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帮忙做个高数题求函数f(x,y)＝1/(cosxcosy)的间断点谢谢
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x=kpi+pi/2y=kpi+pi/2
x=kpi+pi/2(k属于Z)y=kpi+pi/2(k属于Z)
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第1章教学过程函数、极限与连续§1--1 初等函数一、 基本初等函数 我们把幂函数 y=x?(??R)、指数函数 y=ax(a&0 且 a?1)、对数函数 y=logax(a&0 且 a?1)、 三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx 和反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx 统 称 为 基 本 初 等 函 数 ． 很 多 时 候 也 把 多 项 式 函 数 y=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 看作基本初等函数． 二、复合函数 定义 1 如果 y 是 u 的函数 y=f(u)，而 u 又是 x 的函数 u=?(x)，且?(x)的值域与 y=f(u) 的定义域的交非空，那么，y 通过中间变量 u 的联系成为 x 的函数，我们把这个函数称为是 由函数 y=f(u)与 u=?(x)复合而成的复合函数，记作 y=f[?(x)]． 学习复合函数有两方面要求：一方面，会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数， 这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程； 另一方面， 会把一个复合函数分解为几 个较简单的函数， 这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运 算所得到的函数． 例 1 已知 y=lnu, u=x2，试把 y 表示为 x 的函数． 解 y=lnu=lnx2, x?(-?,0)?(0,+?)． 例 2 设 y=u2, u=tanv, v= x ，试把 y 表示为 x 的函数．2解 y=u2=tan2v=tan2 x ．2复合函数的中间变量可以不限于一个． 例 3 函数 y=esinx 是由哪些简单函数复合而成的？ 解 令 u=sinx，则 y=eu，故 y=esinx 是由 y=eu, u=sinx 复合而成的． 例 4 函数 y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函数复合而成的？ 解 令 u=tan（2lnx+1） ，则 y=u3；再令 v=2lnx+1，则 u=tanv. 故 y=tan3（2lnx+1）是由 y=u3, u=tanv, v=2lnx+1 复合而成的． 三、初等函数 定义 2 由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的，并且能用 一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：sin x , x2 ?1 等都是初等函数． y?y ? loga ( x ? 1 ? x 2 ),y?a x ? a ?x 2例 5 分解 y ? esin ?1?3 x ? ．2解 令 u=sin(1+3x2)，得 y=eu；再令 v=1+3x2，得 u=sinv．1故 y ? e sin ?1?3x ? 是由 y=eu, u=sinv, v=1+3x2 复合而成的2定义 3 设 a, ? ? R , ? &0,数集?x| |x-a|& ? ,x ? R? ,即实数轴上和 a 点的距离小于 ? ? ,称为点的空心 ? 邻的点的全体， 称为点 a 的 ? 邻域， 记作 U ? ） a 与数 ? 分别称为这邻域的中心和半径． （a, ,点 有 时用 U（a）表示点 a 的一个泛指的邻域．数集 ? x|0&|x-a|& ? ,x ? R 域，记作 U (a, ? ) ． U（a, ? ）=(a- ? ,a+ ? )， U (a, ? ) ? (a ? ? , a) ? (a, a ? ? ). 小结 作业0 02§1--2 极限一、 数列的极限 两个数列： 1 1 1 1 , , , ? , n , ?; 2 4 8 2(1) (2)1 2 3 n , , ,?, , ?. 2 3 4 n ?1 在数轴上表示．1 11 4O16 81 21xO1 22 33 4 4 51x数列(1)中的项无限趋近于 0，数列(2)中的项无限趋近于 1． 定义 1 当数列{an}的项数 n 无限增大时，如果 an 无限地趋近于一个确定的常数 A，那 么就称这个数列存在极限 A，记作 lim a n =A．读作“当 n 趋向于无穷大时，an 的极限等于n ??A”．符号“ ?”表示“趋向于” ，“?”表示“无穷大”，“n??”表示“n 无限增大”． lim a n ? An ??有时也记作当 n??时，an?A，或 an?A, (n??)． 若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛；若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散． 注意：(1)一个数列有无极限，应该分析随着项数的无限增大，数列中相应的项是否无 限趋近于某个确定的常数，如果这样的数存在，那么这个数就是所论数列的极限，否则数列 的极限就不存在． (2)常数数列的极限都是这个常数本身． 二、 函数的极限 自变量 x 的变化过程： (1)x 的绝对值|x|无限增大(记作 x??)； (2)x 无限接近于某一值 x0，或者说 x 趋向于 x0 (记作 x?x0)． 1.当 x??时函数 f(x)的极限 x??包含以下两种情况： (1)x 取正值，无限增大，记作 x?+?； (2)x 取负值，它的绝对值无限增大(即 x 无限减小)，记作 x?-?． 若 x 不指定正负，只是|x|无限增大，则写成 x??． 例 1 讨论函数 y ? 1 +1 当 x?+?和 x?-?时的变化趋势． x 解 作出函数 y ? 1 +1 的图像． x 当 x?+?和 x?-?时， y ? 1 +1?1，因 x 此当 x??时， y ? 1 +1?1． x 定义 如果当|x|无限增大(即 x??)时，函数 f(x)无限 地趋近于一个确定的常数 A，那么就称 f(x)当 x?? 时存 1 1 O x y3在极限 A，称数 A 为当 x??时函数 f(x)的极限，记作 类似地，如果当 x?+?(或 x?-?)时，函数 f(x)无限地趋近于一个确定的常数 A，那么 就称 f(x)当 x?+?(或 x?-?) 时存在极限 A，称数 A 为当 x?+?(或 x?-?)时函数 f(x)的极 限．记作x ? ??l i mf ?x ? ? A (或 l i mf ?x ? ? A ) ．x ? ??例 2 作出函数 y=( 1 )x 和 y=2x 的图像，并判断下列极限： 2 (1) xlim ( 1 )x；(2) lim 2x． ? ?? x ? ?? 2 解 (1) xlim ( 1 )x =0； ? ?? 2 (2) lim 2x =0．x ? ??y y=2xy=( 1 )x 21 x O 1例 3 讨论下列函数当 x??时的极限： 1 (1)y=1+ 2 ；(2)y=2x． x 1 解： (1)当 x?+?时，y=1+ 2 ?1； x 1 当 x?-?时，y=1+ 2 ?1． x 1 因此，当|x|无限增大时，函数 y=1+ 2 x 无限地接近于常数 1，即y y=1+1 x2xO11 )=1． x2 (2) 当 x?+?时，y=2x?+?； 当 x?-?时，y=2x?0． 因此，当|x|无限增大时，函数 y=2x 不可能无限地趋近某一个常数，即x ??lim (1+x ??lim 2x 不存在．结论：当且仅当 xlim f(x)和 xlim f(x)都存在并且相等为 A 时， lim f(x)存在为 A，即 ? ?? ? ??x ??x ??lim f(x)=A ? lim f(x)= lim f(x) =A． x ? ?? x ? ??2.当 x?x0 时，函数 f(x)的极限 x?x0 包含以下两种情况：? (1)x? x 0 表示 x 从大于 x0 的方向趋近于 x0； ? (2) x? x 0 表示 x 从小于 x0 的方向趋近于 x0．4记号 x?x0 表示 x 无限趋近于 x0，对从哪个方向趋近没有限制． 例 4 讨论当 x?2 时，函数 y=x+1 的变化趋势． 解 作出函数 y=x+1 的图像． 不论 x 从小于 2 的方向趋近于 2，或者从大于 2 的方向 趋近于 2，函数 y=x+1 的值总是随着自变量 x 的变化从 两个不同的方向愈来愈接近于 3 ，所以说 当 x?2 时 y=x+1?3． 例 5 讨论当 x?1 时，函数 y= 解 作出函数 y=y y=x+1 3? 2 1 x O 1 2 ?x 2 ?1 的变化趋势． x ?1x 2 ?1 的图像． x ?1 函数的定义域为(-?, 1)?(1, ?)，在 x=1 处函数没有定义， x 不论从大于 1 或从小于 1 两个方向趋近于 1 时，函数y=y y= 3 2 1x 2 ?1 x ?1x ?1 的值是从两个不同方向愈来愈接近于 2 的．我们研 x ?12x 2 ?1 究当 x 趋近于 1 函数 y= 的变化趋势时，并不计较函数 x ?10x O 1 2在 x=1 处是否有定义，而仅关心函数在 x=1 的邻近（x ? U (1, ? ) ）的函数值的变化趋势，也 即我们认为在 x?1 时隐含一个要求：x?1．因此， 当 x?1 时, y=x 2 ?1 ?2． x ?1定义如果当 x?x0, x?x0 时，函数 f(x)无限地趋近于一个确定的常数 A，那么就称当0lim x?x0 时 f(x)存在极限 A；数 A 就称为当 x?x0 时，函数 f(x)的极限，记作 x ?x f ?x ? ? A ．例 6 求下列极限：lim (1)f(x)=x， x ?x f(x)；(2)f(x)=C， lim f(x), (C 为常数)．0x ?x 0lim lim 解 (1)因为当 x?x0 时，f(x)=x 的值无限趋近于 x0，所以有 x ?x f(x)= x ?x x= x0．0 0lim lim (2)因为当 x?x0 时，f(x)的值恒等于 C，所以有 x ?x f(x)= x ?x C=C．由此可见，常数0 0的极限是其本身． 规定：? (1)如果 x 从大于 x0 的方向趋近于 x0(即 x? x 0 )时，函数 f(x)无限地趋近于一个确定的常数 A， 那么就称 f(x)在 x0 处存在右极限 A， 称数 A 就称为当 x?x0 时， 函数 f(x)的右极限 ， 记作 xlim f ?x ? ? A ； ?x ?0? (2)如果 x 从小于 x0 的方向趋近于 x0(即 x? x 0 )时，函数 f(x)无限地趋近于一个确定的常数 A， 那么就称 f(x)在 x0 处存在左极限 A， 称数 A 就称为当 x?x0 时， 函数 f(x)的左极限 ， 记作 xlim? f ?x ? ? A ． ?x05?x ? 1, x ? 0, 例 7 已知函数 f ?x ? ? ? ，讨论当 x?0 时的极限． 3 ?x , x ? 0解x ?0 ?lim f ?x ? ? lim ?x ? 1? ? ?1， ?x ?0x ?0 ?lim f ?x ? ? lim x 3 ? 0 ， ?x ?0x ?0 ?lim f ?x ? ? lim f ?x ? ． ?x ?0因而当 x?0 时 f(x)的极限不存在． 一般地，x ?x0lim f ?x ? =A ? lim? f ?x ? ? lim? f ?x ? ? A ． x ?x x ?x0 0例 8 已知 f ?x ? ? ? 解?x , x ? 2, ，求 lim f ?x ? ． x ?2 2, x ? 2 ?x ?2因为 lim? f ?x ? ? lim? x ? 2 ，x ?2 x ?2?lim f ?x ? ? lim? 2 ? 2 ，x ?2即 所以x ?2 ?lim f ?x ? ? lim f ( x ) =2， ?x ?2l i m?x ? ? 2 ． fx ?2例 9 已知 f(x)=|x| ， lim f ?x ? 是否存在？ x ?0 x|x| x ? =1； x x解 当 x&0 时，f(x)= 当 x&0 时，f(x)=|x | ?x ? =-1， x x?1, x ? 0, 于是 ?? 1, x ? 0,x ?0 x ?0所以函数可以分段表示为 f ?x ? ? ?x ?0 ?lim f ?x ? ? 1,x ?0 ?lim f ?x ? ? ?1 ，即 lim f ?x ? ? lim f ?x ? ，所以 lim f ?x ? 不存在 ? ?x ?06§1--3 极限的四则运算和、差、积、商的极限运算法则： 如果 lim f(x)=A， lim g(x)=B，那么x ?x 0 x ?x 01． lim [f(x)?g(x)]= lim f(x) ? lim g(x)=A?B；x ?x 0 x ?x 0 x ?x 02． lim [f(x)?g(x)]= lim f(x) ? lim g(x)=A?B；x ?x 0 x ?x 0 x ?x 0特别地， lim C?f(x)=C? lim f(x)=C?A，(C 为常数)；x ?x 0 x ?x 0lim f ?x ? A 3． lim f ?x ? ? x ?x 0 ? , ?B ? 0? ． x ?x 0 g ?x ? lim g ?x ? Bx ?x 0说明： 1．上述运算法则对于 x??等其他变化过程同样成立； 2．