这个小21游戏后手的必胜秘诀先手必胜还是后手必胜？怎么必胜？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-02-08 06:30 标签： 21游戏后手的必胜秘诀
我知道普通的高考题的难度肯定没法满足读者们的需求w这里最后来一道自主招生题A,B 两人进行下列游戏：最开始桌上放着 n 个球，先手 A ，后手 B 进行游戏。每次必须取球，且取的球的数量必须是自然数的平方。两人轮流取球，最先取完桌上所有球的玩家获胜。以下定义先手必胜：对于先手 A ，如果 A 恰当地选择取球的个数，则无论 B 如何取球， A都一定可以胜利。同样定义后手必胜：对于后手 B ，如果 B 恰当地选择取球的个数，则无论 A 如何取球， B 都一定可以胜利。比如考虑 n=10 的情况最开始 A 取 1 个球，则 B 取 9 个的话可以取得胜利最开始 A 取 4 个球，剩下 6 个球。假设 B 选择取 1 个球，显然下一回合无论 A 取 1 个还是 4 个球，都是 B 的胜利最开始 A 取 9 个球，则 B 取 1 个 的话可以取得胜利无论 A 如何取球， B 都能找到策略使得自己必胜。所以对于 n=10 来说，这个游戏是后手必胜。回答以下问题：试证明对于任意自然数 n ，这个游戏都一定是先手必胜或者后手必胜中的一个。也就是说，对于足够聪明的两个玩家来说，比赛结果是确定的。试证明当 n=456 时，这个游戏是先手必胜。试证明后手必胜的 n 有无限个。1.记 n 个球的游戏为游戏 n 游戏 1 是先手必胜假设游戏 1,2,...,k 都是先手必胜或者后手必胜考虑游戏 k+1 设自然数 i 满足 k+1-i^2\geq0 如果存在一个 i ，使得游戏 i 是后手必胜，那么只要 A 取走 i^2 个球即可获胜，说明游戏 k+1 是先手必胜。如果不存在，那么对于任意的 i ，游戏 k+1-i^2 都是先手必胜。也就是说这个游戏是后手必胜。根据数学归纳法，原问题得证2.456-441=15 ，所以假设 A 最开始取走 441 个，考虑 B 取走多少个如果 B 取走 1 个，那么剩下 14 个，接着 A 取走 9 个剩下 5 个。无论 B 如何取都是 A 的胜利（ 5=1+4=4+1 ）如果 B 取走 4 个，那么剩下 11 个，接着 A 取走 9 个剩下 2 个。显然 A 胜利如果 B 取走 9 个，那么剩下 6 个，只要 A 取走 4 个就和第二种情况一样。得证3.假设只有有限个后手必胜的 n ，设最大的一个是 N 。考虑 n=N^2+N+1 ，按照假设，这个是先手必胜。(N+1)^2-(N^2+N+1)=N>0 ，所以 A 最多只能取 N^2 个但就算取走最多的 N^2 ，N^2+N+1-N^2=N+1 按照假设也应该是先手必胜。这时先手权在 B ，矛盾所以有无限个后手必胜的 n 编辑于 2018-01-05 16:28
应该是几乎所有情况下都无法分出胜负，考虑简化情况：两人都有一只手为0，则此时任意一方可以每轮都保持不变（选择加0），直到对方的数可以使自己胜利为止，而且在此之前对方显然无法胜利，于是只能双方轮空。由此可知，只有一种情况是必败：对方有一个数为0，我方左右手数相等，且和对方互补。由此推论，只有一种情况显然是先手必胜：两个人分别拿到如1,1;9,9这样的左右手相等且和对方的数互补的情形。除此以外，可以按照以下策略行动：0. 如果自己有一手为0，只考虑运算非0手的方案1. 如果有能运算后形成新的0的方法，选取任意一种；2. 否则，如果对方有一手为0，则和0运算（保持不变）3. 否则，如果有能使运算后两手数不同的方案，任选其一；4. 否则，任选一种方案出现4的情况只有对方是两个5的时候（如自己是2,7），否则很容易证明一定存在至少一种方案使两手数不相等，而对方是两个5、自己被迫两手相等的情况下，两手中的数一定不是5，因此可以保证对方一手变为0时，自己两手中数一定不同。如果有能形成0的方案，则会变为前面讨论的情形从而平局；否则，自己保持不变，直到对方使自己可以变为0为止。于是最终只能平局。

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