凑微分法和偏积分发求得得通解一定相同吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-07 03:06 标签： 换元积分法怎么凑微分

高等数学第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 *三、全微分方程三、全微分方程高等数学LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或或一、一、 格林公式格林公式高等数学证明证明:1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图)(的正向边界表示kkDD证毕证毕yxO定理1 高等数学推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 对区域对区域1D应用格应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得yxO高等数学二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 高等数学(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分LyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 高等数学 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为所围区域为证毕证毕 (1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP定理2 高等数学说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域若在某区域D内内,xQyP则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则O6483高等数学例例5. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧为什么？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 !LBAyxO内容小结 高等数学判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),(为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 取因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx35yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx高等数学例例9. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或或Cxyx221,xQ高等数学思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例9 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程为全微分方程,),(yx则称在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.高等数学内容小结内容小结1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ在在 D 内有内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0ddLyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有为全微分方程为全微分方程0ddyQxP高等数学思考与练习思考与练习1. 设设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确

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