法则 1, 2 可推广到有限个函数的情况，因此只要 x 使函数有意义，例如下面的等式 也成立：x ?x 0lim [f(x)]n=[ lim f(x)]n， lim [f(x)]?=[ lim f(x)]?, ??Q．x ?x 0 x ?x 0 x ?x 0lim 极限运算“ x ?x ”与四则运算(加、减、乘、除)可以交换次序(其中除法运算时分母的极0限必须不等于零） ． 例 1 求 lim (x2+2x-3)．x?2解： lim (x2+2x-3)= lim x2+ lim 2x- lim 3=[ lim x]2+2? lim x-3=2?2+2?2-3=5．x?2 x?2 x?2 x?2 x?2 x?2例 2 求 lim 解x 2 ? 2x ? 5 ． x ?1 x2 ? 62x 2 ? 2x ? 5 lim(x ? 2x ? 5) 4 = x ?1 ? ． lim x ?1 x2 ? 6 7 lim(x 2 ? 6)x ?12x ?1 ． x ?1 (x ? 1)( x ? 1) x 2 ?1 解 lim = lim ? lim(x ? 1) =2． x ?1 x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 例 4 求 lim x ? 4 ． x ?4 x ?5 ?3例 3 求 limx ?1解limx ?4x ?4 x ?5 ?3= limx ?4(x ? 4)( x ? 5) ? 3) ( x ? 5 ? 3)( x ? 5) ? 3)= limx ?4(x ? 4)( x ? 5) ? 3) ? lim( x ? 5) ? 3) = lim x ? 5 +3=6． x ?4 x ?4 x ?47例 5 求 lim2n 2 ? 2n ? 1 ． n ?? 2n 2 ? 3n ? 41?解2 1 ? ? 2 1 lim?1 ? ? 2 ? ? 2 n ? 2n ? 1 n n ? n ??? n n ? ? 1 ． = lim lim n ?? 2n 2 ? 3n ? 4 n ?? 3 4 3 4 ? 2 ? 2? ? 2 lim? 2 ? ? 2 ? n ?? n n n n ? ?2x 2 ? x ? 5 ． x ?? 3x 3 ? 2x ? 1例 6 求 lim解2 1 5 ? 2 ? 3 2x 2 ? x ? 5 x ? 0 ?0． = lim x x lim x ?? 3x 3 ? 2x ? 1 x ?? 2 1 3 3? 2 ? 3 x x8§1--4一、 无穷大无穷大和无穷小y考察函数 f(x)=1 ． x ?1? O 1 x由图可知，当 x 从左右两个方向趋近于 1 时，|f(x)|都无限地增大． 定义 1 如果当 x?x0 时，函数 f(x)的绝对值无限增大，那么称函数 f(x)为当 x?x0 时的 无穷大． 如果函数 f(x)为当 x?x0 时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数 的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作x ?x 0lim f (x ) =?．注意 式中的记号“?”是一个记号而不是确定的数，记号的含意仅表示“f(x)的绝对值无 限增大”． 如果在无穷大的定义中，对于 x0 左右近旁的 x，对应的函数值都是正的或都是负的，也 即当 x?x0 时，f(x)无限增大或减小，就分别记作x ?x 0lim f (x ) =+? 或 lim f (x ) =-?．x ?x 0例如， （１）当 x?1 时，|1 1 |无限增大，所以 是当 x?1 时的无穷大，记作 x ?1 x ?1limx ?11 =?． x ?1? ? 定义可推广到 x? x 0 , x? x 0 , x ? ? ，x?+?, x?-?时的情形．例如， （２）当 x??时，|x|无限增大，所以 x 是当 x??时的的无穷大，记作 lim x=?．x ??（３）当 x?+?时，2x 总取正值而无限增大，所以 2x 是当 x?+?时的的无穷大，记作x ? ??lim 2x=+?．（４）当 x?0+时，lnx 总取负值而无限减小，所以 lnx 是 x?0+时的无穷大，记作x ?0 ?lim lnx=-?．yx 注意 (1)一个函数 f(x)是无穷大，是与自变量 x 的变化过程紧密相连的，因此必须指明自 ? 1 O 变量 x 的变化过程． (2)不要把绝对值很大的数说成是无穷大． 无穷大表示的是一个函数，这个函数的绝对值在自变量某个变化过程中的变化趋势是9无限增大；而这些绝对值很大的数无论在自变量何种变化过程，其极限都为常数本身，并不 会无限增大或减小． 二、 无穷小 １．无穷小的定义 y 考察函数 f(x)=x-1，由图可知，当 x 从左右两个方向无 限趋近于 1 时，f(x)都无限地趋向于 0． 定义 2 如果当 x?x0 时，函数 f(x)的极限为 0，那么就称函数 x 1 ? O f(x)为 x?x0 时的无穷小．记作 lim f ? x ? =0． x ? x0 ? -1 例如， （１）因为 lim (x-1)=0，x ?1所以函数 x-1 是当 x?1 时的无穷小． 例如， （２）因为 limx ??1 =0， x1 是当 x??时的无穷小． x 注意 (1)一个函数 f(x)是无穷小，是与自变量 x 的变化过程紧密相连的，因此必须指明 自变量 x 的变化过程． (2)不要把绝对值很小的常数说成是无穷小． 无穷小表示的是一个函数，这个函数在自变量某个变化过程中的极限为 0；而这些绝对 值很小的数无论自变量是何种变化过程，其极限都不是 0；只有常数 0 可以看成是无穷小， 因为常数函数 0 的任何极限总是 0． ２．无穷小的性质 设 f1(x),f2(x),...,fn(x)是 x?x0(或 x??等)时的无穷小．所以函数 性质 1 f(x)= ? ai fi (x ) (ai?R)是 x?x0(或 x??等)时的无穷小，即有限个无穷小的代i ?1 n数组合仍然是无穷小． 性质 2 f(x)=f1(x)?f2(x) ?...? fn(x)是 x?x0(或 x??等)时的无穷小，即无穷小的积仍然是 无穷小． 性质 3 设 g(x) 当 x?x0(或 x??等)时是有界的，则 g(x)?fi (x)(i=1,2,...,n)是 x?x0(或 x??等)时的无穷小，即有界函数与无穷小的积是无穷小． 1 例 1 求 lim x sin ． x ?0 x 解 因为 lim x=0，所以 x 是 x?0 时的无穷小．x ?01 1 |?1，所以 sin 是有界函数． x x 1 根据无穷小的性质 3，可知 lim x sin =0． x ?0 x而|sinsin x ． x sin x 1 解 因为 = ?sinx， x x例 2 求 limx ??101 是当 x??时的无穷小， x sinx 是有界函数． sin x 所以 lim =0． x ?? x ３．函数极限与无穷小的关系而 定理 1x ?x 0即当 x?x0 时 f(x)以 A 为极限的充分必要 lim f (x ) =A ? f(x)=A+?, lim ? =0．x ?x 0条件是 f(x)能表示为 A 与一个 x?x0 时的无穷小之和． 证明： 必要性 设 lim f (x ) =A，x ?x 0令?=f(x)-A，则 f(x)=A+?， 而 即x ?x 0lim ? = lim [ f (x ) ? A ] =0，x ?x 0?是当 x?x0 时的无穷小． 充分性 设 f(x)=A+?，其中?是当 x?x0 时的无穷小，则x ?x 0lim f (x ) = lim ( A ? ? ) =A．x ?x0即 f(x)的极限为 A． 三、无穷大与无穷小的关系 定理 无穷大的倒数是无穷小； 反之， 在变化过程中不为零的无穷小的倒数为一个无穷 大． x?4 例 3 求 lim ． x ?1 x ? 1 解 因为 limx ?1x ?1 x ?1 =0，即 是当 x?1 时的无穷小， x?4 x?4 x?4 是当 x?1 时的无穷大， x ?1根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数 所以limx ?1x?4 =?． x ?1例 4 求 lim (x2-3x+2)．x ??1 解 因为 lim ? lim x ?? x 2 ? 3x ? 2 x ??所以2 lim (x -3x+2)= ?．1 x2 ? 0， 3 2 1? ? 2 x xx ??例 5 求 lim2x 3 ? x 2 ? 5 ． x ?? x2 ? 71 7 ? 3 x x ? 0， 1 5 2? ? 3 x x解x2 ? 7 因为 lim ? lim x ?? 2 x 3 ? x 2 ? 5 x ??11所以2x 3 ? x 2 ? 5 =?． x ?? x2 ? 7 lima0/b0， 当 m=n； 当 m&n； 当 m&n．a0 x m ? a1x m?1 ? ? ? am = x ?? b x n ? b x n ?1 ? ? ? b 0 1 n lim?， 0，12§1--5 两个重要极限sin x x 观察当 x?0 时函数的变化趋势：一、 limx ?0x(弧度)0.50 0.95850.10 0.99830.05 0.99960.04 0.99970.03 0.99980.02 0.9999... ...sin x x当 x 取正值趋近于 0 时，sin x sin x ?1，即 lim? =1； x ?0 x x当 x 取负值趋近于 0 时，-x?0, -x&0, sin(-x)&0．于是 sin x sin(?x ) ． lim ? lim? x ?0 ? ? x ?0 x (?x ) 综上所述，得limx ?0sin x ? 1． xlimx ?0sin x ? 1的特点： x0 0 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 ； 0 0(1)它是“(2)在分式中同时出现三角函数和 x 的幂． 推广 则 例1 求 limx ?0如果 lim ?(x)=0,(a 可以是有限数 x0, ??或?)，x ?alimx ?asin?? ?x ?? = sin?? ?x ?? =1． lim ? ? x ??0 ? ?x ? ? ?x ?tan x ． x解 例2 解sin x tan x = lim cosx ? lim sin x ? 1 ? lim sin x ? lim 1 ? 1 ? 1 ? 1 ． lim x ?0 x ?0 x ?0 x x x cosx x ?0 x x ?0 cosx求 limx ?0sin 3x ． xlimx ?0sin 3x 3 sin 3x sin t = lim (令3x ? t ) 3 lim ? 3． x ?0 t ?0 x 3x tx ?0例3 求 lim1 ? cos x ． x2解x x x x 2 sin 2 sin 2 sin sin 1 ? cos x 1 2 ? lim 2 ? lim ? 2? 2 ?1． = lim lim 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 2 x x x x 2 x 2( ) 2 2 2 2x ?0例4 求 limarcsin x ． x解 令 arcsinx=t，则 x=sint 且 x?0 时 t?0． arcsin x t 所以 lim = lim ? 1． x ?0 t ? 0 sin t x13例5 求 limtan x ? sin x ． x ?0 x3解sin x 1 ? cosx ? sin x sin x ? tan x ? sin x cosx = lim cosx lim ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x3 x3 x3= limx ?0sin x 1 1 ? cos x 1 ? lim ? lim ? ． x ?0 cos x x ?0 x 2 x21 二、 lim(1 ? ) x ? e x ?? x观察当 x?+?时函数的变化趋势： x 1 2 2 2.25 10 2.594
