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(华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，
著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
（2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．
除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过，
既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而，设该数为，则，即（为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．
&(2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．
(华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号&&
为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．
我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，&
小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1．
同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1
就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除．注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是．
(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．
本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．
共有9个数字，共有90个两位数，共有数字：&(个), 共900个三位数，共有数字：&(个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：&(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为．
设是质数，证明：，，…，被除所得的余数各不相同．
假设有两个数、，()，它们的平方，被除余数相同．那么，由
同余定理得，即，由于是质数，所以或，由于，均小于且大于0，可知，与互质，也与互质，即，都不能被整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．
试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和．
通过逐次计算，可以求出被11除的余数，
依次为：为3，为9，为5，为4，为1，…，
因而被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，
可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；
于是被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；
这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，
即时能被11整除，所以，
所有满足条件的自然数n的和为：
若为自然数，证明．
，由于与的奇偶性相同，所以．
，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余数为1、2、3或者4，被5除的余数为、、、被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管为多少，被5除的余数为1，而，即14个相乘，所以除以5均余1，则能被5整除，有．所以．
由于2与5互质，所以．
设n为正整数，，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值．
2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以被7除余数为2，被11除余数为3．
由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余数为1；
由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余数为8．
可见是3和10的公倍数，最小为，所以n的最小值为28．
有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．
设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为，．
依题意可知：，，，根据整除的性质对这三个算式进行变换：
从上面可以发现应为15、17、19的公倍数．
由于，所以&(因为是奇数)，可得．
当时，，，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．
(2008年西城实验考题)从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．
基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．
从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？
取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在中，除以15的余数为0的有，，…，，共有个；除以15的余数为5的有，，…，，共有134个；除以15的余数为10的有，，…，，共有134个．所以N最大为134．
将自然数1，2，3，4……依次写下去，若最终写到2000，成为，那么这个自然数除以99余几？
由于，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数．实际上求得这个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余数为3．
下面介绍另一种解法．
由于，所以除以99的余数等于除以99的余数．同样，，……等数除以99的余数等于除以99的余数．可知，一个自然数，如果在它后面加上偶数个0，那么这个数除以99的余数等于除以99的余数．
根据这一点，可以把分成若干个后面带有偶数个0的数之和．
由于的位数是奇数，那么对于组成的一位数1，2，3，……，9，可以分成，，，，；
对于其中的两位数10，11，12，……，98，99，可以分成，，，……，，；
对于其中的三位数100，101，102，103，……，998，999，两两一组，可以分成，，，……，；
对于其中的四位数1000，1001，……，1999，2000，可以分成，，，……，，2000．
那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为，那么除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和．
由于这些数除以99的余数分别为1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差为2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：
而除以99的余数等于除以99的余数，为3．
所以除以99的余数为3．
将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：
8，试求这个多位数除以9的余数．
以这个八位数为例，它被9除的余数等于被9除的余数，但是由于1999与被9除的余数相同，2000与被9除的余数相同，所以就与被9除的余数相同．
由此可得，从1开始的自然数8被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．
根据等差数列求和公式，这个和为：，它被9除的余数为1．
另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成，161718，……，，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．
因此，此数被9除的余数为1．
(2008年清华附中考题)已知n是正整数，规定，
令，则整数m除以2008的余数为多少？
2008能够整除，所以的余数是2007．
的末三位数是多少？
首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于的平方再乘以的末三位．
其末三位为；
然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为&(k为奇数)，
由于，而奇数的平方除以8余1，所以是8的倍数，则是200的倍数，设，则，所以它与105的乘积，
所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625．
有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，
所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360
设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么？
由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以与、、、&除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则除以9的余数与除以9的余数相同，而除以9的余数为1，所以除以9的余数为除以9的余数，即为5．
另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即．
课后练习：
415_______
因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为，所以，被除数为。
已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，，共有（1+1）&（3+1）&（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。
(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，
甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)
根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．
计算这六个数的总和是，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．
本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443&19余2，求原式的余数只要求的余数即可。但是如果用2&19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，，
64&19余数为7，那么求的余数就转化为求的余数，即49&19的余数。
49&19余数为11，所以原式的余数为11.
已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是，，，求该自然数的值．
根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是，，．
由于，所以自然数与同余；由于，所以与201同余，&&
所以除数是和的公约数，运用辗转相除法可得到 ，该除数为29．经检验成立．
(香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多
10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．
三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数
是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看，，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是&(人) ．
，，那么符合条件的所有的两位数有，因为“余数小于除数”,所以舍去，答案只有。
【备选2】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所
求的数为．
(2001年全国小学数学奥林匹克试题)若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数
相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．
设除数为A．因为2836，，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A
整除．又因为余数是两位数，所以A至少是两位数．，，因为，所以A是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果，，余数不是两位数，与题意不符．如果，经检验，余数都是23，除数余数．
【备选4】除以7的余数是多少？
除以7的余数为1，，所以，其除以7的余数为：；2008除以7的余数为6，则除以7的余数等于除以7的余数，为1；所以除以7的余数为：．
【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．
这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是，而
所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是．
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