谢邀。看到这个问题好久了，但是好像一直没有人来回答，那我来尝试一下吧。曲面积分的定义，可以从不同角度来切入，我觉得至少从微分几何开始讲，图景才能比较清晰。如果题主只看过同济高数，那么这个回答你可能会看得有些迷糊。简单起见，下面所有的讨论限定在 \mathbb{R}^3 中。一些前置知识：1. 多元函数微积分（微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹-格林-高斯-斯托克；一般性的连续理论、微分理论；黎曼积分）2. 点集拓扑（或引入拓扑概念的度量空间）3. 线性代数（向量空间作为抽象代数结构；张量的基础概念；群）首先， \mathbb{R}^3
是一个实线性空间，维数是3。这里值得注意的是， \mathbb{R}^3
可以表示任意一个抽象的三维实线性空间 V ，选定一组基 \{E_1,E_2,E_3\} 后，就存在一个线性空间的同构\mathbb{R}^3 \simeq V: (x^1,x^2,x^3) \mapsto x^1E_1+x^2E_2+x^3E_3我们把
(x^1,x^2,x^3) 称作坐标， \mathbb{R}^3 是一个坐标空间。\mathbb{R}^3 两点间的距离可以用勾股定理定义：\forall \mathbb{x}=(x^1,x^2,x^3),\mathbb{y}=(y^1,y^2,y^3) \in \mathbb{R}^3: \|\mathbb{x}-\mathbb{y}\|_2:=\sqrt{\sum_{i=1}^3{(x_i-y_i)^2}}有这个度量诱导的拓扑称为欧几里得拓扑。以下不加说明，默认 \mathbb{R}^3 上自带欧几里得拓扑。类似地我们定义带欧几里得拓扑的 \mathbb{R}^1 和 \mathbb{R}^2 。下面考虑 \mathbb{R}^3 中的（光滑）曲线、曲面。Def M \subseteq \mathbb{R}^3 若满足以下条件，称为 \mathbb{R}^3 的一个（连通）光滑子流形：M 作为 \mathbb{R}^3 的拓扑子空间是连通的\{U_i:i \in I\} 是一族 M 的开覆盖，对每一个指标存在对应的局部同胚， \{\varphi_i : U_i \to R^n \mid i \in I\}开覆盖的粘合是光滑的，即 \forall i,j \in I: \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\mid_{\varphi_i(U_i \cap U_j)} \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)可以证明对于这样的光滑子流形， n 是一个不变量，称为 M 的维数。这里维数可能的取值是 1,2,3 . 当维数为1时，称其为光滑曲线；维数为2时，称其为光滑曲面；维数为3时，称其为 \mathbb{R}^3 中的一个区域。有时候我们要考虑带“边界”的子流形，比如带端点的曲线、带边界的曲面和带表面的区域。此时只需要使得上面定义中的某些局部同胚是到半空间的： \mathbb{H}^n=\{(x^1,\dots , x^n) \in \mathbb{R}^n: x^n \geq 0\} 。我们用 \partial{M} 来表示光滑子流形 M 的边界 M \setminus \mathrm{int}(M) ，其中
\mathrm{int}(M) 是其内部。正如（光滑）曲线在每一点都有切线，（光滑）曲面在每一点都有切面，我们将这个概念推广到一般的光滑流形上，形成切空间和切丛的概念。简单来说，流形一点的切空间就是黏在这点的同维度线性空间，而把所有切空间连同它们所在流形上的点粘起来，就是流形的切丛。切空间里的元素就是向量，如果把每一点的向量粘起来，就得到一个向量场（切丛的截面；我们默认向量场是光滑的）。根据线性空间对偶的定义，流形每一点还有对应的余切空间，粘起来是流形的余切丛。我这里不想仔细引入切丛、余切丛的具体定义了，在维基和各种微分几何教材里都找得到，大部分可以分成两种思路：先引进切向量，作为经过该点曲线的某种等价类，然后是切空间、切丛、向量场，最后由对偶定义余切空间、余切丛；或者就是定义一点的1-微分形式为该点函数芽的等价类，然后引入1-微分形式、余切空间、余切丛，最后由对偶定义切空间、切丛。对于 \mathbb{R}^3 中光滑流形的切丛、余切丛，直观的理解已经足够。接下来是一些常用记号： M \subseteq \mathbb{R}^3 是光滑子流形， p \in M 那么M 在点 p 的切空间： TM_pM 的切丛： TMM 在点 p 的余切空间： T^*M_pM 的余切丛： T^*MM 上的一个光滑向量场（切丛的光滑截面）： X: M \to TMM 上所有切丛光滑截面构成的集合： \mathscr{T}_1(M)\mathscr{T}_n(M):=\underbrace{\mathscr{T}_1(M) \otimes \mathscr{T}_1(M) \otimes \cdots \otimes \mathscr{T}_1(M)}_{n \,\mathrm{copies}}M 上的一个1-微分形式： \omega: M \to T^*MM 上所有余切丛光滑截面（1-微分形式）构成的集合： \Omega^1(M)\Omega^n(M):=\underbrace{\Omega^1(M) \otimes \Omega^1(M) \otimes \cdots \otimes \Omega^1(M)}_{n \,\mathrm{copies}} (装备反对称的代数结构)约定 M 