^尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
8 c" [" P" O/ y6 s(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)# x- l6 ~0 _9 F( m答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
, b. Y, l. j# C4 k: N1 I(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)" x. b, Q0 ]0 i0 N这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
) q8 d1 u. `& K(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)7 n6 z- K# t$ s# Q参考资料
9 b% s&&@( N$ i" X(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网)- Y$ ~8 ~% E&&C1 t《明知其输而博赢的概率分析》
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有机会玩玩看。
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最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
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不好玩啊这些游戏。。。。。。
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我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
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这玩法比死理性派的文章都难……
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听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
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我还是乖乖上当受骗吧...
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头脑简单的只有--闪...
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硬币中的概率分析啊哈哈0 0
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炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
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見過這個硬幣遊戲很多次，但是總是不是很清楚。。。感覺這里也沒說清啊= =|至少我是沒看懂。。。
. _) m1 [. f" ?(来自：濠.滨.论.坛 bbs.０５１３.org - 南通.濠.滨.网); [&&]( U8 J7 o) K結論是不是先手的人可以必勝啊？
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第一个不理解。害怕矩阵...
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对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
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电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
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