1 . 2.71828 ... ...1 (1 ? ) x x1 1 当 x 取正值并无限增大时， (1 ? ) x 是逐渐增大的，但是不论 x 如何大， (1 ? ) x 的值 x x1 总不会超过 3．实际上如果继续增大 x．即当 x?+?时，可以验证 (1 ? ) x 是趋近于一个确 x定的无理数 e＝2....． 1 当 x?-?时，函数 (1 ? ) x 有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于 e． x 综上所述，得x ??lim (1 ?1 x ) =e． xx ??lim (1 ?1 x ) =e 的特点： x无穷大案（１）lim(1+无穷小)；（２） “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数． 推广 （１）若 lim ?(x)= ?,(a 可以是有限数 x0, ??或?)，则x ?alim(1 ?x ?a1? ( x)) ? ( x ) ? lim? ? x ???? 1?1? ( x)?? ( x) =e；（２）若 lim ?(x)=0,(a 可以是有限数 x0, ??或?)，则x ?alim? 1 ? ? ? x ?x?a?? ( x )1? lim ? 1 ? ? ? x ?? ? x ??0?? ( x ) =e．11 1 =t，则 x??时 t?0，代入后得到 lim?1 ? t ?t ? e ． t ?0 x 如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果 1?，因此通常称之为 1?不 定型． 2 例6 求 lim (1 ? ) x ． x ?? x变形 令解令－2 2 =t，则 x=－ ． x t14当 x??时 t?0， 于是 例7 解? 2 C2 lim (1 ? ) x = lim(1 ? t ) t ? [lim(1 ? t ) t ] ? 2 =e ． t ?0 t ?0 x ?? x 3?x x 求 lim ( ) ． x ?? 2 ? x 2 13? x 1 =1+u，则 x=2－ ． 2?x u 当 x??时 u?0，令 于是2? ? 3?x x lim ( ) = lim(1 ? u) u ? lim[(1 ? u) u ? (1 ? u) 2 ] u ?0 u ?0 x ?? 2 ? x 1 1 1= [lim(1 ? u) u ] ?1 ? [lim(1 ? u) 2 ] =e -1．u ?0 u ?0例8求 lim(1 ? tan x ) cot x ．x ?0解 设 t=tanx，则 当 x?0 时 t?0，1 ＝cotx． t1于是lim(1 ? tan x ) cot x = lim(1 ? t ) t =e．x ?0t ?015§1--6 函数的连续性一、 函数在一点的连续 所谓“函数连续变化”， 在直观上来看，它的图象是连续不断的，或者说“可以笔尖不离 纸面地一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微小时，函数值的变化也是很微小的．x 2 ?1 ?x ? 1, x ? 1, 例如，函数（１）g(x)=x+1， （２）f1(x)= ? ， （３）f2(x)= ，作 x ?1 ?x ? 1, x ? 1出它们的图像．y y=x+1 3? 2 1 x O 1 2 O ? 2 ? 1 x y y=x+1 3 2 1y y=x 2 ?1 x ?1x O 1 2y=x-1（１）函数 g(x)=x+1 在 x=1 处有定义，图象在对应于自变量 x=1 的点处是不间断的或 者说是连续的．表现在数量上，g(x)在 x=1 处的极限与函数值相等，即成立 lim g(x)=g(1)．x ?1?x ? 1, x ? 1, （２）函数 f1(x)= ? 在 x=1 处有定义，图象在对应于自变量 x=1 的点处 ?x ? 1, x ? 1是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f1(x)在 x=1 处的极限与函数值不等．进一步还 可以看出： lim f1(x), lim f1(x)存在却不相等，因此 lim f1(x)不存在． ? ? x ?1x ?1 x ?1x ?1 在 x=1 处无定义，图象在对应于自变量 x=1 的点处是间断的或 x ?1 者说是不连续的．表现在数量上，f2(x)在 x=1 处的极限与函数值不等．进一步还可以看出：（３）函数 f2(x)=2lim f2(x)=2 虽然存在，但 f2(1)却无意义，所以两者都没有极限与函数值之间的相等关系．x ?1定义 1 如果函数 f(x)在 x0 的某一领域内有定义，且 lim f(x)=f(x0)，就称函数 f(x)在 x0x ?x 0处连续，称 x0 为函数 f(x)的连续点． 例 1 研究函数 f(x)=x2+1 在 x=2 处的连续性． 解 （１）函数 f(x)=x2+1 在 x=2 的某一领域内有定义．f(2)=5， （２） lim f(x)= lim (x2+1)=5，x?2 x?2（３） lim f(x)=f(2)．x?216因此，函数 f(x)=x2+1 在 x=2 处连续． 注意 从定义 1 可以看出，函数 f(x)在 x0 处连续必须同时满足以下三个条件： (1)函数 f(x)在 x0 的某一领域内有定义； (2)极限 lim f(x)存在；x ?x 0(3)极限值等于函数值，即 lim f(x)=f(x0)．x ?x 0如果函数 y=f(x)的自变量 x 由 x0 变到 x，我们称差值 x-x0 为自变量 x 在 x0 处的改变量 或增量，通常用符号?x 表示，即?x=x-x0．此时相应的函数值由 f(x0)变到 f(x)，我们称差值 f(x)-f(x0)为函数 y=f(x)在点 x0 处的改变量或增量，记作?y，即?y = f(x)-f(x0)． 由于?x=x-x0，所以 x=x0+?x，因而?y = f(x)-f(x0)=f(x0+?x )-f(x0)．lim lim 利用增量记号，x?x0 等价于?x=x-x0?0，x ?x f(x)=f(x0)等价于 x ?x [f(x)-f(x0)]=0，上式0 0又等价于 lim ?y =0．?x ?0定义 1?设函数 f(x)在 x0 及其附近有定义， 如果当自变量 x 在 x0 处的增量?x 趋于零时，?x ?0相应的函数增量?y=f(x0+?x )-f(x0)也趋于零，即 lim ?y =0，则称函数 f(x)在 x0 处连续，称 x0 为函数 f(x)的连续点． 连续的直观认识：当自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小． 定义 2 如果函数 y=f(x)在 x0 及其左边附近有定义，且 lim? f(x)=f(x0)，则称函数 y=f(x)x ?x 0在 x0 处左连续． 如果函数 y=f(x)在 x0 及其右边附近有定义， lim? f(x)=f(x0)， 且 则称函数 y=f(x)x ?x 0在 x0 处右连续． y=f(x)在 x0 处连续 ? y=f(x)在 x0 处既左连续又右连续． 例 2 讨论函数 f(x)=1 ? cos x , x ? ? , 2 sin x , x??2在 x=? 处的连续性．2解（１）f(? )=1；2（２）由于 lim f(x)= lim (1+cosx)=1+cos ? ?x? 2?? =1，2x? 2?x? 2lim? f(x)= lim? sinx=sin?? =1，2x? 2?所以x ?? 2lim? f(x)＝ lim? f(x)x ?? 2则lim =1； f(x)? x ? 2（３）且 lim =f( f(x)? x ? 2? )．2因此f(x)在 x=? 处连续．217二、连续函数及其运算１．连续函数 定义 3 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是连续的，则称函数 y=f(x)在开区间 (a,b)内连续，或者说 y=f(x)是(a,b)内的连续函数． 如果函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上定义，在开区间(a,b)内连续， 且在区间的两个端点 x=a 与 x=b 处分别是右连续和左连续， 即 lim? f(x)=f(a)， lim? f(x)=f(b)，x ?a x ?b则称函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，或者说 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数． 函数 f(x)在它定义域内的每一点都连续，则称 f(x)为连续函数． ２．连续函数的运算 f (x ) 定理 1 如果函数 f(x),g(x)在某一点 x=x0 处连续，则 f(x)? g(x), f(x)?g(x), (g(x0)?0) g (x ) 在点 x=x0 处都连续． 证明 因为 f(x),g(x)在点 x0 处连续，所以x ?x 0lim f(x)=f(x0), lim g(x)=g(x0)， x ?x0由极限的运算法则，得到x ?x 0lim [f(x)? g(x)]= lim f(x)? lim g(x)=f(x0) ?g(x0)． x ?x x ?x0 0因此，函数 f(x)? g(x)在点 x0 处连续． 同样可证明后两个结论． 注意 和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形． 定理 2(复合函数的连续性) 设函数 u=?(x)在点 x0 处连续， y=f(u)在 u0 处连续， 0=?(x0)， u 则复合函数 y=f[?(x)]在点 x0 处连续，即 xlim f[?(x)]=f[ xlim ?(x)]=f[?(x0)]． ?x ?x0 0推论 设 lim ?(x)存在为 u0，函数 y=f(u)在 u0 处连续，则 lim f[?(x)]=f[ lim ?(x)]．x ?a x ?a x ?a即极限符号“ lim ”与连续的函数符号“f”可交换次序，即可以在函数内求极限．x ?a３．初等函数的连续性 基本初等函数以及常数函数在其定义区间内是连续的． 初等函数在其定义区间内是连续的． 例 3 求 lim sin(?x ?x ?1?2)．解lim sin(?x ?x ?1?2) =sin(??1-? )=sin ? =1．2 2例 4 求 lim 1 ? arctan2x ?ax ． a解lim 1 ? arctan2x ?aa ? 1 x = 1 ? arctan2 ? 1 ? arctan2 1 ? 1 ? ( ) 2 ? 16 ? ? 2 ． a 4 4 a18例 5 证明 lim 证明ln ?1 ? x ? =1． x ?0 x1 1 ln ?1 ? x ? = lim ln?1 ? x ?x ? ln[lim?1 ? x ? x ] =1． x ?0 x ?0 x ?0 x x e ?1 例 6 证明 lim =1． x ?0 x 证明 令 ex-1=t，则 x=ln(1+t)，且 x?0 时 t?0，于是由例 5 即可得limlimex ?1 t ? lim ? x ?0 t ?0 ln ? ? t ? x 11 1 lim ln?1 ? t ? t ?0 t? 1．三、 函数的间断点 １．间断点的概念 如果函数 y=f(x)在点 x0 处不连续，则称 f(x)在 x0 处间断，并称 x0 为 f(x)的间断点． f(x)在 x0 处间断有以下三种可能： (1)函数 f(x)在 x0 处没有定义； (2)f(x)在 x0 处有定义，但极限 xlim f(x)不存在； ?x0(3) f(x)在 x0 处有定义，极限 xlim f(x)存在，但 xlim f(x)?f(x0)． ?x ?x0 0例如， （１）函数 f(x)=1 在 x=0 处无定义，所以 x=0 是其的间断点； x? 2 （２） 函数 f(x)= ?x , x ? 0, 在 x=0 处有定义 f(0)=0， m ? f(x)=0, lim? f(x)=1， m f(x) 但 il 故il x ?0 x ?0 x ?0 ?x ? 1, x ? 0不存在，所以 x=0 是 f(x)的间断点；?x 2 ?1 （３）函数 f(x)= ? x ? 1 , x ? 1, 在 x=1 处有定义 f(1)=1， lim f(x)=2 极限存在但不等于 ? x ?1 ?1, x ?1 ?f(1)，所以 x=1 是 f(x)的间断点． ２．间断点的分类 设 x0 是 f(x)的间断点，若 f(x)在 x0 点的左、右极限都存在，则称 x0 为 f(x)的第一类间断 点；凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点． 在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如 果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定 义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点． 1 1 1 1 函数 y= 在 x=0 处间断．因为 lim? =+?, lim? =-?，所以 x=0 是 y= 的第二类间 x ?0 x x ?0 x x x 断点．?x ? 4, ? 2 ? x ? 0, 例 7 讨论函数 f(x)= ? 在 x=1 与 x=0 处的连续性． ?? x ? 1, 0 ? x ? 2解 （１）因为 lim f(x)= lim (-x+1)，而 f(1)=0，故 lim f(x)=f(1)，因此 x=1 是 f(x)的连续x ?1 x ?1 x ?119点． （２）因为 lim? f(x)= lim? (-x+1)=1， lim? f(x)= lim? (x-4)=-4，则x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 ?lim f(x)≠ lim? f(x)，x ?0所以有f(x)不存在， l i mx ?0因此 x=0 是 f(x)的间断点，且是第一类的跳跃型间断点．2 例 8 讨论函数 f(x)= x ? 1 的连续性，若有间断点，指出其类型． x ?x ? 1? 解 在 x=0, x=1 处间断． 2 在 x=0 处，因为 lim f(x)= lim x ? 1 ? ? ，所以 x=0 是 f(x)的第二类间断点； x ?0 x ?0 x? x ? 1?2 在 x=1 处，因为 lim f(x)= lim x ? 1 ? lim x ? 1 =2，所以 x=1 是 f(x)的第一类可去间断 x ?1 x ?1 x ?x ? 1? x ?1 x点． 四、闭区间上连续函数的性质 定理 3(最大值最小值定理) 闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值． y 几何直观上看，因为闭区间上的连续函 P 数的图像，是包括两端点的一条不间断的曲 ? 线，因此它必定有最高点 P 和最低点 Q， Q P 与 Q 的纵坐标正是函数的最大值和最小值． ? x ? ? 注意 如果函数仅在开区间(a,b)或半闭 O a b 半开的区间[a,b]，(a,b)内连续，或函数在闭 区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值． 例如， （１） 函数 y=x 在开区间(a,b)内是连续的， 这函数在开区间(a,b)内就既无最大值， 又无最小值． y y y=x ? x O a b O ? ? 1 ? ? 2 x?? x ? 1, 0 ? x ? 1, （２）函数 f(x)= ?1, x ? 