用高斯一高斯-赛德尔迭代法例题求解方程组

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-05-14 03:01 标签： 最小二乘法解二元线性方程
首页gauss-seidel迭代法python高斯-赛德尔[迭代](https://geek.csdn.net/educolumn/0b788626ca95a378c56d60cb2acd8f0b?spm=1055.2569.3001.10083)法是一种常用于求解线性方程组的[迭代](https://geek.csdn.net/educolumn/0b788626ca95a378c56d60cb2acd8f0b?spm=1055.2569.3001.10083)方法。在 Python 中可以使用 numpy 库来实现高斯-赛德尔[迭代](https://geek.csdn.net/educolumn/0b788626ca95a378c56d60cb2acd8f0b?spm=1055.2569.3001.10083)法。示例代码如下:
```
import numpy as np
def gauss_seidel(A, b, x0, max_iter=1000, tol=1e-6):
n = len(A)
x = x0.copy()
for i in range(max_iter):
x_prev = x.copy()
for j in range(n):
s = np.dot(A[j,:j], x[:j]) + np.dot(A[j,j+1:], x_prev[j+1:])
x[j] = (b[j] - s) / A[j,j]
if np.linalg.norm(x - x_prev) < tol:
return x
return x
```
其中 `A` 是方程组的系数矩阵，`b` 是常数项，`x0` 是初始解，`max_iter` 是最大[迭代](https://geek.csdn.net/educolumn/0b788626ca95a378c56d60cb2acd8f0b?spm=1055.2569.3001.10083)次数，`tol` 是精度要求。返回值是[迭代](https://geek.csdn.net/educolumn/0b788626ca95a378c56d60cb2acd8f0b?spm=1055.2569.3001.10083)计算得到的解。相关问题如何不用numpy来写gauss-seidel迭代法python 可以使用纯Python的列表来代替NumPy数组，实现Gauss-Seidel迭代法。以下是一个简单的代码示例：
```python
def gauss_seidel(A, b, x0, epsilon, max_iterations):
n = len(A)
x = x0.copy()
```python实现Gauss-Seidel迭代法解线性方程组 Gauss-Seidel迭代法是一种解线性方程组的迭代方法，其基本思想是通过不断迭代，使得方程组的解逐渐逼近精确解。下面是Python实现Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的示例代码：
```python
import numpy as np
def gauss_seidel(A, b, x0, tol=1e-10, max_iter=1000):
"""
Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 Ax=b
Parameters:
A: 系数矩阵
b: 常数向量
x0: 初值向量
tol: 迭代精度
max_iter: 最大迭代次数
Returns:
x: 方程组的解向量
k: 迭代次数
"""
n = len(b)
x = x0.copy()
k = 0
while k < max_iter:
for i in range(n):
# 计算Ax中除了第i行以外的部分
Ax_except_i = np.dot(A[i, :i], x[:i]) + np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])
# 计算第i个未知数的新估计值
x[i] = (b[i] - Ax_except_i) / A[i, i]
# 计算误差
err = np.linalg.norm(A.dot(x) - b)
if err < tol:
break
k += 1
return x, k
```
　　在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性方程组：他们的系数矩阵数很高，但非零元素很少，也就是大型稀疏线性代数方程组。对于这类方程组，如果不具备带状性，那么用直接发求解就不会很有效。因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致计算量的增加和存储单元的浪费。　　迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代方法时要注意的问题。那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法？答案是否定的，这时因为不同的稀疏矩阵具有不同的性态，一般的，每一种迭代法都具有一定的适用范围。一，雅克比迭代考虑线性方程组，如下：采用矩阵和向量记号，可以把（2.1）写成：为了方便给出矩阵表示式，引进下列矩阵分裂：其中：从式（2.1）的第i个方程中解出xi：我们把迭代前面的值代入上式右边，从而得到等式左边的值作为新一次迭代的新值。如此反复就得到了雅克比迭代公式：由式（2.4）及采用矩阵A的分裂记号（2.3），可以得到：于是雅克比迭代的矩阵表示形式为：现在回过过头来想想为什么这么做会收敛。在新一轮的迭代完成后，得到的新值与解之间的误差其实是其他所有值的综合，因为有的值会比解大一点，有的值会比解小一点，这样得到的数值可能就会更接近解，当然我们可以构造出发散的例子，也就是通过迭代，得到的值与解之间的偏差越来越大。二、高斯-赛德尔迭代　　在雅克比迭代过程中都是用一组新值来计算得到旧的值，因为一般情况下新的结果会比旧的结果更加精确，所以在计算的过程中能用新值就用新的，这样能加速收敛的过程。这就是高斯-赛德尔迭代：三、SOR迭代　　在迭代的过程中可能出现反复的现象：也就是说迭代得到的结果和真实的解之间的差距没有变小，而是有时比真实解大有时小而已。可以引入松弛因子来防止这种现象并能起到加速收敛的作用：SOR迭代的矩阵表示形式：四、SSOR迭代在SOR迭代过程中，新分量计算是依次从第1个到第n个逐个进行的，这个次序也可以反过来，即得到SSOR迭代：
问题描述为求解一个线性方程组，使用高斯赛德尔迭代法，采用欧几里得距离判定是否收敛。精度delta为1E-9，最大迭代次数为20。输入形式在屏幕上依次输入方阵阶数n，系数矩阵A，常数矩阵B和起始点P。输出形式输出实际迭代次数，然后每一行输出一个根。样例输入34 -1 14 -8 1-2 1 57-2115122样例输出10[[2.][4.][3.]]样例说明输入：第1行为方阵阶数3，第2行至4行为系数矩阵A，第5行至7行为常数矩阵B，第8行至10行为起始点。输出：实际迭代次数为10，然后每行依次输出方程解：x1, x2, x3。代码# 高斯赛德尔迭代法
import numpy as np
from numpy.linalg import norm
def Input():
n = int(input())
A = np.zeros([n, n], dtype=np.double())
for r in range(n):
A[r:] = np.array(input().split(), dtype=np.double)
B = np.zeros([n, 1], dtype=np.double)
for r in range(n):
B[r:] = np.array(input(), dtype=np.double)
P = np.zeros([n, 1], dtype=np.double)
for r in range(n):
P[r:] = np.array(input(), dtype=np.double)
return A, B, P
def Gseid(A, B, P, delta, max_iteration):
n = len(B)
X = np.zeros((n, 1), dtype=np.double)
epslion = np.finfo(np.float32).eps
for i in range(max_iteration):
for j in range(n):
if j == 0:
X[0] = (B[0] - (A[0, 1:n] @ P[1:n])) / A[0, 0]
elif j == n - 1:
X[n - 1] = (B[n - 1] - (A[n - 1, 0:n - 1] @ X[0:n - 1])) / A[n - 1, n - 1]
else:
X[j] = (B[j] - A[j, 0:j] @ X[0:j] - A[j, j + 1:n] @ P[j + 1:n]) / A[j, j]
err = np.abs(norm(X - P))
relerr = err / (norm(X) + epslion)
P = X.copy()
if err < delta or relerr < delta:
return i, X
def out(x):
print(x)
def main():
A, B, P = Input()
delta = 1e-9
max_iteration = 20
iteration, X = Gseid(A, B, P, delta, max_iteration)
out(iteration)
out(X)
if __name__ == '__main__':
main()

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