sin(θ+π/4)π/3)=sin(θ+π/4)π/3)cos(π/3)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 12:36 标签： sin(θ+π/4)

昨天我们已经初步介绍了线性空间的概念，并且给出了一种给定域 \mathbb F ,构造线性空间 \mathbb F^n 的办法

特别地，我们用 \mathbb C和 \mathbb R^n 去让高中课本中的绝对值三角不等式，柯西不等式以及排序不等式更加自然了。

中的态射—线性映射以及内积的性质...旨在理清高中课本中对向量积与余弦的奇怪讲解。并且我们发现，其实导数与积分，也是线性映射...嗯，万物皆是线性代数...

在最后我提到了傅里叶级数的线性代数理解方式...实际上利用内积得到坐标的方法只是对偶基的一种而已...

至于下面的这些内容就留到Chapter 3里讲吧。

线性空间的基，基张成空间，给出线性映射的矩阵表示，矩阵与多元线性方程组，矩阵的运算，行列式的公理，以及填昨天埋的坑，群，以及什么叫作为线性空间，两个集合相同。

同样的，Chapter 2 也不是为了讲线性代数而讲线性代数，旨在补足高中数学课本...

另外本文留了很多东西给读者验证，希望读者能够亲手去把数学做出来。本文的许多证明也请读者自己证一遍，而且要彻底弄懂整套思路...

本文没有毫无意义的抽象（我到现在都没给范畴的定义...)，抽象的目的是获得很自然的理解

所以，希望读者能勇于向抽象的险峰进发。

给高中生写的数学讲义导航 - 吾欲揽六龙的文章 - 知乎

那么依据向量的定义，连续函数们就是向量了哦。

那，一个问题是，它们上面有哪些线性映射呢？

其实，定积分与求导运算（我们称之为微分算子）都是线性映射。

其中，定积分还是线性泛函，还是连续函数。

这里算子指的是函数到函数的映射，泛函指的是向量到 \mathbb F 的映射。泛函把向量映射为数量。

微分与积分作为线性映射

我们首先来验证一下定积分和微分算子都是线性映射，其实这个高中教科书已经写出来了...

其实复数也是线性映射，而且是平面上的伸缩旋转变换。

我们把复数写成欧拉表示会更自然一些，不过首先，我们需要用高中知识推出欧拉公式

这实际上就是分配律和结合律以及交换律。

内积公理，内积也是线性映射，余弦定理是悖论吗？

其实内积也是线性映射，而且是双线性映射！（下一节行列式我们还会接触到多重线性映射）

同样的，这也是线性泛函。

有趣的是，这个内积可以从欧几里得内积里诱导出来

我们称两个向量内积为 0 为正交的。

相信读者在上一篇文章中已经感受到了公理化的威力了

所以在见过不同的内积后，我们给出内积公理（ \mathbb R 上的）

请读者验证这一定义满足内积公理。实际上，这是一个很好的熟悉内积公理的机会...

这里的所谓 cv 就是 u 在 v 上的分量。

1.4 柯西-施瓦茨不等式

所以一般内积空间上的柯西-施瓦茨不等式的几何意义就成了直角三角形斜边最长了

特别地，对于平面向量，你可以像高中物理那样，

选 v 为横轴，横轴上的单位向量为 i ，纵轴上的单位向量为 j

如果有些函数能被写成这族函数的线性组合

那么 a_k,b_k 等于多少呢？事实上，我们可以考虑 f 在这些向量上的投影得到系数

请读者利用内积公理证明这个式子...

事实上，这里是在构造对偶基给出坐标函数...对偶基与坐标函数有大量美妙的应用。

我们在Chapter 4应该会谈到对偶空间与对偶基

Chapter 3 给高中生和没学明白线性代数的大学生的线性代数讲义（我第一次发现线性无关可以直接这么一口气讲的酣畅淋漓，勾连如此丰富的内容） - 吾欲揽六龙的文章 - 知乎

  1. 向量空间中看待不等式 
  2. 定积分作为连续函数 
  3. 高中知识推出欧拉公式 
  4. 许多高中生都会有这样的问题，甚至会觉得平面内积的定义非常的强行...这是教科书的锅，不干数学的事。 
  5. 参考线性代数及其应用by Lay

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