1, 在闭区间[0,2]上有间断点 x=1，它在闭区间[0,2] ? ?? x ? 3, 1 ? x ? 2. ?上也是既无最大值，又无最小值． 定理 4(介值定理) 若 f(x)在闭区间[a,b]上连续，m 与 M 分别是 f(x)在闭区间[a,b]上的 最小值和最大值， 是介于 m 与 M 之间的任一实数： u m?u?M， 则在[a,b]上至少存在一点?， 使得 f(?)=u． 介值定理的几何意义： 介于两条水平直线 y=m 与 y=M 之间的任一条直线 y=u， y=f(x) 与 的图象曲线至少有一个交点．20y M ? m O a ? ? x by f(b) O a??bx?推论(方程实根的存在定理) 若 f(x)在闭区间[a,b]上连续， f(a)与 f(b)异号， 且 则在(a,b) 内至少有一个根，即至少存在一点?，使 f(?)=0． 推论的几何意义： 一条连续曲线， 若其上的点的纵坐标由负值变到正值或由正值变到负 值时，则曲线至少要穿过 x 轴一次． 使 f(x)=0 的点称为函数 y=f(x)的零点．如果 x=?是函数 f(x)的零点，即 f(?)=0，那么 x=? 就是方程 f(x)=0 的一个实根；反之方程 f(x)=0 的一个实根 x=?就是函数 f(x)的一个零点．因 此，求方程 f(x)=0 的实根与求函数 f(x)的零点是一回事．正因为如此，定理 4 的推论通常称 为方程根的存在定理． 例 9 证明方程 x=cosx 在(0, 证明 x-cosx=0． 令 则 f(x)=x-cosx, 0?x? f(x)在[0,?2)内至少有一个实根．?2，?2]上连续，且 f(0)=-1, f(?2)=?2&0．由根的存在定理，在(0, 即方程 x=cosx 在(0,?2)内至少有一点?，使 f(?)=?-cos?=0，?2)内至少有一个实根．(1)若 f(x)在 x0 处连续，则 xlim f(x)存在． ?x0(2)若 xlim f(x)=A，则 f(x)在 x0 处连续． ?x0(3)初等函数在其定义域内连续． (4)设 y=f(x)在[a,b]上连续，则 y=f(x)在[a,b]上可取到最大值和最小值．21§1--7 无穷小的比较自变量同一变化过程的两个无穷小的代数组合及乘积仍然是这个过程的无穷小． 但是两 个无穷小的商却会出现不同的结果．3x 3x x2 =0，lim 2 =?，lim ＝３，产生这种 x ?0 x x ?0 x x ? 0 3x 不同结果的原因，是因为当 x?0 时三个无穷小趋于 0 的速度是有差别的． 具体计算他们的值如下表： 1 0.5 0.1 0.01 0.001 x ?0如 x, 3x, x2 都是当 x?0 时的无穷小，而 lim 3x x23 11.5 0.250.3 0.010.03 0.00010.003 0.000001?0 ?0从表中数值看，当 x?0 时， （１）x2 比 3x 更快地趋向零； （２）3x 比 x2 较慢地趋向零；这种快慢存在档次上的差别． （３）而 3x 与 x 趋向零的快慢虽有差别，但是是相仿的，不存在档次上的差别． 反映在极限上，当 x?0 时， （１）趋向零较快的无穷小与较慢的无穷小之商的极限为 0； （２）趋向零较慢的无穷小与较快的无穷小之商的极限为?； （３）趋向零快慢相仿的无穷小之商的极限为不为零常数． 定义 设?,?是当自变量 x?a(a 可以是有限数 x0，可以是??或?)时的两个无穷小，且 ??0． (1)如果 lim ? =0，则称当 x?a 时 ?是?的高阶无穷小，或称?是?的低阶无穷小，记作x ?a??=o(?), (x?a)； (2)如果 lim ? =A,(A?0)，则称当 x?a 时?与?是同阶无穷小；特别地，当 A=1 时，称当 x ?a ?x?a 时?与?是等价无穷小，记作???,(x?a)． 注意 记号“?=o(?), (x?a)”并不意味着?, ?的数量之间有什么相等关系，它仅表示?, ? 是 x?a 时的无穷小，且?是?的高阶无穷小． 例如， （１）当 x?0 时，x2 是比 x 高阶的无穷小，所以 x2=o(x), (x?0)； sin x （２）因为 lim =1， sinx 与 x 是 x?0 时的等价无穷小，所以 sinx?x, (x?0)； x ?0 x （３）因为 limx ?01 ? cos x tan x 1 ? cos x 1 1? x ?1 ， ? 0 ， lim ? 1， lim ? ， lim ?1 1 x ?0 x ?0 x x 2 x ?0 x2 x 2所以1 1 ? x -1? x, (x?0)． 2 2 而 1-cosx 与 x 是 x?0 时的同阶无穷小．1-cosx=o(x), tanx?x, 定理? 设?，?，??, ??是 x?a 时的无穷小，且????, ????，则当极限 lim ? 存在时，极 x ?a ? ?限 limx ?a? 也存在，且 ? ?? lim = lim ． x ?a ? x ?a ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? 证明 lim = lim( ? ? ) ? lim ? lim ? lim = lim ． x ?a ? x ?a ? ? x ?a ? ? ? ? x ?a ? ? x ?a ? ? x ?a ? ?22常用等价无穷小： sinx?x, tanx? x, arcsinx? x, arctanx? x, 1-cosx? ln(1+x) ?x, ex-1?x, 例 1 求 limx ?01 2 x, 2n1 ? x -1?1 x, (x?0)． nsin 2x ． tan 5x解 所以因为 x ? 0 时，sin2x?2x, tan5x?5x， sin 2x 2x 2 = lim lim ? ． x ? 0 tan 5x x ? 0 5x 5例 2 求 limln(1 ? x 2 )(e x ? 1) ． x ?0 (1 ? cos x ) sin 2x1 2 x , (x?0)， 2解 因为 ex-1?x, ln(1+x2) ?x2, sin2x?2x, 1-cosx?2 ln(1 ? x 2 )(e x ? 1) = lim x ? x =1． x ?0 (1 ? cos x ) sin 2x x ?0 1 x 2 ? 2 x 2所以 例3lim求下列极限： sin( x ? ?x ) ? sin x (1) lim ,x?(-?,+?)； ?x ?0 ?xln( x ? ?x ) ? ln x , x&0． ?x ?0 ?x 解 (1)sin(x+?x)-sinx=(sinx?cos?x+sin?x?cosx)-sinx=sin?x?cosx-sinx(1-cos?x)，(2) lim 因为 所以 sin?x??x, 1-cos?x~1 2 (?x) , (?x?0)，而|sinx|?1, x?(-?,+?)， 2 s i nx ? ?x ) ? s i n ( x sin ?x 1 ? cos ?x = lim [cos x lim ? sin x ] =cosx, x?(-?,+?)． ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x?x ?x )? , (?x?0, x&0)， x x(2)ln(x+?x)-lnx=ln(1+?x ln( x ? ?x ) ? ln x 1 = lim x ? ? , x&0． lim ?x ?0 ?x ?x x例 4 用等价无穷小的代换，求 limx ?0tan x ? sin x ． x31 2 x , (x?0)，所以 2解 因为 tanx-sinx=tanx(1-cosx)，而 tanx? x, 1-cosx?limx ? 1 x2 1 tan x ? sin x = lim 23 ? x ?0 x ?0 x3 2 x23总结?拓展 一、知识小结掌握基本初等函数的图象和性质的基础上， 理解复合函数和初等函数的概念， 会把一个 初等函数作分解． 极限是描述数列和函数的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、 从量变认识质变的一种数学方法． 连续概念是函数的一种特性． 函数在点 x0 存在极限与在 x0 连续是有区别的， 前者是描述函数在点 x0 邻近的变化趋势， 不考虑在 x0 处有无定义或取值；而后者则不仅要求函数在 x0 点有极限，而且极限存在且等 于函数值． 一切初等函数在其定义域内都是连续的． 1. 几个重要概念 (1) lim f ( x ) =A ? lim f (x ) = lim f (x ) =A；x ?? x ? ?? x ? ??(2) lim f (x ) =A ? lim f (x ) = lim f (x ) =A． ? ?x ?x 0x ?x 0x ?x 0? x??的含义为 x? ? ? ? ；x?x0 的含义为 x? ?x 0 ． ?? ? ?x ? ? ? 02. 无穷大和无穷小 无穷大和无穷小(除常数 0 外)都不是一个数，而是两类具有特定变化趋势的函数，因此 不指出自变量的变化过程，笼统地说某个函数是无穷大或无穷小是没有意义的． 几个重要结论： １） lim f ( x ) =A(a 可以是有限数 x0 或??,?) ? f(x)=A+?, ??0 (当 x?a)；x ?a２） y 是当 x?a (a 可以是有限数 x0 或??,?)时的无穷大(非零无穷小)， 若 则 时的无穷小(无穷大)； ３）无穷小与有界函数之积仍为无穷小． (3)极限与连续的关系 １）f(x)在 x0 连续 ? lim f (x ) = lim f (x ) =f(x0)； ? ?x ?x 0 x ?x 01 是当 x?a y? ２）f(x)在 x0 连续 ?x ?x 0lim f (x ) 存在．(4)无穷小的比较 设?, ?是 x?a (a 可以是有限数 x0 或??,?)时的无穷小，则 0，?是?的高阶无穷小；lim? = ?，?是?的低阶无穷小； x ?a ? c, (c?0)，?与?是同阶无穷小；若 c=1，?与?是等价无穷小．2. 计算极限的方法 (1)极限的四则运算法则与两个重要极限 利用极限的四则运算法则求极限时，注意需要满足的条件；24两个重要极限给出了两个特殊的“0 ”,“1?”型未定型的极限： 0 sin x sin ? (x ) =1)； =1,(可推广为 lim lim x ?0 ? ( x ) ?0 ? ( x ) x 1 1 1 f ( x ) =e 及 lim (1 ? ) x =e, (可推广为 lim [1 ? lim [1 ? ? (x )]? ( x ) =e)． ] x ?? ? ( x )?0 f ( x ) ?? x f (x )(2)求极限的基本思路 极限分为两大类：确定型和未定型． 确定型极限指可直接利用极限的运算法则或函数的连续性得到极限； 0 ? 未定型包括“ ”，“ ”， “1?”，“?-?”，“0??”， “?0”， “00”等几种．其中后面几种都 0 ? 能改变为前两种， 因此前两种是基本的． 计算未定型极限的基本思想是通过恒等变形化为确 定型的极限，或应用两个重要极限、无穷小的性质及等价无穷小替换等进行计算． 3. 函数的连续性 连续函数是高等数学的主要研究对象． 要在弄清在一点处连续与极限区别的基础上， 了 解初等函数在其定义域内连续的基本结论， 掌握初等函数与简单非初等函数讨论连续性与间 断点的方法；并会用根存在定理讨论某些方程根的存在问题．二、要点解析1. 求极限的方法 求极限是本章重点之一，也是微积分中三大基本运算之一． 主要求极限方法： (1)利用初等函数的连续性求极限 若 f(x)在 x0 连续，则 lim f (x ) =f(x0)；x ?x 0若 f(u)在 u=u0 连续， lim u(x ) =u0，则 lim f [u(x )] ? f [ lim u(x )] =f(u0)．x ?x 0 x ?x 0 x ?x 0(2)利用极限的四则运算法则求极限． (3)若分母极限为 0，分子极限不为 0，则分式的极限是?． (4)若分子、分母的极限都为 0，首先考虑是否可作恒等变化，消去分子分母中公共的零 因子，化为(2)或(3)． (5)对有理函数有如下结论： 0, 当 m&n；x ??lima 0 x n ? a1 x n?1 ? ... ? an b0 x ? b1 xm m?1? ... ? bm=a0 , 当 m=n； b0?, 当 m&n． (6)若分式中含有三角函数与自变量幂的乘积，或是 1?型未定式，考虑用两个主要极限． (7)利用 “无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”、“无穷大的倒数为无穷小”等性质，以 及等价无穷小替换． 注意只能对分子或分母的因式整体作等价无穷小替换， 对分子或分母的 某些项未必能作等价无穷小替换． 例 1 求下列极限： (1) limx 2 ? ln(2 ? x ) ； x ?1 4 arctanx(2) limx ?42x ? 1 ? 3 ； x ?2 ? 225(3) lim3x 2 ? x sin x ； x ?? x 2 ? cos x ? 1(4) lim( 4x 2 ? 3x ? 1 ? 4x 2 ? 3x ? 2 ) ；x ??(5) lim tan x ? sin x ； x ?0 x 2 ln( ? x ) 1 (8) lim[( x ? 1) sinx ??(6) lim(x ?01 1 x ?3 x ? ) ； (7) lim ( ) ； x ?? x ? 2 x sin x x tan x1 ]． x ?1解 (1) limx 2 ? ln(2 ? x ) 1 ? ln 1 1 = ? ； x ?1 4 arctan 1 ? 4 arctanx(2) limx ?42x ? 1 ? 3 = (2x ? 8)( x ? 2 ? 2 ) 2 2 ； lim ? x ?4 3 x ?2 ? 2 (x ? 4)( 2x ? 1 ? 3)(3) limsin x 3x 2 ? x sin x = lim 3 ? x =3； x ?? x 2 ? cos x ? 