1.66÷0.15是有限小数还3.1415926是无限小数吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-20 06:15 标签： 3.1415926是无限小数吗

何怀能吧
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现在的数学分类认为，实数由有理数和无理数构成；有理数分为整数和分数，分数包括有限小数和无限循环小数；无理数都是无限不循环小数。其实无限循环小数不是有理数，有必要澄清以免误判。在此说一下，用这个标题是为了吸引眼球，没有别的意思。知识产权归本人所有。所有的无限循环小数，都可以转换成除不尽的分数；而所有除不尽的分数，都可以转化为无限循环小数；因为这两个过程都是确定性的，所以存在一一对应的关系，但是却并不完全相等。有限小数和能除尽分数是相等的，这是完全肯定的；整数一般不说成是分数。分数是有理数的一部分，也是两个互质的整数之比。就拿1/3来说，第一步是0，第二步是0.3余1（即1/3=0.3+0.1/3），第三步是0.33余1（即1/3=0.33+0.01/3），第四步是0.333余1（即1/3=0.333+0.001/3）……可以看到的是，无论是多少步，哪怕无穷，余数1永远存在，永远除不尽。因此从逻辑上来说，那些除不尽的分数，可以用无限循环小数来近似表示，两者却不相等。无限循环小数不是分数，不是整数，也就不是有理数。那它是不是无限不循环小数，或者是无限不循环小数所表示（可能是近似表示？）的无理数呢？明显不是啊，因为一个有循环节，其它的没有循环节。既然无限循环小数不是有理数也不是无理数，那么它应该不是实数了。或者说它是实数的新分类。个人倾向于无限循环小数不是实数。再举一个例子。51/22=51÷22，第一步是2余7（即51/22=2+7/22），第二步是2.3余4（即51/22=2.3+0.4/22），第三步是2.31余18（即51/22=2.31+0.18/22），第四步是2.318余4（即51/22=2.318+0.004/22），第五步是2.3181余18（即51/22=2.3181+0.0018/22），第六步是2.31818余4（即51/22=2.31818+0.00004/22）……后面的余数不是18就是4，但是永远不会消失，永远不会为0，哪怕在无穷远处。因为余数始终存在，从逻辑上来讲，51/22不等于2.31818……（18循环）。实数轴上的无理数，都可以用一个无限不循环小数表示。只要两个无理数不相等，相应的无限不循环小数必然不同；一个无限不循环小数，所最接近的无理数是唯一的。因此，每一个无限不循环小数，都可以用一个无理数来表示。有一些无理数和无限不循环小数，也没有严格相等。比如√2和1.41421356……，因为开平方的时候总是有余数，所以从逻辑上说，√2不等于1.41421356……。1.41421356……是不是严格等于√2以外的无理数L呢?无理数L必然有一个无限不循环小数A与它对应，A显然是与L最接近的无限不循环小数，如果相等也是A与L相等，就轮不到1.41421356……。可见，有些无限不循环小数不是无理数；不是无理数也不是有理数，不是实数，既不是代数数也不是超越数。不含虚数的超越数应该都在实数轴上的，比如锐角直角比是无理代数数，锐角的三角函数是超越数，三角函数的值域是实数域。有的超越数，可以不用无限不循环小数来表示，比如2^（√2）等，不知道逻辑上是不是无限不循环小数。还不知道有多少无限不循环小数，会严格等于超越数。这一段是无理数部分。整数和有限小数以外的实数，都可以用无限小数表示或近似表示，整数和有限小数也可以当做后面有无限个0的小数来操作，但不称作无限循环小数。无限循环小数是不是实数呢？本段用代数方法证明。（一）无限循环小数C无限逼近对应的有理数D，假设C和D是两个实数，依据实数的稠密性，C和D之间会有其它的实数S。①S不会是无限循环小数，因为比C更加接近D的无限循环小数S，只能是C那样的唯一形式，任何一位数都无法变动。②S不会是有理数，不同有理数对应的小数不同，S-T，D-C。S对应的小数是T，T与D的误差（T、C误差算上C、D误差，T、C是两个不同的无限循环小数误差相对很大），算上T与S的误差（即得到了S、D的误差），也远大于C与D的误差，S作为有理数不在C、D之间。③S不会是其它可以用无限不循环小数T表示或近似表示的实数。无限不循环小数T不会等于无限循环小数C，T和C的误差小数点后某一位数不是0了，T和S的误差以及C和D的误差小数点后某一位数还是0的；T、C误差算上T、S误差再算上C、D误差，就是S、D误差，因为T、C误差远大于T、S误差和C、D误差，数量级上不知道高了多少，所以S、D误差远大于C、D误差；S不是可以用无限不循环小数表示或近似表示的实数。