上所有光滑函数： C^{\infty}(M;\mathbb{R})=\mathscr{T}_0(M)=\Omega^0(M)切丛有下图交换：\begin{matrix} TM & \supseteq \pi^{-1}(U_i) & \stackrel{\varphi}{\longleftrightarrow } & U_i \times \mathbb{R}^n \\ & \downarrow \small{\pi} & \swarrow {}_{pr_1} & \\ & \quad U_i \end{matrix}（上图箭头表示的函数都是 C^{\infty} 光滑的）\begin{matrix} TM & \supseteq \pi^{-1}(p) & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow } & \{p\} \times \mathbb{R}^n \\ & \downarrow \small{\pi} & \swarrow {}_{pr_1} & \\ & \quad \{p\} \end{matrix}(上图箭头表示的函数都是连续、线性的)对于余切丛类似。我们现在介绍 \mathbb{R}^n 光滑子流形上的规度。回忆一下，一个实线性空间上的内积是一个这样的函数： \langle -,-\rangle: V \times V \to \mathbb{R} ，满足对每一个分量都是线性的 \forall v_1,v_2,w_1,w_2 \in V,\forall \lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}:\langle \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2, \mu_1 w_1 + \mu_2 w_2 \rangle \begin{eqnarray} = & \lambda_1\langle v_1, \mu_1 w_1 + \mu_2 w_2 \rangle+ \lambda_2 \langle v_2, \mu_1 w_1 + \mu_2 w_2 \rangle \\ =& \mu_1 \langle \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2, w_1 \rangle + \mu_2 \langle \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2, w_2 \rangle \end{eqnarray}对称 \forall v,w \in V:\langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle正定 \forall v \in V \setminus\{0_V\}:\langle v,v \rangle >0
并且可以推出 \langle 0_V,0_V \rangle =0假如线性空间 V 是有限维的， \{e_1,\dots,e_n\} 是一组基，那么我们可以获得一个对称矩阵来表示内积（这样的矩阵称作规度矩阵）： \begin{pmatrix} \langle e_1,e_1 \rangle & \cdots & \langle e_1,e_n \rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle e_n,e_1 \rangle & \cdots & \langle e_n,e_n \rangle \end{pmatrix} 特别地， \mathbb{R}^3 上选取标准基 \{\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k}\} ，标准内积的矩阵表示就是3*3的单位矩阵。在装备了（标准）内积的 \mathbb{R}^3 上，我们可以定义向量的夹角和正交关系。此外， \mathbb{R}^3 上还可以定义向量外积代数：\wedge: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 满足双线性反对称 \forall v,w \in \mathbb{R}^3: v \wedge w=-(w \wedge v)\forall u,v,w \in \mathbb{R}^3: u\wedge(v\wedge w)=(u\cdot w)v-(u\cdot v)w可以推出： \mathrm{i} \wedge \mathrm{j} =\mathrm{k}, \mathrm{j} \wedge \mathrm{k} =\mathrm{i}, \mathrm{k} \wedge \mathrm{i} =\mathrm{j} . 所以向量外积的坐标表示为\begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ x^3\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \\ y^3\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \mathrm{i} & x^1 & y^1\\ \mathrm{j} &x^2 & y^2 \\ \mathrm{k} &x^3 & y^3\end{pmatrix}现在，我们定义如下映射：\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3; (v,w) \mapsto v \wedge w\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}; (u,v,w) \mapsto u \cdot (v \wedge w) 这分别给出了二元向量组到单个向量的线性映射以及三元向量组到标量的线性映射（注意这两个不是单射）。