声明: 本篇文章内容主要对《高等代数》第三版第七章内容的总结,复习
说明:这块的定理看起来是哪个意思,但是证明起来还是比较困难的,只有真的理解它的证明,明白每个定理在这块真正的含义,在整章节这个体系中的作用,才能更好的运用他们。
性质: 线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。
即线性变换保持向量的加法和数量乘法。
3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.
4.同构还可以把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。
1.有限个线性变换的乘积还是线性变换。
2.线性变换的乘积也是线性变换,
乘积一般满足结合律,不满足交换律。
3.线性变换的和还是线性变换
性质: 线性空间V上全体线性变换,对于如上定义的加法与数量乘法,也构成数域P上一个线性空间。
1.线性变换σ可以当且仅当线性变换σ是一一对应的。(双射)
2.设α1,α2,…αn是线性空间V的一组基,σ为V的线性变换,则σ可逆当且仅当σ(α1),σ(α2),…σ(αn)线性无关。
3.可逆的线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。
注意: 同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
可以这样说:一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定的。
在取定一组基之后,我们就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的n×n矩阵的一个映射.前面的结论1说明这个映射是单射,结论2说明这个映射是满射.
换句话说,我们在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算,
备注: 这里的双射指的是对于任意变换,在一组确定的基下,都有唯一的矩阵与之对应。反之亦然。
重点: 定理2的几条性质需要重点理解一下,特别是是定理4,应该把这部分的重点都体现了出来。
备注: 特征向量不是被特征值唯一决定的,相反,特征值是被特征向量唯一决定的。
线性变换的值域与核都是V的子空间。
推论: 对于有限维线性空间的线性变换,它是单射的充分必要条件为它是满射。
注意:需要重点考虑一下不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,这应该是不变子空间最主要的目的了吧。
根据哈密尔顿一凯菜定理,任给数域P上一个n级矩阵A,总可找到数域P上一个多项式f(x),使f(A)=0.如果多项式f(x)使f(A)=0,我们就称f(x)以A为根.当然,以A为根的多项式是很多的,其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。
引理1:矩阵A的最小多项式是唯一的。
引理2:设g(x)是矩阵A的最小多项式,那么f(x)以A为根的充分必要条件是g(x)整除f(x)
注意:相似矩阵有相同的最小多项式。
证明:理解的不是太清楚,需要再详细看看。
注意:最小公倍式和最大公因式的表示。
定理15:数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积
推论:复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根
参考书籍:《高等代数》第三版 王萼芳 石生明 修订 高等教育出版社