1 x?? 1 ? cos x ? 1 x2 x2(4) lim( 4x 2 ? 3x ? 1 ? 4x 2 ? 3x ? 2 ) = limx ??3 6? x 3 3 4 ? x ? x12 ? 4 ? x ? x226x ? 3 4x ? 3x ? 1 ? 4x 2 ? 3x ? 22x ??= limx ??=3 ； 2(5) limx? 1 x2 tan x (1 ? cos x ) tan x ? sin x = 1 lim ? lim 2 2 ?? ； 2 x ?0 x 2 ln( ? x ) x ?0 x ?0 x (?x ) 2 1 x ln(1 ? x )1 1 1 1 ? cos x 1 x2 = ； ? ) = lim ? lim ? x ?0 2 x ? x 2 x sin x x tan x x ?0 x sin xx(6) lim(x ?03 3 lim(1 ? x ) 3 x ?3 x (1 ? x ) x 5 e3 x ?? (7) lim ( ) = lim ? ? ? 2 =e ； x x ?? x ? 2 ? 2 ?( ?2 ) x ?? (1 ? 2 ) x 2 e lim(1 ? x ) x x ???3(8) lim[( x ? 1) sinx ??sin x1 1 1 ? =1． ] = lim x ? 1 x ? ? x1 1 ?2. 分段函数的极限与连续性 计算分段函数在段点处的极限，要对分段点两侧的解析式分别求左、右极限；然后依据 相等与否来判定极限存在性， 并求出极限值； 最后与段点处的函数值比较得出连续与否的结 论． x 2-2, x&0； ln(1 ? bx) 例 2 函数 f(x)= , x&0； x a-1, x=0． (1)当 a，b 为何值时，f(x)在 x＝0 处存在极限？ (2)当 a，b 为何值时，f(x)在 x＝0 处连续？ 解 (1)x ?02 lim? f (x ) ? lim? (x －2)＝－2；x ?0x ?0lim? f (x ) ? lim?x ?0ln(1 ? bx ) bx =b． ? lim? x ?0 x xx ?0f(x)在 x=0 处存在极限 ? lim? f (x ) ? lim f (x ) ， ?x ?026即b=－2，(a 任意)． 所以当 b=-2，(a 任意)时，存在 lim f ( x ) =－2．x ?0(2)f(x)在 x=0 处连续 ? lim f ( x ) =f(0)，即－2=a－1，得 a=－1．x ?0所以当 a=－1, b=－2 时，f(x)在 x=0 处连续． 3. 函数连续性讨论及求间断点 sin x , x&0； x 例 3 讨论函数 f(x)= 1, x=0； 的连续性．2( x ? 1 ? 1) , x&0 x 解 在 x?(-?,0)?(0,+?)，f(x)是初等函数，所以函数 f(x) 在 (-?,0)内与(0,+?)内分别连 续．下面讨论在 x=0 处的连续性． （１）f(0) =１． sin x （２）因为 lim? f(x)= lim? =1； x ?0 x ?0 xlim f (x ) = lim?x ?0x ?0 ?2( x ? 1 ? 1) 2x = lim? =1， x ?0 x x ( x ? 1 ? 1)x ?0 ?lim f(x)= lim f (x ) ， ?x ?0所以lim f ( x ) ＝１．x ?0（３）因为 lim f ( x ) =f(0)，x ?0所以在 x=0 处连续． 综上所述，f(x)在(-?,+?)连续． x 例 4 求函数 f(x)= 的间断点，并确定间断点的类型． | sin x | 解 因为当 x=k? (k ? z ) 时，sinx=0．所以 x=k?(k ? z )是 f(x)的间断点．在 x=k? (k?0, k?Z) 处， lim f (x ) ? limx ?k?x ?k?x =?，所以 x=k?(k?0, k?Z)为 f(x)的第二 | sin x |类间断点． 在 x=0 处， lim? f(x)= lim?x ?0 x ?0x x = lim? =－1； x ?0 ? sin x | sin x | x x = lim? =1， lim f (x ) = lim? ? x ?0 x ?0 | sin x | x ?0 sin x因为 lim? f(x) ? lim f (x ) ，所以 x=0 是 f(x)的间断点，且为第一类跳跃间断点． ?x ?0 x ?0例 5 求下列函数的连续区间：cos x , x?0； x?2(1)f(x)=ln(2-x)； (2)g(x)=272 ? 2?x , x&0． x 解 (1)f(x)=ln(2-x)的定义域为(-?,2)，在定义域内 f(x) 是初等函数，因此是连续的．所 以 f(x)的连续区间为(-?,2)． cos x (2)当 x&0，g(x)= 为初等函数，且分母 x+2&0，所以 g(x)在(0,+?)连续； x?2当 x&0，g(x)= g(0)=2 ? 2?x 为初等函数，且分母 x&0，所以 g(x)在(-?, 0)连续． x 2 ? 2?x x 1 2 ?g(0)， = lim? ? ? x ?0 x 4 x( 2 ? 2 ? x ) 2 21 ， lim g(x)= lim? x ?0 2 x ?0 ?所以 x=0 为 g(x)的间断点． 综上所述，g(x)的连续区间为(-?,0)?(0,+?)． 4. 利用根存在定理讨论方程根的存在性 方程 f(x)＝０根存在条件：函数 f(x)在闭区间上连续，区间端点函数值异号． 例 6 设 f(x)?[0,1], x?[0,1]，且在[0,1]上连续．证明存在??[0,1]使 f(?)=?． 证明 设 F(x)=f(x)-x，则因 f(x)在[0,1]上连续，F(x)也在[0,1]上连续． 因为 f(x)?[0,1]，即 0?f(x)?1， 所以 F(0)=f(0)-0?0，F(1)=f(1)-1?0． １）若两个不等式中有一个成立等号，则??[0,1]的存在性已经得证； ２）若两个不等式中无一个成立等号，则 F(0)&0, F(1)&0，据根存在定理，必定存在 ??(0,1)，使 F(?)=0．即 f(?)-?=0 综上所述，结论得证．28第2章 导数和微分§2-1 导数的概念一、两个实例 实例 1 瞬时速度 考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻 t=0 到时刻 t 这一时间段内下落的路程 s 由公式 s=1 2 gt 来确定．现在来求 t=1 秒这一时刻质点的速度． 2当?t 很小时，从 1 秒到 1+?t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在 t=1 时速度的近似．?t (s)0.1 0.01 0.001 0.01 上表看出，平均速度 9.8m/s．考察下列各式：?s(m)1.029 0..?s (m/s) ?t10.29 9.849 9.49 9.800049?s ?s 随着?t 变化而变化，当?t 越小时， 越接近于一个定值― ?t ?t?s= 1 g?(1+?t)2－ 1 g?12= 1 g[2??t+(?t)2]，2 2 2? s 1 2?t ? (?t ) 1 = g? = g(2+?t)， ?t 2 2 ?t ?s 当?t 越来越接近于 0 时， 越来越接近于 1 秒时的“速度”．现在取?t?0 的极限，得 ?t ?s 1 lim ? lim g ?2 ? ?t ? ? g=9.8(m/s)． ? ? 0 ?t ? ?0 22为质点在 t =1 秒时速度为瞬时速度． 一般地，设质点的位移规律是 s=f(t)，在时刻 t 时时间有改变量?t，s 相应的改变量为 ?s=f(t+?t)-f(t)，在时间段 t 到 t+?t 内的平均速度为 ?s f ?t ? ?t ? ? f ?t ? v= ， ? ?t ?t 对平均速度取?t?0 的极限，得 ?s f ?t ? ?t ? ? f ?t ? v(t)= lim ， ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t 称 v(t)为时刻 t 的瞬时速度．实例 2 曲线的切线 设方程为 y=f(x)曲线为 L．其上一点 A 的坐标为(x0,f(x0))．在曲线上点 A 附近另取一点 B，它的坐标是(x0+?x, f(x0+?x))．直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作?．由图中的 Rt?ACB，可知割线 AB 的斜率29CB ?y f ?x 0 ? ?x ? ? f ?x 0 ? ． ? ? AC ?x ?x y 在数量上，它表示当自变量从 x 变到 x+?x 时函数 f(x) 关于变量 x 的平均变化率(增长率或减小率)． f(x0+?x) B 现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A，此时?x?0， 过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置―― T ? 直线 AT，我们就称 L 在点 A 处存在切线 AT．记 AT ? f(x0) C A 的倾斜角为?，则?为?的极限，若??90?，得切线 AT x O x0 的斜率为 x0+?x f (x 0 ? ?x ) ? f (x 0 ) ?y tan?= lim tan?= lim ． ? lim ?x ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在数量上，它表示函数 f(x)在 x 处的变化率． 上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y=f(x)和自变量 x 具体内容不同，但本质都是 要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x 处的变化率． ?y 1. 自变量 x 作微小变化?x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 y = ，作为点 ?x x 处变化率的近似； ?y 2. 对 y 求?x?0 的极限 lim ，若它存在，这个极限即为点 x 处变化率的的精确值． ?x ? 0 ? x 二、导数的定义 1. 函数在一点处可导的概念 定义 设函数 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义．对应于自变量 x 在 x0 处有改变量?x， 函数 y=f(x)相应的改变量为?y=f(x0+?x)-f(x0)，若这两个改变量的比 ?y f ?x 0 ? ?x ? ? f ?x 0 ? ? ?x ?x 当?x?0 时存在极限，我们就称函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并把这一极限称为函数 y=f(x) df (x ) dy 在点 x0 处的导数(或变化率)，记作 y? | x ?x0 或 f?(x0)或 或 ．即 x ?x0 x ?x0 dx dxtan?=f (x 0 ? ?x ) ? f (x 0 ) y? | x ?x0 =f?(x0)= lim ?y ? lim?x ?0?x?x ?0?x(2-1)比值?y 表示函数 y=f(x)在 x0 到 x0+?x 之间的平均变化率，导数 y? | x ?x0 则表示了函数 ?x在点 x0 处的变化率，它反映了函数 y=f(x)在点 x0 处的变化的快慢． ?y 如果当?x?0 时 的极限不存在， 我们就称函数 y=f(x)在点 x0 处不可导或导数不存在． ?x 在定义中，若设 x=x0+?x，则(2-1)可写成 f?(x0)= limx ?x 0f ?x ? ? f ?x 0 ? x ? x0(2-2)根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤如下： 第一步 求函数的改变量?y=f(x0+?x)-f(x0)； 第二步 求比值?y f (x 0 ? ?x ) ? f (x 0 ) ； ? ?x ?x30第三步 求极限 f?(x0)= lim?y ． ?x ? 0 ? x例 1 求 y=f(x)=x2 在点 x=2 处的导数． 解 ?y=f(2+?x)-f(2)=(2+?x)2-22=4?x+(?x)2；?y 4?x ? ??x ?2 =4+?x； ? ?x ?x所以 y?|x=2=4． 当 lim??x ?0?y = lim (4+?x)=4． ?x ? 0 ?x ? 0 ?xlimf ?x 0 ? ?x ? ? f ?x 0 ? 存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点 x0 处的左导数，记作 ?x f ?x 0 ? ?x ? ? f ?x 0 ? 存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点 x0 处的右导数， f?? (x 0 ) ；当 lim? ?x ?0 ?x? 记作 f? (x 0 ) ．据极限与左、右极限之间的关系? ? ? ? f?(x0) ? 存在 f? (x 0 ) , f? (x 0 ) ，且 f? (x 0 ) = f? (x 0 ) = f?(x0)．2. 导函数的概念 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数 y=f(x)在开区间(a,b)内可 导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 x0 都有对应着一个确定的导数 f?(x0)，这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x)的导函数，记作等 f?(x) 或 y?等． 