现在，我们要把这些结构搬到光滑流形 M 上。对于流形一点切空间中的向量，我们也希望定义一种“内积”: g_p:TM_p \times TM_p \to \mathbb{R} ，满足上面的条件，称作点 p 的规度。随着点 p 在流形上变化， g_p 也要光滑地变化，那么我们事实上定义了一个（2，0）-张量丛的光滑截面： g:\mathscr{T}_1(M) \times \mathscr{T}_1(M) \to \mathscr{T}_0(M); (X,Y) \to g(X,Y) 使得 g(X,Y)(p)=g_p(X(p),Y(p)) 。称这样的 g 为 M 上的一个黎曼规度。局部坐标系：在每一点切空间中选取一组基，使得它们作为（0，3）-张量场是光滑截面，那么这个张量场对应了一套局部坐标系 \{E_1, E_2,\dots, E_n\} ： \{E_1(p), E_2(p),\dots, E_n(p)\} 是 TM_p 的基。对应有一套对偶局部坐标系 \{\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n\} ，使得 \{\omega^1(p), \omega^2(p), \dots, \omega^n(p)\} 是 T^*M_p 的基，而且 \omega^i(p)(E_j(p))=\delta_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{array} \right. 。那么一个向量场可以表示为 X=X^iE_i ，一个1-形式可以表示为 \psi=\psi_j\omega^j 。（这里用到了爱因斯坦求和约定，上下指标同时出现表示对所有可能指标求和。下面将默认这个约定）常用的局部坐标系有 \{\partial_1,\partial_2,\dots,\partial_n\} ，对应 \{\mathrm{d}x^1,\mathrm{d}x^2,\dots,\mathrm{d}x^n\} 。黎曼规度可以表示为 g=g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j ，这里 \mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j:=\frac12(\mathrm{d}x^i\otimes\mathrm{d}x^j+\mathrm{d}x^j\otimes\mathrm{d}x^i) 。那么 (g_{ij})\mid_p 就是流形上一点 p 处的规度矩阵。和线性空间中的情况类似，在定义了内积后，我们就能建立起线性空间和其对偶空间的一一对应。在装备黎曼规度后，流形上的向量场就和1-形式对应起来：\flat:X \mapsto g(X, \cdot)在局部坐标系表示下： \flat:X^i \mapsto X_j:=g_{ij}X^i同样的，我们也可以把1-形式的坐标“升到”向量场的坐标：\sharp: \omega_i \mapsto \omega^j:=g^{ij}\omega_i其中， (g^{ij}) 表示的矩阵是 (g_{ij}) 的逆矩阵。\mathbb{R}^3 如果本身看作光滑流形，那么每一点 p 的切空间中，向量 v_1,v_2 的内积应该和 \mathbb{R}^3 中的内积吻合（或者说作为流形处处平坦）。这个黎曼规度记为 \bar{g} 。那么给定标准局部坐标系， \bar{g} 的矩阵表示就是 \bar{g}_{ij}=\delta_{ij}=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{array} \right. . 值得注意的是， \mathbb{R}^3 的光滑子流形 M 上可以定义完全不同的黎曼规度；换句话说， M 在光滑流形的意义下，是 \mathbb{R}^3 的子流形；但是在几何的意义下，不是 \mathbb{R}^3 的黎曼子流形。 (\mathbb{R}^3,\bar{g}) 的黎曼子流形 (M, g) 需要满足以下条件：M \subseteq \mathbb{R}^3存在等距浸入映射 \iota: M \hookrightarrow \mathbb{R}^3 ，即 \iota 是一个光滑连续单射，且 g=D{\iota}^*\bar{g} （对任意向量场 X,Y ，有 g(X(p),Y(p))=\bar{g}(D{\iota}X(p),D{\iota}Y(p)) ），其中 D\iota 是切丛间的映射，使下图交换：\begin{matrix} M & \stackrel{\iota}\hookrightarrow &\mathbb{R}^3 \\ \uparrow _{\pi} && \uparrow_{\pi'} \\ TM & \stackrel{D\iota} \rightarrow & T\mathbb{R}^3 \end{matrix}和内积类似，我们也希望通过定义某种张量场把 \mathbb{R}^3 中的向量外积推广到 \mathbb{R}^3 的光滑子流形 M 上。问题在于，怎么在 M 的切空间里定义这种运算？ M 可以是一维、二维或三维的，但是向量外积是仅能定义在三维实数空间中的代数结构。