同样周长为什么正方形的面积大长方形比正方形面积大

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 05:32 标签： 同样周长为什么正方形的面积大

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【摘要】：首先，由于面积单位采用了边长为1个长度单位的正方形面积，而将长方形分割成若干个正方形比较容易，因此先学习长方形的面积计算比较方便。而曲边形的面积则可以通过无数多个长方形逼近曲边形面积，即可利用“化曲为直”的思想和微积分的工具得到解决。从上述“化曲为直”的过程可以看出，求曲边形的面积仍然用到了矩形的面积公式。因此，长方形的面积计算是各类图形面积计算的基础和逻辑原点。

1.4　面积学习为什么从长方形开始？

首先，由于面积单位采用了边长为1个长度单位的正方形面积，而将长方形分割成若干个正方形比较容易，因此先学习长方形的面积计算比较方便。

其次，长方形的面积一旦确定，其他的一些基本图形，如、三角形、梯形等的面积算法也可推导出来了：

平行四边形等积变换为长方形，得：平行四边形的面积＝底×高。

两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，得：三角形的面积×高。

两个全等的梯形可以拼成一个平行四边形，得：梯形的面积下底）×高。

在此基础上，任意多边形的面积通过分割成上面的几种图形后都可以求出来了。而曲边形的面积则可以通过无数多个长方形逼近曲边形面积，即可利用“化曲为直”的思想和的工具得到解决。以小学阶段的“圆”为例，推导如下：

首先在直角坐标中作出圆O的图像，设圆心为O，半径为R，则此圆的方程为x2＋y2＝R2，利用圆的对称性，可得圆的面积等于第一象限部分面积S1的4倍，即S圆＝4S1。在第一象限，先求S1：

首先将曲边图形分割成若干个小曲边梯形，用相应的小长方形的面积近似地代替小曲边梯形面积，再求这些小长方形的面积和作为原曲边图形面积的近似值，当被分割的曲边梯形无限变小时，这个近似值就无限接近于曲边图形的面积。

从上述“化曲为直”的过程可以看出，求曲边形的面积仍然用到了矩形的面积公式。因此，长方形的面积计算是各类图形面积计算的基础和逻辑原点。

观前说明：本专栏是在看到UP主@佑来了生活科學的视频后而写的。主要目的是向孩子解释周长相同时，正方形的面积一定大于长方形的面积。在此我提出一种比较直观的理解方法。由于是要解释这个问题，因此我们不需要非常严格的证明，除了一些不证自明的公理外，我们只需要掌握矩形面积公式即可。

我们假定周长是56，那么我们很容易可以做出边长为14的正方形和任意一个长方形来，如下图

我们把长方形左上顶点移动到正方形左上顶点处，使它们重合。于是我们得到：

显然，⑤的长度<③的长度。

它们的一部分周长是重叠的，因此我们重点关注独立部分的周长。正方形独立部分的周长=①+②+③段，长方形独立部分的周长=④+⑤+⑥段，并且①+②+③=④+⑤+⑥。我们又有：④-⑥=②，①+⑤=③。因此我们得到①+①=⑥+⑥，即①=⑥。

要证明正方形面积恒大于长方形，同理我们也只要关注它们面积的独立部分即可：

⑦是正方形面积的独立部分，⑧是长方形面积的独立部分。我们只需说明⑦的面积大于⑧，即可“证明”正方形面积恒大于长方形。由矩形面积公式，⑦的面积=①*②，⑧的面积=⑤*⑥=①*⑤。因为②=③>⑤，所以正方形面积①*②>长方形面积①*⑤。

我们也可以利用椭圆的性质结合图形来说明周长相同时，正三角形面积一定大于其他三角形的面积。具体的说明留给各位读者。

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