根据导数定义，就可得出导函数 ?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? f?(x)=y?= lim (2-3) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 导函数也简称为导数． 注意 （１）f?(x)是 x 的函数，而 f?(x0)是一个数值 （２）f(x)在点处的导数 f?(x0)就是导函数 f?(x)在点 x0 处的函数值． 例 2 求 y=C (C 为常数)的导数． ?y ?y 0 解 因为?y=C-C=0， =0，所以 y?= lim =0． ? ?x ? 0 ? x ?x ?x 即 (C)?=0 常数的导数恒等于零） ． 例 3 求 y=xn(n?N, x?R)的导数．2 解 因为?y=(x+?x)n-xn=nxn-1?x+ Cn xn-2(?x)2+...+(?x)n，?y 2 = nxn-1 + Cn xn-2??x+...+(?x)n-1， ?x ?y 2 从而有 y?= lim = lim [ nxn-1 + Cn xn-2??x+...+(?x)n-1]= nxn-1． ?x ? 0 ? x ?x ? 0(xn)?=nxn-1． 可以证明，一般的幂函数 y=x?, (??R, x&0)的导数为 (x?)?=? x?-1． 1 1 1 1 1 1 例如 ( x )?=( x 2 )?= x ? 2 ? ；( )?=(x-1)?=-x-2=- 2 ． x x 2 2 x 即 例 4 求 y=sinx, (x?R)的导数．31解? y sin( x ? ?x ) ? sin x = ，在§1-7 中已经求得 ?x ?x ?y =cosx， lim ?x ? 0 ? x即(sinx)?=cosx． 用类似的方法可以求得 y=cosx, (x?R)的导数为 (cosx)?=-sinx． 例 5 求 y=logax 的导数(a&0, a?1, x&0)． 解 对 a=e、y=lnx 的情况，在§1-7 中已经求得为 1 (lnx)?= ． x对一般的 a，只要先用换底公式得 y=logax= (logax)?=ln x ，以下与§1-7 完全相同推导，可得 ln a1 ． x ln a三、导数的几何意义 方程为 y=f(x)的曲线，在点 A(x0,f(x0))处存在非垂直切线 AT 的充分必要条件是 f(x)在 x0 存在导数 f?(x0)，且 AT 的斜率 k=f?(x0)． 导数的几何意义――函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f?(x0)， 是函数图象在点(x0,f(x0))处切线的 斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为 y-f(x0)=f?(x0)(x-x0) (2-4) 过切点 A (x0,f(x0))且垂直于切线的直线，称为曲线 y=f(x)在点 A (x0,f(x0))处的法线，则 当切线非水平(即 f?(x0)?0)时的法线方程为 1 (x-x ) y-f(x0)=(2-5) 0 ?(x 0 ) f 例 6 求曲线 y=sinx 在点( 解 （sinx）? =cosx? 1 , )处的切线和法线方程． 6 2=3 ． 2 1 ? 3 所求的切线和法线方程为 y－ = (x－ )， 2 2 6 1 ? 2 3 法线方程 y－ =－ (x－ )． 2 6 3 例 7 求曲线 y=lnx 平行于直线 y=2x 的切线方程． 解 设切点为 A(x0, y0)，则曲线在点 A 处的切线的斜率为 y?(x0)， 1 ， y?(x0)=(lnx)? x ? x 0 = x0 1 =2，即 x = 1 ；又切点位于曲线上，因而 y =ln 1 =-ln2． 因为切线平行于直线 y=2x， ，所以 0 0 2 2 x0x ?? 6 x ?? 6故所求的切线方程为 1 y+ln2=2(x- )，即 y=2x-1-ln2． 2 四、可导和连续的关系32如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导，则存在极限 ?y ?y =f?(x0)，则 =f?(x0)+? ( lim ?=0)，或?y= f?(x0) ?x+???x ( lim ?=0)， lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 所以?x ? 0lim ?y= lim [f?(x0) ?x+???x]=0．?x ? 0这表明函数 y=f(x)在点 x0 处连续． 但 y=f(x)在点 x0 处连续，在 x0 处不一定是可导的． 例如： （１）y=|x|在 x=0 处都连续但却不可导． y y=|x|x O （２）y= 3 x 在 x=0 处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂 直的． y 1 -1 ? O -1 ? 1 y= 3 x x定理如果函数 f(x)在点 x0 处可导，则函数 f(x)在 x0 处连续．?x 2 , x ? 0 例 8 设函数 f(x)= ? ，讨论函数 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性． ? x ? 1, x ? 0解： 因为x ?0 ?lim f(x)= lim (x+1)=1?f(0)， ?x ?0所以 f(x)在 x=0 处不连续．由以上定理，f(x)在 x=0 处不可导．33§2-2基本导数公式和求导四则运算法则一、导数的基本公式 1. (C)?=0； 2. (x?)?=?x?-1； 5. (tanx)?=sec2x； 6. (cotx)?=－csc2； 9. (ax)?=ax?lna； 10. (ex)?=ex；3. (sinx)?=cosx； 7. (secx)?=secxtanx； 1 11. (logax)?= ； x ln a 14. (arccosx)?=－4. (cosx)?=－sinx； 8. (cscx)?=－cscxcotx； 1 12. (lnx)?= ； x ；213. (arcsinx)?=1 1? x2；1 1? x1 1 ； 16. (arccotx)?=－ ． 2 1? x 1? x2 二、导数的四则运算法则 设 u,v 都是 x 的可导函数，则有： 1. 和差法则：(u?v)?= u??v?； 2. 乘法法则：(u?v)?=u??v+u?v?；特别地，(c?u)?=c?u?, (c 是常数） ； ? ? v ? u ? v? u u 3. 除法法则：( )?= ． v v2 注意 法则 1,2 都可以推广到有限多个函数的情形， 即若 u1,u2,...,un 均为可导函数， 则：15. (arctanx)?= (u1?u2?...?un)?= u1 ? u? ? ... ? un ； ? ? 2 (u1?u2?...?un)?= u1 ? u2 ? ...un ? u1 ? u? ? ... ? un ? ... ? u1 ? u2 ? ... ? un ． ? ? 2 证明法则 2 设?u=u(x+?x)-u(x)，?v=v(x+?x)-v(x)，则 u(x+?x)=u(x) +?u，v(x+?x)=v(x)+ ?v， u(x ? ?x ) ? v(x ? ?x ) ? u(x ) ? v(x ) 于是 (u?v)?= lim ?x ?0 ?x = lim 即?x ? 0[u(x ) ? ?u] ? [v(x ) ? ?v] ? u(x ) ? v(x ) ， ?x?u ?v ?u (1) ? v( x ) ? u( x ) ? ? ? ?v] ?x ?0 ?x ?x ?x 由于 v(x)在 x 处可导，因此在 x 处连续，当?x ?0 时有?v ?0．又 ?u ?v ?u lim [ ? v(x )] =u?(x)?v(x)， lim [ ? u(x )] =u(x)?v?(x)， lim [ ? ?v] =0， ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x(u?v)?= lim [ 例 1 设 f(x)=2x2-3x+sin 解 f?(x)=(2x2-3x+sin代入(1)式即得证法则．?7+ln2，求 f?(x),f?(1)．?7+ln2)?=(2x2)?-(3x)?+(sin?7)?+(ln2)?=2(x2)?-3(x)?+0+0=4x-3；f?(1)=4?1-3=1． 例 2 设 y=tanx，求 y? ．34sin x (sin x ) ? cos x ? sin x (cosx ) ? cos2 x ? sin 2 x 1 )?= ? ? 2 2 cos x cos x cos x cos2 x 即 (tanx)?=sec2x． 同理可证 (cotx)?=-csc2x． 例 3 设 y=secx，求 y?． 1 0 ? 1 ? (cosx ) ? sin x 解 y?=(secx)?=( )?= ? cos x cos2 x cos2 x 即 (secx)?=tanx?secx． 同理可证 (cscx)?=-cotx?cscx． 例 4 设 f(x)=x+x2+x3?secx，求 f?(x)． 解 f?(x)=1+2x+(x3)??secx+x3?(secx) ?=1+2x+3x2?secx+x3?tanx?secx． 1 ? tan x 例 5 设 y= -2log2x+x x ，求 y?． tan x解 y?=(tanx)?=( 解 y=1+cotx-2log2x+ x 2 ， y?=-csc2x例 6 设 g(x)= 解 g(x)=1+32 3 ? x． x ln 2 2( x 2 ? 1) 2 ，求 g?(x)． x22 1 ? ， x x22 4 (x -1)． x3g?(x)=2x-2x-3= 例 7 设 f(x)=arctan x ，求 f?(x)． 1 ? sin x (arctanx )? ? (1 ? sin x ) ? arctanx ? (1 ? sin x )? 解 f?(x)= (1 ? sin x ) 21 (1 ? sin x) ? arctanx. cos x 1? x2 = (1 ? sin x) 2=(1 ? sin x ) ? (1 ? x 2 ) ? arctanx ? cos x ． (1 ? x 2 ) ? (1 ? sin x ) 2例 8 求曲线 y=x3-2x 的垂直于直线 x+y=0 的切线方程． 解：设所求切线切曲线于点(x0,y0)，由于 y?=3x2-2，直线 x+y=0 的斜率为-1，因此所求2 2 切线的斜率为 3 x 0 -2，且 3 x 0 -2=1，由此得两解：x0=1, y0=-1；x0=-1, y0=1．所以所求的切线方程有两条：y+1=x-1，y-1=x+1， 即 y=x?2．35§2-3 复合函数的导数例如 已知 y=sin2x，求 y?． 解 y?=(sin2x)?=cos2x． 这个结果对吗？ 换一种方法： y?=(sin2x)?=(2sinx?cosx)?=2(cos2x-sin2x)=2cos2x． 后者有把握是对的，前者肯定错了，那么错在哪儿了？ 设函数 u=?(x)在点 x0 处可导，函数 y=f(u)在对应点 u0=?(x0)处可导，求函数 y=f[?(x)] 在点 x0 处的导数． 设 x 在 x0 处有改变量?x，则对应的 u 有改变量?u，y 也有改变量?y．因为 u=?(x)在点 x0 处可导，所以在 x0 处连续，因此当?x?0 时?u?0．若?u?0，由 ? y ?y ?u ?y ?y =f?(u )， ?u =??(x ) = ? ， lim ? lim lim 0 0 ?x ? 0 ?u ?u ? 0 ?u ?x ? 0 ? x ? x ?u ?x?y = ?y ? ?u =f?(u )???(x )， lim lim 0 0 ?x ? 0 ? u ?x ? 0 ? x ?x dy dy du 即 ? y ? x ? x = y u u ?u ? u ? x ? x 或 x x x ?x ? u ?u ? dx du dx 可以证明当?u=0 时，上述公式仍然成立．得 (f[?(x)])?= lim?x ? 00 0 000x ?x0．复合函数的求导法则 设函数 u=?(x)在 x 处有导数 u? =??(x) ，函数 y=f(u)在点 x 的对 x 应点 u 处也有导数 yu =f?(u)，则复合函数 y=f[?(x)]在点 x 处有导数，且 ?? x y? = yu ? u? 或 xdy dy du ． ? ? dx du dx这个法则可以推广到两个以上的中间变量的情形．如果 y=y(u), u=u(v), v=v(x)， 且在各对应点处的导数存在，则 dy dy du dv ． ? ? x y? = yu ? uv ? v? 或 ? ? ? x dx du dv dx 常称这个公式为复合函数求导的链式法则． 例 1 求 y=sin2x 的导数． 解 令 y=sinu, u=2x， y? = yu ? u? =cosu?2=2cos2x． ? x x 例 2 求 y=(3x+5)2 的导数． 解 令 y=u2, u=3x+5， y? = yu ? u? =2u?3=6(3x+5)． ? x x 例 3 求 y=ln(sinx)2 的导数． 解 令 y=lnu, u=v2, v=sinx， y? = yu ? uv ? v? = ? ? x x 例 4 求 y= a 2 ? x 2 的导数． 解 把(a2-x2)看作中间变量，得1 1 ?2v?cosx= ?2sinx?cosx=2cotx． u sin 2 x36y?=[ (a 2 ? x 2 ) 2 ]?=11 1 ?1 2 2 1 x ?(-2x)=． (a 2 ? x 2 ) 2 ?(a -x )?= 2 2 2 2 2 2 a ?x a ?x例 5 求 y=ln(1+x2)的导数． 2x 1 解 y?=[ln(1+x2)]?= ?(1+x2)?= ． 