超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
怎么样赢硬币正反面的游戏？注定获胜的赌博
本文作者:方弦
出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
后选择一定赢的硬币游戏
对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……
可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的
是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
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全部评论(125)
机械电子工程、消费产品设计专业
真烦正。。。。表格里的
有机会玩玩看。
最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
智能科学专业
不好玩啊这些游戏。。。。。。
正在学概率论的飘过~~
我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
这玩法比死理性派的文章都难……
听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
我还是乖乖上当受骗吧...
头脑简单的只有--闪...
硬币中的概率分析啊哈哈0 0
炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
見過這個硬幣遊戲很多次，但是總是不是很清楚。。。感覺這里也沒說清啊= =|至少我是沒看懂。。。結論是不是先手的人可以必勝啊？
好奇妙啊。明天糊弄别人去。
第一个不理解。害怕矩阵...
对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
小狡猾阿，挺好玩的！
给水排水专业
我还是比较喜欢用硬币变小魔术哄女生的男生…而不是玩什么该死的数学游戏…（我要被追打了么）
很不错，可以骗妹纸啦~~~
引用chiefoforc的回应：对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊是的。谢谢。已更正。
有意思，哈哈……
正反0.....
我经常用硬币的铸造年份来演示排序。。。我这样学会了快速排序和归并排序铸造年份不知道？硬币正面最下方（指新式硬币）的4位数字
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　　荒岛求生（Stranded Deep）发售于日，这款游戏没发售多久就受到了不少玩家的关注，毕竟沙盒类游戏一直都是广大玩家的最爱。荒岛求生小编我也已经上手了，那么就用小编的亲身经历来告诉大家荒岛求生好玩吗。
在岛上采集资源
　　这款游戏的制作并不是很大，但是当小编我进游戏的时候确实是被吓到了，这画质简直凶残啊，无论是海面还是海底的风景都是大作级的啊，如此的画面只用在这么小的空间里确实可惜了。就游戏的画面来说这款游戏确实不错。
来看看这凶残的画质吧
　　游戏的剧情就是主角乘坐的飞机失事然后掉到了海里，只有主角活了下来，整个飞机上貌似只看到了主角和机长两个人这点小编我必须吐个槽。主角从飞机里逃出来之后就漂流到了海上，此时我们的工具只有刀、打火机、船桨、和一条救生船还有一瓶矿泉水，海上有很多岛，我们划到岛上之后就开始了生存之旅。
　　我们从飞机上带出来的东西并不多，所以我们需要在岛上收集资源制造一些东西以便我们生存，玩过像这样的游戏的玩家肯定不会陌生，因为这款游戏也是用各种工具合成一个新道具，我们可以用1木棍+ 1石头片+ 1绳子制造出小刀，也可以用1木棍+ 1石头+ 1绳子制造出斧头，然后就是不停地创造。
造出一把斧子
　　小编并没有通关所以不知道这款游戏什么时候会结束，也许会像一样存活到一定的天数就会结束，但小编我觉得这游戏不太适合没有耐心的玩家玩，每座岛上的资源都是有限的，所以你需要去别的岛寻找资源，游戏中没有地图，这就意味着你有可能会放弃你之前所有的建筑。即使你能找到回去的路，来回这么跑也挺费劲，而且一旦附近的岛被搜刮完毕你就需要去更远的地方，接下来就不用小编多说了，这是个需要耐心的游戏。
夕阳总是那么美
　　以上观点为小编的个人看法，撇开这些不谈，玩家在游戏中创造出一种工具的时候是很有成就感的，所以作为一款创造类游戏，这款游戏还是很合格的。拒绝访问 |
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重新安装浏览器，或使用别的浏览器我有一个朋友，我向他推荐“生化”啦、心跳啦，还有FIFA99啦，他　　 一概不认，偏偏喜欢玩一些成人游戏，什么“恶”啦，XX宝贝啦，有嘛儿　　意思，除了当时能感受一些感官刺激外，其他一点意思也没有。他倒好，　　乐此不疲！
我觉的一个游戏如果不能给人留下一个难忘的回忆，它就不是一个好游戏！！！！　　　　
（副：本人现在最爱玩的游戏是“心跳”里的“兵蜂”满怀旧的！）　　
对拉，网上能连FIFA99吗？？？　　
c&c2北京哪里有卖的？？？
楼主发言：2次 发图：0张 | 更多
　　生化我不太喜欢,觉得晕　　FIFA绝对喜欢...　　还有星际什么的　　知道哪里能连FIFA,告诉我
　　成人游戏？没有意思，还是玩《暗黑》吧。有谁喜欢玩《殖民计划》的？这个国产游戏我找了很多地方都没找到，挺怀念的。
　　成人游戏？没有意思，还是玩《暗黑》吧。有谁喜欢玩《殖民计划》的？这个国产游戏我找了很多地方都没找到，挺怀念的。
　　刚开始有性趣后来就没了
　　不知道你们在说什么。
　　你是成人吗?
