解决初等几何题目使用辅助线的逻辑原理是什么？
平面几何很多定理和问题证明都必须依靠辅助线，比如说证明”三角形的内角和为平角“，其中一种证法是过顶点做对边平行线证明。但是添加辅助线这种方法在我看来有逻辑问题，因为所谓”辅助线“并不存在，只是我们构造出来的。我们证明一个东西的性质怎么可以通过构造不存在的对象来证明？如果这种逻辑可以成立，那我还可以证明“所有人都会飞”。给每个人添加一对翅膀，然后通过“所有有翅膀的东西都能飞”来证明？反正依照辅助线逻辑，看不见的东西也不见得不存在，构造就可以了。
按时间排序
不妨看成广义的坐标系变换来帮助理解或者说辅助线的构造类似矩阵的相似变换只要所讨论性质是变换无关如求行列式题主翅膀的例子显然是变换相关而辅助线构造本身应当不违反相应几何的公理 群论观点所谓几何就是考察相应运动群下的不变性 如平面几何的欧氏群 其实所谓的数学证明很多时候都是类似去理解对象背后的等价类 这也是群论广泛应用的原因 想想最初Galois群的作用不过也是代数版的辅助线
辅助线不是随便作的，而是一定要符合几何学的公理的。以题主说的问题为例，之所以我们可以过顶点作对边的平行线来证明三角形内角和为180度，是因为欧氏几何中有定理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。由此我们可以知道我们作的这条辅助线在待证明的体系中存在且唯一，即这样作辅助线有其合理性。另外一点是，做辅助线是不改变待证体系的性质的，这保证了通过辅助线证明的结论仍然是我们想在原体系中证明的结论。过一个等边三角形的某顶点作其对边的平行线，原来的三角形依然是等边三角形，它的性质没有改变。而题主说“假设”给人一双翅膀，这改变了研究对象“人”的性质，因此是不能成立的。PS 辅助线的作用是补齐逻辑链条而不是直接构造结论。
我觉得@流离的回答有可取的道理，做辅助线要在公理和定理的基础上，不能违背已有的定理。比如我现在在两点之间做两条不重合的直线，这与已有公理矛盾，那么做出这样的辅助线得出相应结论就有可能产生矛盾。所以许多证明不是要依赖于辅助线，而是“正确地做出辅助线”也可以当作一个已证明的定理使用，它和其它的几何定理具有相同地位。比如证明三角形内角和为180度，其作辅助线便依据“过直线外一点作且仅可以作一条直线与已知直线平行”这条公理，这也是公理化的一部分，作辅助线也是几何中的基本定理的一部分。在证明过程中作辅助线和使用定理是一个性质，只是我们已经不再习惯说明辅助线的来由。总之，辅助线不能也不是被凭空捏造出来的，每一条辅助线的作法都可以用基本的公理和定理证明其合理性。
只是因为平面几何的对几何模型抽象程度不够，本来就有的性质非要填几根辅助线才能用各种定理完成证明。
本来就有的性质一一填加辅助线构成基本图型一一使用很具象的，仅适用于少数场景的定理完成证明。
不是非要填加辅助线完成证明，只是平几的模型不够general而已。
像题主说的什么填加翅膀的，你可以填一个啊，然后需要证明人什么性质导致填这个翅膀能怎么怎么样，根据xxx定理，最后证出能让人飞。这样飞这个属性就不依赖于辅助线了。
因为初等几何地欧式平面上本来就存在无数个点，只要不违背已知条件，你可以通过平面上的任意两点作任意直线。只不过由于在证明三角形内角和为平角这个命题时我们只需要这一对平行线就足够了，所以我们才只作出这两个平行线罢了。
没这么复杂，答案很简单，你构造出来了证出来了，没有破坏任何定义和定理，所以可行。对于后半部分 人都会飞 那个，只能说你并没有学到平面几何最重要的思想——公理化。人都会飞这个问题，要想和平面几何一样讨论，首先要定义什么是人，什么是会，什么是飞，什么是翅膀，这些都定义完备了，你自然就知道答案。另外你确定有翅膀的东西都会飞么……