2 1? x2 1? x 例 6 求 y=sin2(2x+ 解 y?=[ sin2(2x+ =2sin(2x+? )的导数．3? )]?=2sin(2x+ ? )?[sin(2x+ ? )]?=2sin(2x+ ? )?cos(2x+ ? )?[(2x+ ? )]?3 3 3 3 3 3? )?cos(2x+ ? )?2=2sin(4x+ 2? )．3 3 3例 7 求 y=cos x 2 ? 1 的导数． 解 y?=-sin x 2 ? 1 ?( x 2 ? 1 )?=-sin x 2 ? 1 ?2 2 =- sin x ? 1 ?2x=- x ? sin x ? 1 ． 2 x2 ?1 x2 ?11 1 ?1 2 (x 2 ? 1) 2 ?(x +1)? 2例 8 求 y=ln(x+ x 2 ? 1 )的导数 解 y?=12x ? x ?1 x ? x ?1 1 1 1 x 1 = ?[1+ ?(x2+1)?]= ?[1+ ]= ． 2 2 2 2 x2 ?1 x ? x ?1 2 x ?1 x ? x ?1 x ?1 例 9 y=ln|x|,(x?0)，求 y?． 1 解 当 x&0，y=lnx，据基本求导公式，y?= ；当 x&0，y=ln|x|=ln(-x)，所以 x2?(x+ x 2 ? 1 )?=1?[1+( x 2 ? 1 )?]y?=[ln(-x)]?= 合之得 (ln|x|)?=1 1 ?(-x)?= ． ?x x1 ． x例 10 设 f(x)是可导的非零函数，y=ln|f(x)|，求 y?． 解 y?= 1 ?f?(x)． f (x ) 例 11 f(x)=sinnx?cosnx，求 f?(x)． 解 f?(x)=(sinnx)??cosnx+sinnx?(cosnx)?=cosnx?(nx)??cosnx+sinnx?n?cosn-1x?(cosx)? =ncosn-1x?(cosnx?cosx-sinnx?sinx)=ncosn-1x?cos(n+1)x． 例 12 设 f(u),g(v)都是可导函数，y=f(sin2x)+g(cos2x)，求 y?． 解 y?=[f(sin2x)]?+[g(cos2x)]?=f?(sin2x)?(sin2x)?+g?(cos2x)?(cos2x)? =f?(sin2x)?2sinx?(sinx)?+g?(cos2x)?2cosx?(cosx)? =sin2x?f?(sin2x)-sin2x?g?(cos2x)=sin2x?[f(sin2x)-g(cos2x)]． 例 13 设 y=x?,(??R,x&0)，利用公式(ex)?=ex 证明求导基本公式 y?=?x?-1．37解 x?=(elnx)?=e?lnx，(x?)?=(e?lnx)?=e?lnx?(?lnx)?=e?lnx???1 ? 1 =x ??? =?x?-1． x x38§2―4隐函数和参数式函数的导数一、隐函数的导数 如果变量 x，y 之间的对应规律，是把 y 直接表示成 x 的解析式，即熟知的 y=f(x)的形 式的显函数． 如果能从方程 F(x，y)=0 确定 y 为 x 的函数 y=f(x)，则称 y=f(x)为由方程 F(x，y)=0 所确 定的隐函数． 例 1 求由方程 x2+y2=4 所确定的隐函数的导数． 解 在等式的两边同时对 x 求导．注意现在方程中的 y 是 x 的函数，所以 y2 是 x 的复 合函数．于是得 2x+2y?y?=0，解出 y?=－ x ． y 例 2 求 x2－y3－siny=0,(0?y? ? , x?0)所确定的隐函数的导数． 2 解 在方程两边同时对 x 求导，得 2x-3y2?y?-cosy?y?=0， 2x 解得 y?= ． 3 y 2 ? cos y2 2 例 3 求证：过椭圆 x ? y =1 上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x 0 x ? y 0 y =1． 2 2 a2 b2 a b 证明 方程两边对 x 求导数，得 2x 2 y ?y?=0，解出 y?=－ b 2 x ， ? a 2 b2 a2 y2 =－ b x 0 ．即椭圆在点 M(x0,y0)处切线的斜率为 k=y?( x 0 , y0 )a 2 y0应用直线的点斜式，即得椭圆在点 M(x0,y0)处切线方程为2 y-y0=－ b x 0 (x－x0)，即 x 0 x ? y 0 y =1． a2 b2 a 2 y0例 4 设 y=ax, (a&0,a?1)，证明 y?=axlna． 证明 y=ax 的反函数为 x=logay． 1 两边对 x 求导，得 1= ?y?，y?=ylna． y ln a 以 y=ax 回代，即得 (ax)?=axlna． 当 a=e，lne=1，所以(ex)?=ex． 例 5 设 y=arcsinx,(|x|&1)，证明 y?=1 1? x2．证明 y=arcsinx 的反函数为 x=siny, y?(－ 两边对 x 求导，得 1=cosy?y?，y?=? ? , ) ． 2 21 ． cos y39因为 y?(－ y?=? ? , )， cosy&0，所以 2 21=21 1? x2，即(arcsinx)?=1 1? x2．1 ? sin y类似地可证得(arccosx)?=－1 1? x2．例 6 求 y=xx 的导数． 解 两边取对数，得 lny=xlnx； 两边对 x 求导，得 1 ?y?=lnx+1，y?= xx(lnx+1)． y 推广 （１）y=u(x)v(x)的形式，称这类函数为幂指函数． （２）为了求 y=f(x)的导数 y?，两边先取对数，然后用隐函数求导的方法得到 y?．常称 这种求导方法为对数求导法． 根据对数能把积商化为对数之和差、 幂化为指数与底的对数之 积的特点，对幂指函数或多项乘积函数求导时，用对数求导法必定比较简便． 例 7 利用对数求导法求函数 y=(sinx)x 的导数． 解 两边取对数，得 lny=x?lnsinx； 两边对 x 求导，得 1 1 ?y?=lnsinx+x? ?cosx， sin x y 故 即 y?=y?(lnsinx+xcotx)， y?=(sinx)x?(lnsinx+xcotx)． 注意 例 7 也能用下面的方法求导：把 y=(sinx)x 改变为 y=e x?lnsinx，则 y?=(exlnsinx)?=exlnsinx?(x?lnsinx)?=exlnsinx?(lnsinx+xcotx)= (sinx)x?(lnsinx+x?cotx)． 例 8 设 y= (3x ? 1) 35x ?1 ，求 y?． x ?2解 两边取对数，得 5 1 1 lny= ln(3x－1)+ ln(x－1)－ ln(x－2)， 3 2 2 两边对 x 求导，得 1 5 3 1 1 1 1 ?y?= ? + ? － ? ， 3 3x ? 1 2 x ? 1 2 x ? 2 y 所以 y?= (3x ? 1) 351 3 1 1 1 x ?1 5 [ ? + ? － ? ]． x ? 2 3 3x ? 1 2 x ? 1 2 x ? 2二、参数式函数的导数 曲线的参数方程?x ? ? (t ), (t 为参数，a?t?b)． ? y ? ? (t ), ?当??(t),??(t)都存在，且??(t)?0 时，可以证明由参数方程所确定的函数 y=f(x)的导数为40y?=dy = dxdy dt dx dt?yt? ． x t?例 9 求由方程 ?x ? a cos t , (0&t&?)所确定的函数 y=f(x)的导数 y?． ? y ? a sin t , ? 解 y?=yt? a cost =－cott, (0&t&?)． ? ? ? a sin t xt? 例 10 求摆线 ?x ? a (t ? sin t ), (a 为常数)上对应于 t= 的点 M0 处的切线方程． ? y ? a (1 ? cos t ), ? 2解：摆线上对应于 t=(? ? 2)a ? 的点 M0 的坐标为( ,a) ，又 2 2 dy [a(1 ? cost)]? sin t =cot t ， dy = ? ? =1， dx [a(t ? sin t)]? 1 ? cost 2 dx t ?2即摆线在 M0 处的切线斜率为 1，故所求的切线方程为 (? ? 2)a ? y-a=1?(x)，即 x-y+(2- )a=0． 2 2 例 11 以初速 v0、发射角?发射炮弹，已知炮弹的运动规律是 x=(v0cos?)t， 1 y=(v0sin?)t- gt2,(g 为重力加速度)， 2 y (1)求炮弹在任一时刻 t 的运动方向 (2)求炮弹在任一时刻 t 的速率． 解 (1)y(t)dy [(v0 sin ? )t ? 1 gt 2 )]? v0 sin ? ? gt 2 = ? dx [(v0 cos? )t]? v0 cos?=tan?－v0?O x(t)? vxg t； v 0 cos?? dx dy (2)炮弹的运动速度是一个向量 v (vx,vy)，vx= =v0cos?, vy= =v0sin?－gt．设 t 时的 dt dt速率为 v(t)，则2 2 2 v(t)= v x ? v y ? (v0 cos? ) 2 ? (v0 sin ? ? gt) 2 ? v0 ? 2v0 gt sin ? ? g 2t 2 ．41§2―5高阶导数一、高阶导数的概念 定义 设函数 y=f(x)存在导函数 f?(x)，若导函数 f?(x)的导数[f?(x)]?存在，则称[f?(x)]?为 f(x)的二阶导数，记作 y??或 f??(x)或 y??= (y?)?=d 2 y , d 2 f (x ) ，即 dx 2 dx 2d dy d 2 y ． ( )= dx dx dx 2 若二阶导函数 f??(x)的导数存在，则称 f??(x)的导数[f??(x)]?为 y=f(x)的三阶导数，记作 y??? 或 f???(x)． 一般地，若 y=f(x)的 n-1 阶导函数存在导数，则称 n-1 阶导函数的导数为 y=f(x)的 n 阶导数，记作 y(n)或 f(n)(x)或d n y , d n f (x ) ，即 dx n dx nd n y = d d n ?1 y ． ( ) dx n dx dx n ?1 因此，函数 f(x)的 n 阶导数是由 f(x)连续依次地对 x 求 n 次导数得到的． 函数的二阶和二阶以上的导数称为函数的高阶导数．函数 f(x)的 n 阶导数在 x0 处的导y(n)=[y(n-1)]? 或 f(n)(x)= [f(n-1)(x)]? 或 数值记作记作 y(n)(x0)或 f(n)(x0)或dn y 等． x ?x0 dx n 例 1 求函数 y=3x3+2x2+x+1 的四阶导数 y(4)． 解 y?=(3x3+2x2+x+1)?=9x2+4x+1；y??=(y?)?=(9x2+4x+1)?=18x+4； y???=(y??)?=(18x+4)?=18；y(4)= (y???)?=(18)?=0．例 2 求函数 y=ax 的 n 阶导数． 解 y?=(ax)?=ax?lna；y??=(y?)?=(ax?lna)?=lna?(ax)?=ax?(lna)2； y???=(y??)?=[ax?(lna)2]?=[lna]2?(ax)?=ax?(lna)3； ?? (n) x)(n)=ax?(lna)n． y =(a 例 3 若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数． f ?(ln x ) 解：y?=f?(lnx)?(lnx)?= ； x 1 f ??(ln x ) ? x ? x ? f ?(ln x ) ? 1 f ??(ln x ) ? f ?(ln x ) f ?(ln x ) y??=[ ]?= ． ? x x2 x2 例 4 求函数 y=sinx 的 n 阶导数 y(n)． 解：y?=(sinx)?=cosx，为了得到 n 阶导数的规律，改写 y?=cosx=sin(x+? )． 2? ? ? ? ? )]?= sin[(x+ )+ ]?(x+ )?=sin(x+2? )； 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? y???=[sin(x+2? )]?= sin[(x+2? )+ ]?(x+2 )?=sin(x+3? )． 2 2 2 2 2y??=[sin(x+ ?? y(n)=(sinx)(n)=sin(x+n?? )． 242例 5 设隐函数 y(x)由方程 y=sin(x+y)确定，求 y??． 解 在 y=sin(x+y)两边对 x 求导，得 y?=cos(x+y)?(x+y)?=cos(x+y)?(1+y?)， 解出 y?= cos(x ? y) ， 1 ? cos(x ? y) 再将(1)式两边对 x 求导，并注意现在 y，y?都是 x 的函数，得 y??=－sin(x+y)?(1+y?)2+cos(x+y)?(1+y?)?=－sin(x+y)?(1+y?)2+cos(x+y)? y??， 解出 y??= sin(x ? y) ?(1+y?)2， cos(x ? y) ? 1 将(2)代入(3)，得 sin(x ? y) y??= sin(x ? y) ?[1+ cos(x ? y) ]2= ． cos(x ? y) ? 1 1 ? cos(x ? y) [cos(x ? y) ? 1]3 y??=(1) (2)(3)y [cos(x ? y ) ? 1]3d2y ． 例 6 设函数 y(x)的参数式为 ?x ? a (t ? sin t ) ,(t?2n?,n?Z)，求 y 的二阶导数 ? y ? a (1 ? cos t ) ? dx 2 ? t y? 解 dy ? t ? [a(1 ? cost)] ? sin t =cot ,(t?2n?,n?Z)， 2 dx x t? [a(t ? sin t)]? 1 ? cost因为d 2 y = d dy ， ( ) dx 2 dx dxt (cot 2 )? d 2 y = ( y?)? 1 t ,(t?2n?,n?Z)． ? ?? 