第三小条讲得比较清楚，四角关系有点复杂，S、T误差暂且考虑0和正数两种情况，算上误差暂且考虑加和减两种算法。④S不是无限循环小数、有理数，也不是其它的实数，S作为实数不可能存在。假设不成立，C和D之间没有其它的实数，所以不是两个实数。（二）同时，C和D也不是同一个实数，同一个实数会严格相等，前面讲过在逻辑上不相等，余数永远存在。（三）C如果是实数，要么与D是不同的实数，要么与D是相同的实数，两种情况都不属于，说明无限循环小数C不是实数。无限循环小数不是实数，说起来它是一个极限趋向于对应有理数的无穷级数。有极限的无穷级数简单点讲就是，无限逼近永远在逼近某个固定实数的数学式子，比如0.1+0.01+0.001+……无限逼近永远在逼近1/9，4+0.23+0.0023+0.000023+……无限靠近永远在靠近419/99。无限循环小数看起来像实数，实际上不是，就像古人所以为的天圆地方。下面举两个出现矛盾的例子：（第一个）8/3=2.6666……（2.666……=2+0.6+0.06+0.006……），等式两边同时乘以6，16.000……=15.999……6，无穷远处有个6，跟0逻辑上有差距。（第二个）7/9=0.7777……，9/7=1.2857142857142857……，（7/9）×（9/7）=1，（0.7777……）×（1.2857142857142857……）=？，不管是循环节142857的哪个数和7相乘，都不等于0。这两个例子也说明无限循环小数和实数划上严格的等号，运算时可能出现悖论。网上有个比较有名的问题，0.9999……是不是等于1。有人认为约等于，有人认为完全等于。来看一个现象，（1-1/n）当n趋于正无穷时，（1-1/n）无限趋近于1，所以（1-1/n）=1，应该跟0.9999……=1差不多。自然对数的底数e定义：对于(1+1/n)^n，当n趋于正无穷时该数列所取得的极限就是e，即e=lim(1+1/n)^n=2.71828……。1^n≠(1+1/n)^n。(1+1/n)当n趋于正无穷时，(1+1/n)无限趋近于1，1与(1+1/n)不能划等号。是不是挺奇怪的？可以看出，两个无限逼近的数值（包括但不限于级数与实数比较）不是什么时候都可以划等号的，哪怕几乎相等。高等数学用数值极为相近的函数（或者说级数），来研究原函数的性质，如果两个函数能划上等号，显得更加严谨。目前仅是说0.9999……通常可以等于1，不是无条件的严格等于1。网上的证明就是把0.9999……当做了实数，得出来0.9999……=1的结论。通常有极限的无穷级数，有限项的和不等于极限，无限项的和也不严格等于极限，不断的逼近却永远也达不到它的极限。它不是实数轴上的固定点，所以实数轴上怎么也找不到的。无限循环小数就是一种无穷级数，是有规律变化的级数，不是实数。笔者并非质疑高数，照片与现实的相似度才有多高，但是看照片就能看出很多现实的东西，高数可是无限逼近哦。而且高数很多时候不是把无穷级数和原函数直接划等号，只是用级数的运算（模拟）代替原函数的运算。至于在什么样的特殊情况下才不能代替，并没有人给出明确的说法。本文从逻辑上，证明了无限循环小数不是有理数或无理数。实际上也证明了无限循环小数不是实数，可靠性非常大的。还从逻辑上证明了，至少部分无理数不等于无限不循环小数，至少部分无限不循环小数不等于无理数。甚至可适当推广到，无穷级数不严格等于它的极限。2023-10-20 14:55广告证明无限循环小数不是实数。（1）如果无限循环小数和对应的分数是两个实数，两个实数之间必然有其他的实数。但是两者之间没有其他的实数，所以不是两个实数。（2）如果无限循环小数和对应的分数是同一个实数，分子除以分母的时候，总是有余数存在，所以不是完全相等，也就不是同一个实数。（3）如果无限循环小数是实数，要么与对应分数是两个不同的实数，要么与对应分数是同一个实数，但这两样都不具备。所以，无限循环小数不是实数。无限循环小数是什么呢？它是一个数列，一个不断趋近于极限（即对应分数）的趋势。证明无限循环小数不是实数。（1）如果无限循环小数和对应的分数是两个实数，两个实数之间必然有其他的实数。但是两者之间没有其他的实数，所以不是两个实数。（2）如果无限循环小数和对应的分数是同一个实数，分子除以分母的时候，总是有余数存在，所以不是完全相等，也就不是同一个实数。（3）如果无限循环小数是实数，要么与对应分数是两个不同的实数，要么与对应分数是同一个实数，但这两样都不具备。所以，无限循环小数不是实数。无限循环小数是什么呢！它是一个数列，一个不断趋近于极限（即对应分数）的趋势。下载贴吧APP看高清直播、视频！

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