一个更加本质的问题是，从立体几何的经验来看，两个向量的外积是一个垂直于其平面的向量；换言之，外积告诉了我们“垂直于平面”的方向，而这个方向必然是不包含在切平面中的。为了解决这个问题，我们要引入法空间和法丛的概念。直观上，曲线一点的法空间就是垂直于切线、且过改点的那个平面；曲线一点的法空间就是垂直于切平面、过该点的那条直线。如果我们能给浸入 \mathbb{R}^3 后的流形每一点处重新贴上一个三维的实线性空间，同时在这个空间中浸入它本身 n 维的切空间，那么利用内积空间的概念，这点的法空间就是切空间的正交补空间。我们把这种想法记下来：N_p(M):=T_p(M)^{\bot}=\{v \in \mathbb{R}^3\mid\forall \tau \in D\iota_p T_p(M):\langle v,\tau\rangle=0\}法丛就是 M 每一点都粘着法空间而构成的流形，我们以后记为 NM 。法丛有不依赖规度的、更加一般的定义： T\mathbb{R}^3/D\iota TM ，或者写成 T\mathbb{R}^3 =D\iota TM \oplus NM ；但是这个时候的法丛已经失去了“垂直”的含义。不过，我们可以得到推论：\dim N_p(M)=\dim \mathbb{R}^3-\dim T_p(M)=3-\dim M回到我们推广向量外积的想法上，我们记 M 法丛截面构成的线性空间为 \mathscr{N}(M) 。我们希望定义： \wedge: \mathscr{T}_1(M)\times\mathscr{T}_1(M) \to \mathscr{N}(M) ，使得这是一个反对称的双线性变换。一个立即的推论就是，如此定义的 \wedge 对于一维流形来说总是平凡的（因为每点两个向量总是线性相关的）。只有对于维数大于1的流形 M 来说， \wedge 的结构才值得考虑。现在我们来具体定义 \wedge\forall p\in M: X(p) \wedge Y(p):=D\iota_pX(p) \wedge D\iota_pY(p) ，右边的 \wedge 表示 \mathbb{R}^3 中的向量外积。在局部标准坐标系下，我们有： D\iota X =X^iE_i, D\iota Y=Y^iE_iX^i \wedge Y^j = {\epsilon_{ij}}^kX^iY^j 。其中， {\epsilon_{ij}}^k=\epsilon_{ijr}g^{rk} ， \epsilon_{ijr}W^iX^jY^r=\sum_{i,j,k}{\mathrm{sign}(ijr) W^iX^jY^r} ， \mathrm{sign}(ijr)=\left\{\begin{array}{rl} 1,& (1 \mapsto i;2 \mapsto j;3 \mapsto r) \text{ is even}\\ -1,& (1 \mapsto i;2 \mapsto j;3 \mapsto r) \text{ is odd}\\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{array}\right. 。现在，我们得到了两个重要的推论：存在以下映射将 M 上的两个（切）向量场送到一个（法）向量场： (X,Y )\mapsto X \wedge Y将 M 上的三个（切）向量场送到一个标量场： (W,X,Y )\mapsto \langle W,X \wedge Y \rangle下面这些长链是理解 \mathbb{R}^3 中曲面、曲线积分的关键：0 \longrightarrow \Omega^0(M) \stackrel{\mathrm{d}}{\longrightarrow} \Omega^1(M) \stackrel{\mathrm{d}}{\longrightarrow} \Omega^2(M) \stackrel{\mathrm{d}}{\longrightarrow} \Omega^3(M) \longrightarrow 00 \longleftarrow \mathscr{T}_0(M) \stackrel{\partial}{\longleftarrow} \mathscr{T}_1(M) \stackrel{\partial}{\longleftarrow} \mathscr{T}_2(M) \stackrel{\partial}{\longleftarrow} \mathscr{T}_3(M) \longleftarrow 00 \longrightarrow \mathscr{T}_0(M) \stackrel{\mathrm{grad}}{\longrightarrow} \mathscr{T}_1(M) \stackrel{\mathrm{curl}}{\longrightarrow} \mathscr{T}_1(M) \stackrel{\mathrm{div}}{\longrightarrow} \mathscr{T}_0(M) \longmapsto 0上面的 \mathrm{d}: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M) 是外导数，将k-微分形式送到（k+1）-形式，是域上代数的同态。当 k=0 时， \mathrm{d} 的含义是取该光滑函数芽的等价类。一个的微分形式如果外导数为0，那么说它是闭的；一个（k+1）-微分形式如果是某个k-微分形式的外导数，那么说它是恰当的。对于任何一个微分形式，连续两阶外导数都是0；换言之，恰当的微分形式都是闭的， d\circ d=0 。未完待续