我觉得很多答案都太哲学了，这个问题简单来讲就是添加的辅助线就是几何公理，推论及定理的图形化，欧氏几何本身又是依赖于精确作图的体系
为什么要这么做呢？因为这么做能做出来。这是我很崇拜的一个数学老师告诉我的。做辅助线是一个水到渠成的思路过程，也是演绎推理的一个重要环节。比如，角平分线作对称啦，单圆证垂直可以再作一个圆用根轴定理啦……就相当于找一个跳板啦。就是假设所证命题成立，然后找它成立的当且仅当条件。举个栗子，q是你要证明的。题设给出来a，b，c条件。q成立的唯一条件是条件p成立，而a b c可证k成立，而k又有相关性质p。那么k就是辅助线啦。不过做辅助线的思路这一点，是课堂上经常被忽视的。老师们的课时压力也很大，没办法带着所有的学生深究。题主感兴趣的话可以看看竞赛，应该会有新的理解吧！
给他一个秤，就能看到他的体重，去掉秤，体重还在那里，不增不减给他一道题，就能判断他的智商，去掉题，智商还在那里，不高不低给他一个美女，就能判断他的取向，去掉美女，取向还在，不偏不倚给你一个辅助线，就能看到角度的关系，去掉辅助线，关系还在，不少不多
不管做不做辅助线，要证明的定理必然是成立的，与你做不做辅助线没有关系，也就是说即使不做辅助线我们应该也能得出相同的结论。你应该是这个意思吧，我以前也有类似的想法。但是辅助线并不是不存在的东西，它是由解题者构造的，确切的说这些线是一种解体方法，我们解几何题的几何解法，如果我们在坐标系中进行计算，理论上我想应该只要有耐心，计算量可以承受，几何定理不构造辅助线都是可以由代数来证明，但是如果我们用了“辅助线”这种方法，计算过程将极大简化，这就是做“辅助线”的目的。至于你举的例子很容易反驳，我们做辅助线证明的是结论正确的东西，我们构造什么的前提是我们观察到什么具体存在的现象，如果结论错误，构造什么当然都不成立。因为我们做题的步骤是已知输入输出，进行系统辨识，而不是系统设计。
既未增加条件，也未改变题设，因为你画不画出来，那条线都在那儿呢，你还真以为是瞎编的瞎找的啊……找辅助线用辅助线的全套步骤是：假设命题为真--推出辅助线--去掉假设描述辅助线相对运动--用一个跟原命题没有逻辑重叠的辅助线证命题我就不明白了，几何原本都没看过，你有什么资格对欧氏空间指手画脚。孩子你再不回去啃书，就陷入民科没救了……
虽然思辨是值得鼓励的，但真的不是所有的泛泛之谈都应该得到夸奖。我们证明一个东西的性质怎么可以通过构造不存在的对象来证明？我想不到什么理由不可以。如果这种逻辑可以成立，那我还可以证明“所有人都会飞”。给每个人添加一对翅膀，然后通过“所有有翅膀的东西都能飞”来证明？“所有有翅膀的东西都能飞”真的成立？你自己相信？不揣冒昧，你这不过是用自以为是的逻辑，论证了自以为是命题而已。做人要踏实，你甩出这个问题之前，真的过过脑子么？
辅助线分割出的局部，能直接套用定理，更方便求解。题主应该从出题人的角度来想。如果我将简单的图形通过包含，拼接等方式联系到一起来出题，要学生求某个未知量而且其余的条件都已知，那么将会很好求解。所以我必须要隐瞒一些条件，这些条件是“重复了的”，即其他条件已经可以推导出这个条件，如果不隐瞒，也仅仅只是“强化”了已知条件而已。这就是辅助线。类似的，还有一种。就是我们常常能发现，去掉某个条件约束后，答案仍然存在，此时可以断定，这个条件的存在是多余的，而此时，一道好题，就出现了。甚至可能诞生一个好玩的定理。做这种题时，可以通过补上这条辅助线来找思路。但绝不是正确的求解过程。
