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在学习等价无穷小替换的时候,老师会给我们讲这个替换只能用在乘除式子中,而规定在加减式子中不能使用。这是为什么呢?可能有的老师给大家讲解了原理,但是有的却没讲。今天我们一起来探讨下这个问题。
先看一个具体的例子,如下
在例1和例2中,分子上都是减法运算,而且都使用了等价无穷小替换。实际上例1的正确结果为 ,例2的正确结果就为1。也就是说同样是减法运算,例1做等价无穷小替换就是错误的,而例2做等价无穷小替换就是正确的。那么这其中的奥秘到底是什么呢?
这其中的原理跟他们的泰勒展开式有关。他们的泰勒展开如下:
同时也可以推出1-cosx的泰勒展开式子为:
那么我们可以得到以下几个结论:
那么在例1中,如果使用另一种等价替换,也就是如下所示:
所以我们看到,泰勒展开本质上是将复杂的式子都转化为多项式的乘除法来运算,因为多项式的运算是非常简单的。