　　你也没多大吧
　　我觉得无论什么游戏都有不错的地方，不过我还是比较爱玩RPG或像《生化危机》之类的。。。
　　KOF好。
　　成人游戏也有一些经典之作的，撇开色情的部分不说也还有可取之处的
　　闲音,我也喜欢玩殖民计划，嘿嘿！！我赞成老dog的发言…………
　　《殖民计划》哪儿有快告诉我？！！！！！！！！！！！！！！！
　　板凳我爱你！！！！！！
　　《殖民计划》GZ.188有
　　GZ.188?　　是什么说详细点!!!!!!!拜托!!!!!!　　拜托！！！！！！！！！！！！！
　　我没有！！很想买，可已经找不到啦！还有哪个交通大亨，也找不到了，有人知道吗……………………………………？？？送汽车一部！
　　《交通大亨》？我有《铁路大亨》，看着办,你就送辆火车得了。　　啊哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈......　　:-P
　　《殖民计划》我有！哈哈哈哈哈哈！而且还很喜欢玩！　　不过还是《生化危机》比较爽！
　　嗨这位兄弟能否传给我收藏？　　拜托！！
　　我最喜欢&生化危机&,真是百玩不厌.我已经通关无数次了,不知&生化危机&3什么时候才能出,我可等不急了.......&恐龙危机&有pc版吗????
　　三角洲不是最好玩的吗？　　在战场上和战友并肩作战，爽啊！
　　嗯 盗墓贼
　　这些就是“成人”游戏啊？
　　想找设计的比较好的裸体格斗来玩玩……　　　　打人能把衣服打掉，这口我喜欢%……　　　　
　　楼上的应该去玩欲望格斗2
　　到处都是盗墓的...
　　挖坟的
　　连掘古墓?　　　　难道魔教曲洋兄又复出了??
　　古墓丽影。。。。　　　　　　太强悍了。。。。。
　　同级生2 很好玩,音乐很美,情节曲折感人
　　古董贴的二次发掘
　　人工少女。哈哈
　　现在有什么好游戏：）
　　我日，99年的贴。　　看到一堆人在讨论古董游戏，我还以为我穿越了呢。
　　生化危机
　　作者：波波夫　回复日期：　15:06:46 　　　　三角洲不是最好玩的吗？ 　　　　在战场上和战友并肩作战，爽啊！
　　　　作者：都市判决　回复日期：　21:59:56　
　　　　挖　　--------------------------　　靠　　埋了7年了你都能给挖出来　　鞭尸啊
　　尾行2的操作感还是不错的，3代就渣得很了
　　玩波动的飘过
　　喜迎国庆，冒险岛为你开放新的港湾！　　　　　　第五大区水之大陆即将开放,让我们站在明珠港新的港湾上,创造属于你们自己的新冒险!我们一起呼朋唤友,一起到冒险岛里遨游水之大陆带给我们的全新冲击!!　　　　冒险岛又增加了新的角色,海盗职业强势袭来~ 还没玩的赶快跟我们一起去看看吧~　　　　官方首页:　　　　　　　　官方论坛:　　　　http://bbs.
　　我忍啊，找游戏找找这来了
　　http://dl_/qqfile/qq/QQ2008stablehij/QQ2008.exe
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