其实很简单，18*6不好算，可以拆解成18*5+18。分割意义上的辅助线，是把6替换成5+1的过程。你当然可以不承认6=5+1，但是在实数加法运算，特别是普通意义上的加法，6就是等于5+1。罗心澄的回答有些其实等效于不承认数字的准确性，也就是不承认有严格意义上的5或者1。举个简单例子，我有5个馒头，但是馒头大小显然不精确，所以不是精确的5个，一个馒头重量5克，由于电子秤精度问题所以我们也没法严格精确的判定质量。这就是5在现实世界中并不那么好用，倒更像是近似。不知道有没有哪个理论家研究过这个问题没，希望知道的能告诉我下…
作为讨论的起点，假定这里有一个跳步。这个跳步是这样的：如果在做了辅助线之后的图形上，三角形内角和为 180 度，那么，将辅助线擦掉之后，该三角形内角和依然为 180 度。（这个表述是对称的，也可以改成：「如果 ……，那么在加辅助线之前……」并且这并不在实质上影响下面的讨论）这看上去是一个非常重要的性质。并且你可能会觉得，这个性质似乎和我们的物理世界有关，然后甚至可能发现，在我们的物理世界中，这个性质未必真的存在。举个例子，如果我们只能用水来擦东西，并且水的量总是要铺满整个平面的话，那么这个步骤从实践上就做不到，因为我们一擦就会擦掉所有东西。另一个情况是，假设我们的「画布」是一种悬空结构的东西，而我们使用的线都是有显著重量的。一旦将其撤走就会改变画布的曲率——那么此时我们就不能再放心地断言辅助线的撤去不会影响我们的观察。上面讨论了两个假想的行为，和我们的实际行为有点远。但是即便是现实操作中，这种画线的工作也有可能受到一些物理条件的干扰，比如说，如果我们是在沙上面作画的话，很难保证在擦掉一条线的时候完全不影响另一条线——沙子可能会被推过去一点点，或者，震动导致沙粒的滑落。当然，由于误差很小，我们还是能脑补出正确的图景。这样一想，即便我们用纸+铅笔又何尝不是如此呢？你即便用的是白纸和铅笔作图，你在作图以及擦除的时候都多多少少改变了那张纸本身（其中一些纸张的纤维被橡皮擦的摩擦力撕断了，另一些改变则发生在笔和纸接触的时候——笔尖在纸面上产生的凹痕）。当然，这种改变在大多数情况下是肉眼无法区分的。Wittgenstein 在讲数学的时候，虽然有些不太容易令人接受的部分，但是至少有一些内容是值得玩味的：我们之所以能有数的概念，是因为我们能有实体的概念。如果任何东西拿上天秤之后质量就会改变，或者，任何我们企图用作砝码的东西都会忽重忽轻忽大忽小——当然，我们甚至不能想象一个有着这样物理规律的世界要如何存在，但是无论如何，假设有一个调皮的超智能外星人在调控这一切吧——那么我们就很难想象，在这种情况下，人们要如何弄出来数学。很多我们视作理所当然的东西，并不真的有我们想象的那么理所当然。我们视作等同的东西，未必真的是等同的，而仅仅是一种物理上的无法区分罢了。——虽然这并不能阻止我们在使用语言的过程中正当地将其称为等同的。当我们在作图的时候，一方面，我们在用图来作为那个完美的几何形象的例示（instantiation），另一方面，我们也知道这个图本身不是完美的。——甚至在特定的情况下，我们根本就不需要一副特别好、画得特别像的图，随手画一下，也能通过根据正确的条件推理来得到正确的结论。——当然，对于那些过于依赖直观的人，这可能是一件困难的事情。但是另一方面来说，过于依赖直观也会使得我们卡在某些地方：比如说，虽然我通过作图和观察，认为两条线段是相等的，但是我却有可能苦于不知道如何证明。——甚至有可能实际上它们根本不相等。从这个意义上来说，不仅仅辅助线是辅助的，你在做几何证明题的时候，整张图全部都是辅助的。你看到的任何图根本就是错的啊，点没有长宽，没有面积；线没有宽度。但是没有面积没有宽度的东西你怎么看得到？问题根本就不在于加了辅助线之后如何如何，而是：那张图，就其自身而言，全部都是辅助线。三角形为什么存在？