2022年高考数学高三大一轮复习
第7章 空间几何与空间向量
考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
3．直线方程的五种形式
1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)
(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(×)
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()
解析 由题意得＝1，解得m＝1.
3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．
解析 因为A，B，C三点在同一直线上，所以kAB＝kBC，即＝，故m＝2.
5．(多选)下列说法正确的是()
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tanα
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
解析 当截距为时，直线方程为3x－2y＝；
当截距不为时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一直线的倾斜角与斜率
例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是()
解析 当m＝－1时，α＝；
当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－]∪，
综合知直线AB的倾斜角α的取值范围是.
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是______．
解析 直线l过定点P(0,0)，
思维升华(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
(2)倾斜角和斜率范围求法：图形观察(数形结合)；充分利用函数k＝tanα的单调性．
解析 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0k3k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1k1k3k2.
答案 (－∞，－ ]∪[1，＋∞)
解析 如图所示，当直线l过点B时，k1＝＝－.
当直线l过点A时，k2＝＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
1．(2021·荆门期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为()
解析 倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
2．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是()
解析 设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2,0)，
3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________．
解析 联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1,1)，
∵直线的方向向量v＝(－3,2)，
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，
解析 由题意可设直线方程为＋＝1.
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝或x＋2y－4＝0.
思维升华(1)求直线方程一般有以下两种方法：
直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．
题型三直线方程的综合应用
命题点1 直线过定点问题
例2已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：
(1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________；
(3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________．
解析 (1)当x＝时，y＝3，所以直线过定点(0,3)．
(2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0)．
(3)当y＝时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．
命题点2 与直线有关的多边形面积的最值
例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴k
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，
此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
方法二 设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
又∵＋≥2ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.
此时，直线l的方程是＋＝1.
本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 方法一 由本例知A，B(0,1－2k)(k
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．
(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
跟踪训练2已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝，
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
当k＝时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．(2021·清远期末)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为()
解析 斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
解析 由题意知kAB＝kAC，即＝，
3．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
4．(2020·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()
解析 ∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，
5．直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 ()
解析 直线2xcosα－y－3＝的斜率k＝2cosα，
因为α∈，所以≤cosα≤，
设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
6．(多选)在下列四个命题中，错误的有()
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
解析 对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；
对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；
对于C，一条直线的斜率为tanα，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；
对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tanα或不存在，D错误．
7．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为()
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，
求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝，或x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为2x－y＝，x－y＋1＝，
8．(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是()
解析 设直线方程是4x＋3y＋d＝，分别令x＝和y＝，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，所以6＝××＝.所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
解析 直线l的方程为＝，
即＝，即y＝2x＋1.
10．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝______；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
解析 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝，解得k＝1.
解析BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tanα.
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋，其斜率为tan.
依题意知：tan＝2，即＝＝2，∴tanα＝，
∴正方形一边的斜率k＝，可知相邻一边所在直线的斜率为－3.
方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为，
设正方形的边所在直线的斜率为k，
则由夹角公式得tan＝k＝或k＝－3.
13．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是________．
解析 直线l：ax＋y＋3＝是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQ＝，kAQ＝，kl＝－a.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQklkAQ，解得－a
14．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析 由an＝可知an＝－，
所以Sn＝＋＋＋…＋＝1－，
又知Sn＝，所以1－＝，所以n＝9.
所以直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.
15．(多选)已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．
16．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程是______．
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
佛曰：经不可轻传，亦不可以空取，本号建立的初衷不过是能汇集一群热爱数学，钻研数学的志同道合的朋友，知识无价朋友珍贵，入群付费这个完全只是一个小小的的门槛而已。我们欢迎每一位真心坦诚的朋友。