因为给定空间中的三个点，只要它们不共线，我们必定能够由其确定唯一的平面，并且，任意两点之间的连线也都在这个平面上。当我们在纸上作图的时候，无论我们用再细的笔也好，你画出的线上总是有无数条理想的直线；落在上面，而你点上去的点，也总是有无数个点落在其中。我们是如何有能力指向这其中的唯一确定下来的三个点和三条直线的？即便人类有能力将物理意义上的空间尺度明确到比如，但是在这个尺度上，依然有无穷个理想点和无穷个直线，符合你的作图——如果你的作图的确能达到这个精度的话。并且，这种精度上的问题就和 Black 在谈论同一性问题的时候有类似的地方。Black 认为，同一律的如下方向是错的：如果两个对象有所拥有的性质都是相同的，那么这两个对象是同一个对象。Black 的举例是，如果一个宇宙（不具有量子涨落）中只有两个球，这两个球具有完全相同的属性，但是不相互等同。因为规定了其中的对象只有这两个，因此我们不能让我们/视角从这个宇宙内部出发，但是如果我们的视角从这个宇宙外部出发，每当我们指向其中一个对象的时候，我们都不知道自己是不是在那个中心对称的位置上指向另一个对象——因此这两个对象拥有完全相同的属性。这个地方平移过来，我们会发现数学对象，如果我们不假定其本身存在，而将其视作某种依赖于我们构建的东西的话，会体现出类似的情况。假定就是人类的最小分辨尺度。不考虑任何引力导致的空间弯曲，就假定我们所处的物理空间背后有一个数学空间。我们会发现我们没有办法区分相距的一对点，或者，一对平行线——其中一者所拥有的性质，在我们看来，都是其同伴所拥有的，虽然我们知道这两条线离我的距离是不相等的，但是这种不相等在我们观测能力之上，因此我们并不知道到底哪个是哪个。你觉得为什么我要说这么一大堆呢？这是因为我想展现这样一个事实：数学意义上的几何空间在哪里并不重要。因为就算我们将其视作是和我们所处的物理空间（至少部分）相重合的，我们也不能真的有效地谈论它。我们不知道自己指的是哪个点，我们也不知道自己指的是哪条线。我们以为自己借助物理空间可以把数学空间谈论得更加清楚，而事实是，即便我们忽略了物理空间本身的弯曲，我们依然没有办法完美地将数学空间建基于其上。但是，如果我们实际上谈论的是数学空间中的抽象对象的话。那么同样地，辅助线就不是不存在的对象了。因为，任意两点之间都有且仅有一条直线，并且，过直线外一点，有且仅有一条直线与给定直线平行。这不是我们在证明的时候构建出来的东西，而是在我们给定了公理之后，就一直在那里的东西。我们用物理空间中的记号（token）去模仿理想的数学空间，但是 token 的存在与否并不会影响到理想的数学空间中的对象的存在与否。并且从物理空间中的 token 到数学空间中的理想对象之间的指代关系是需要证明的。我可以画图画偏一点点，然后凭 token 组成的图片加上一些推理进而得到非常荒谬的结论，而这基本上都是来源于 token 本身的指向并不成立，要么它实际上指向数学空间中某些别的对象，要么它实际上并不指向数学空间中我们关心的任何对象。所以，就算是添加和擦除辅助线对于 token 有影响，但是这种影响，或者说，影响之后的产物，并不应该指向影响之后的 token 的指向。否则，我在纸上画一条线，然后将纸随便移动到某个地方之后，然后说这两个 token 指向的对象（我们所处的物理空间背后的数学空间）相同，这岂不是可以用来证明任何两条直线都是同一条了？以上。
昨天仔细思考了一番，我自己给出个解释吧，我觉得这个解释还比较令我满意。一.关于辅助线的存在问题。在纯数学中，可以认为辅助线是恒定存在的，在没有作出之前也是存在的。而作出的过程只是一个指明的过程。存在性由数学公理加以保证。但是，欧式几何实际上来源于对现实直觉的抽象。现实中存在很多“近似直线”“近似三角形”，而现实中的直线并没有定义，完全由直觉感官判断。所以我倾向于认为辅助线在没有作出来之前是不存在的，公理只是保证“可以存在”“可以作出”，只是提供了存在的可能性。二.构造的对象确实可以用来参与推理，用来证明某个对象的性质。只要逻辑无误就可以。就像我们要称量一坨水的重量，但是我们只能称量出固定形态物体的重量，我们可以构造一个容器。然后进行合理推理得出水的重量。而我问题里如果给人构造翅膀确实可以得出“有翅膀的人会飞”。但是得不出“人会飞”。三.辅助线的可能存在性并不影响结论的恒定存在性。因为推理本身只是思维活动， 没有辅助线三角形本身还是存在的，各种性质也不会变，只是推理过程不能存在而已。只有当辅助线不可能存在，平行线无法做出，结论才不存在，这时候欧式几何也变成非欧几何了。
辅助线并非不存在，它存在。事实上，在你声明任意要素的时候，如果你对它的描述没有矛盾，那么这样的要素一定存在。之所以“设”辅助线，是因为这条线能帮你的忙，其他的线帮不上，所以把这条线强调出来供你使用。
好像所有回答都没有答到点子上。“辅助线”并不是完全凭空创造出来的，当然直接说过顶点作对边的平行线这个说法看起来好像是凭空创造了一条辅助线，实际上这是一个极端简化的证明过程。首先要证明过直线外一点可以做已知直线的平行线，这个定理应该在原本中给出了证明。回头查一下是第几个命题。有了这个定理为前提，再说做对边的平行线，就不突兀了。中学课本中的很多几何定理的证明确实都过分简化，过分依赖直觉，有很多甚至是循环论证。所以如果题主能够“证明”每个人都能长出翅膀的话，那么这个对每个人都能飞的证明就是合法的了。
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录关于做圆的证明题,经常用的辅助线,及各种求法的分析解释,以及各种问法的做法分析...谢如果好还会就加分的一般圆的证明题的做题思路 最好也能说一下
圆的问题大概接触比较多的是和其他平面几何同时考三角形的内外心与边角的连线用的比较多的还是用三角函数解题切线 圆心与其他平面图形的连线 之类的
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码几何证明题辅助线相关的问题在做辅助线时可以可以不按题型吗?就是说他给的条件不要用我辅助线所获取的条件来做题
这种结果基本是,一要求太多辅助线作不出来,二辅助线做出来的都是没用的..
为您推荐：
如果可以那样说明题出的没水平，条件给的多余了。但几率最大的情况是你做了辅助线后自己推断出了不一定成立的结论。
给出的辅助线应该是比较方便做的，如果自己去再做辅助线的话，可能会复杂点，不过只要你做的出来 也是可以的
扫描下载二维码教我怎么画辅助线，数学初三的数学题总是要作辅助线才可以解。但是遇到复杂的图，乱七八糟的图，怎么才知道在哪里怎么作辅助线才可以解题？每次看到答案作的辅助线，总是恍然大悟。。。无奈
.cn/b/.html
一、见中点引中位线，见中线延长一倍
在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
二、 在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有
1、 过上底的两端点向下底作垂线
2、 过上底的一个端点作一腰的平行线
3、 过上底的一...
为您推荐：
扫描下载二维码OK倍长中线巧解题_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
OK倍长中线巧解题
上传于||暂无简介
阅读已结束，如果下载本文需要使用1下载券
想免费下载本文？
你可能喜欢