2 dx x t? [a(t ? sin t)]? a(1 ? cost) 2所以二、导数的物理含义 1. 速度与加速度 设物体作直线运动，位移函数 s=s(t)，速度函数 v(t)和加速度函数 a(t)分别为 v(t)=ds d 2s ，a(t)= ． dt dt 2 1 2 gt ， (g 为重力加速度，取 g=9.8m/s2)，求 t=2s 时的 2（１）如设位移函数为 s=2t3－速度和加速度．则 ds 1 v(2)= =(2t3－ gt2)?|t=2=(6t2－gt)|t=2=24－19.6=4.4(m/s)； t?2 dt 21 d 2s =(2t3－ gt2)??|t=2=(6t2－gt)?|t=2=(12t－g)|t=2=24－9.8=14.2(m/s2)． 2 t ?2 2 dt （２）又如作微小摆动的单摆，记 s 为偏离平衡位置的位移，则 s(t)=Asin(?t+?)，(其 中 A，?为与重力加速度、物体质量有关的常数，?为以弧度计算的初始偏移角度)，则 v(t)=[Asin(?t+?)]?=A?cos(?t+?)，a(t)=[Asin(?t+?)]??=-A?2sin(?t+?)． 2. 线密度 设非均匀的线材的质量 H 与线材长度 s 有关系 H=H(s)，则在 s=s0 处的线密度(即单位a(2)= 长度的质量)?(s0)=H?(s)s? s0．3如图形状的柱形铁棒，铁的密度为 7.8g/cm ， d=2cm, D=10cm, l=50cm，从小端开始计长，求中点dDsl43处的线密度． 因为长为 s 处柱的截面的直径 d(s)=Ds ? ds ? ld ，所以长为 s 的柱形体体积 lV(s)=1 d d Ds ? ds ? ld Ds ? ds ? ld 2 1 4 3 6 2 ?( ) ]= ? ( s ? s ? 3s ) ?s[ ( ) 2 ? . 3 2 2 2l 2l 3 625 25H(s)=质量函数7 .8 ?s[d2+d? Ds +( Ds )2]=2.3?s[d2+d? Ds +( Ds )2]， l?s l?s l?s l?s 3即H(s)=7.8V(s)=2 .6 ? 4s 3 ? 150s 2 ? 1875 ?, s 625?2.6 ?(s)=H?(s)= 625 ?(12 s 2 ? 300s ? 1875 . )?(s)|s=25=2.6?(12+12+3)=70.2?(g/cm)． 3. 功率 单位时间内作功称为功率．若作功函数为 W=W(t)，则 t=t0 时的功率 N(t0)=W?(t0)． 如设质量为 1100kg 的汽车，能在 2s 时间内把汽车从静止状态加速到 36km/h，若汽车 启动后作匀加速直线运动，求发动机的最大输出功率． 36km/h=36000m/h=10m/s，加速度 a=10?2=5m/s2，汽车位移函数 1 s(t)= at2=2.5t2, (0?t?2)． 2 据第二运动定律 F=ma，汽车受推力为 F=0(N)，所以推力作功函数为 W(t)=F?s(t)=t2(J)， 功率函数 N(t)=W?(t)=5500?5t，当 t=2 时达到最大输出功率为 Nmax==5(马力)． 4. 电流 电流单位时间内通过导体截面的电量，即电量关于时间的变化率．记 q(t)为通过截面的 25 ? 电量，I(t)为截面上的电流，则 I(t)=q?(t)．现设通过截面的电流 q(t)=20sin( t+ )(C)，则 ? 2 通过该截面的电流为 I(t)=[20sin(25?t+25 25 ? 500 25 ? ? )]?=20? cos( t+ )= cos( t+ )． ? ? ? 2 2 ? 244§2-6微分一、微分的概念 １．微分定义 简单的函数 y=xn(n?N)，对应于?x 的改变量 n(n ? 1) n-2 ?y=nxn-1??x+ x ?(?x)2+...+(?x)n； 2(1)比较复杂． 实例 一块正方形金属薄片，由于温度的变化，其边长由 x 变化到 x0+?x，问其面积改 变了多少？2 此薄片边长为 x0 时的面积为 A= x 0 ，当边长由 x0 变化到x0+?x，面积的改变量为2 ?A=(x0+?x)2－ x 0 =2x0??x+(?x)2，第一部分 2x0??x 是?x 的线性函数(即是?x 的一次幂)，在 ?x x0 2 图上表示增大的两块长条矩形部分；第二部分(?x) ，在图上表 示增大在右上角的小正方形块，当?x?0 时，是比?x 更高阶的 无穷小，当|?x|很小时可忽略不计．因此可以只留下?A 的主要 部分，即?x 的线性部分，认为 ?A?2x0??x． 对于(1)表示的函数改变量，当?x?0 时，也可以忽略比?x 更高阶的无穷小，只留下?A 的主要部分，即?x 的线性部分得到?y?nxn-1??x． 定义 如果函数 y=f(x)在点 x0 处的改变量?y 可以表示为?x 的线性函数 A??x (A 是与?x 无关、与 x0 有关的常数)与一个比?x 更高阶的无穷小之和?y= A??x+o(?x)，则称函数 f(x)在 x0 处可微，且称 A??x 为函数 f(x)在点 x0 处的微分，记作 dyx ?x0，即 dyx ?x0=A??x．函数的微分 A??x 是?x 的线性函数，且与函数的改变量?y 相差是一个比?x 更高阶的无 穷小，当?x?0 时，它是?y 的主要部分，所以也称微分 dy 是改变量?y 的线性主部，当|?x| 很小时，就可以用微分 dy 作为改变量?y 的近似值：?y?dy． 如果函数 y=f(x)在点 x0 处可微， 按定义有?y= A??x+o(?x)， 上式两端同除以?x， ?x?0 取 的极限，得 o ( ?x ) ?y ]=A， lim ? lim [A+ ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 这表明若 y=f(x)在点 x0 处可微，则在 x0 处必定可导，且 A=f?(x0)． ?y 反之，如果函数 f(x)在点 x0 处可导，即 lim =f?(x0)存在，根据极限与无穷小的关系， ?x ? 0 ? x?y =f?(x0)+?，其中?为?x?0 时的无穷小，从而 ?x ?y=f?(x0)??x+???x， 这里 f?(x0)是不依赖于?x 的常数，???x 当?x?0 时是比?x 更高阶的无穷小．按微分的定义， 可见 f(x)在点 x0 处是可微的，且微分为 f?(x0)??x．上式可写成 重要结论 函数 y=f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是在点 x0 处可导，且 dy45x ?x0=f?(x0)?x． 由于自变量 x 的微分 dx=(x)???x=?x，所以 y=f(x)在点 x0 处的微分常记作 dyx ?x0=f?(x0)?dx．如果函数 y=f(x)在某区间内每一点处都可微，则称函数在该区间内是可微函数．函数在 区间内任一点 x 处的微分 dy=f?(x)?dx． dy dy 由此还可得 f?(x)= ，这是导数记号 的来历，同时也表明导数是函数的微分 dy 与 dx dx 自变量的微分 dx 的商，故导数也称为微商． 例 1 求函数 y=x2 在 x=1 处，对应于自变量的改变量?x 分别为 0.1 和 0.01 时的改变量 ?y 及微分 dy． 解 ?y=(x+?x)2-x2=2x??x+(?x)2，dy=(x2)???x=2x??x． 在 x=1 处，当?x=0.1， ?y=2?1?0.1+0.12=0.21，dy=2?1?0.1=0.2； 当?x=0.01， ?y=2?1?0.01+0.012=0.0201，dy=2?1?0.01=0.02． 例 2 将单摆的摆长 l 由 100cm 增长 1cm，求周期 T 的增量(精确到小数后 4 位)． 解 摆长 l 的单摆的摆动周期 T=2?l ,(g=980cm/s2 为重力加速度)． 当摆长 l 改变?l=1， g因为 1 相对于原摆长 100 很小．故 T 改变量?T?dT|l=100=(2?l )? |l=100??l= ? ?1?0.0100(s)． g 10 g若直接计算?T 的结果也是 0.0100，但计算 dT 比较简便． 例 3 求函数 y=xlnx 的微分． 解： y?=(xlnx)?=1+lnx，dy=y?dx=(1+lnx)dx． ２．微分的几何意义 设函数 y=f(x)的图像如图所示，点 M(x0,y0),N(x0+?x，y0+?y )在图象上，过 M，N 分别 作 x，y 轴的平行线，相交于点 Q，则有向线段 MQ=?x，QN=?y．过点 M 再作图象曲线的 切线 MT，设其倾斜角为?，交 QN 于点 P，则有向线段 y QP=MQ?tan?=?x?f?(x0)=dy． N(x0+?x,y0+?y) 因此函数 y=f(x)在点 x0 处的微分 dy，在几何上表示函数图 ? T 象在点 M(x0,y0)处切线的纵坐标的相应改变量． ?y ? 由图还可以看出： P dy ? ? (1)线段 PN 的长表示用 dy 来近似代替?y 所产生的误 ? Q M(x0,y0) x 差，当|?x|=|dx|很小时，它比|dy|要小得多； ?x (2)近似式?y?dy 表示当?x?0 时，可以以 PQ 近似代替 NQ，即以图象在 M 处的切线 来近似代替曲线本身，即在一点的附近可以用“直” 代“曲”．这就是以微分近似函数 改变量之所以简便的本质所在，这个重要思想以后还要多次用到． 二、微分的基本公式与运算法则 １．微分的基本公式 (1)d(C)=0；46(2)d(x?)=?x?-1dx； (3)d(sinx)=cosxdx； (4)d(cosx)=-sinxdx； (5)d(tanx)=sec2xdx； (6)d(cotx)=－csc2xdx； (7)d(secx)=secxtanxdx； (8)d(cscx)=－cscxcotxdx ； (9)d(ax)=axlnadx； (10)d(ex)=exdx； 1 (11)d(logax)= dx； x ln a (12)d(lnx)=1 dx； x(13)d(arcsinx)=1 1? x2 1dx；(14)d(arccosx)=－1? x2dx；1 dx； 1? x2 1 (16)d(arccotx)=－ dx． 1? x2 ２．微分的四则运算法则 (1)d(u?v)=du?dv ； (2)d(u?v)= vdu+udv， 特别地 d(Cu)=Cdu, (C 为常数)； u vdu ? udv (3)d ( ) ? ,(v?0)． v v2 ３．复合函数的微分法则 设 y=f(u), u=?(x)，则复合函数 y=f[?(x)]的微分为(15) d(arctanx)= dy= y? dx=f?(u)???(x)dx=f?(u)?du． x 注意最后得到的结果与 u 是自变量的形式相同，这说明对于函数 y=f(u)，不论 u 是自 变量还是中间变量, y 的微分都有 f?(u)?du 的形式．这个性质称为一阶微分形式的不变性． 例 4 求 d[ln(sin2x)]． 1 1 解 d[ln(sin2x)]= d(sin2x)= ?cos2x?d(2x)=2cot2xdx． sin 2 x sin 2 x 例 5 已知函数 f(x)=sin( 解 df(x)=d[sin(1 ? ln x )，求 df(x)． x1 ? ln x 1 ? ln x 1 ? ln x )]=cos( )d( ) x x x 1 ? ln x d(1 ? ln x ) ? x ? (1 ? ln x ) ? dx =cos( ) x x2471 1 ? ln x ? x ? xdx ? (1 ? ln x ) ? dx ln x ? 2 1 ? ln x ) = cos( )dx． 2 x x x2 x 例 6 证明参数式函数的求导公式．=cos(证明 设函数 y=y(x)的参数方程形式为 ?x ? ? (t ), ，其中?(t),?(t)可导，则 dx=??(t)dt, ? y ? ? (t ) ? dy=??(t)dt． dy 导数 是 y 和 x 的微分之商，所以当??(t)?0 时， dx dy ? ?(t )dt ? ?(t ) = ． ? dx ? ?(t )dt ? ?(t ) 例 7 用求微分的方法，求由方程 4x2-xy-y2=0 所确定的隐函数 y=y(x)的微分与导数． 解 对方程两端分别求微分，有 8xdx-(ydx+xdy)-2ydy=0， 即 (x+2y)dy=(8x-y)dx， 当 x+2y?0 时，可得 dy= 8x ? y dx， x ? 2y dy 8x ? y 即 y?= = ． dx x ? 2 y48三、微分在数值计算上的应用若对可导函数 y=f(x)需要计算改变量?y=f(x0+?x)-f(x0)或 f(x0+?x)．因为当|?x|很小时有 近似式： ?y?dy，即 f(x0+?x)-f(x0)?f?(x0)?x 或 f(x0+?x)?f(x0)+f?(x0)?x， (1) 若记 x=x0+?x，则?x=x-x0，(1)式变为 f(x)?f(x0)+f?(x0)(x-x0)， (2) 例 8 求 sin31?的近似值(精确到第 4 位小数)． 31? 解 31?＝ ， 180 因为30? ? ? = 是一个特殊角，取 x0= ． 180 6 6 ? ? ? 31? ? = + =x0+ =x0+?x, ?x= ． 180 180 180 6 180sin(31? ? ? ? 3 ? )=sin(x0+?x)?sinx0+cosx0??x=sin +cos ? =0.5+ ? ?0.5151． 180 6 6 180 2 180 若在(2)式中令 x0=0，则(2)式变为 f(x)?f(0)+f?(0)?x, (|x|较小)． (3) 应用(3)式可得到工程上常用的一些近似公式．当|x|较小时 x (1) n 1 ? x ? 1 ? ； (2)sinx?x, (x 以弧度为单位)； (3)ex?1+x； n (4)tanx?x, (x 以弧度为单位)； (5)ln(1+x)?x． 1 1 1 ?1 证明近似公式(1) 记 f(x)= n 1 ? x ，则 f(0)=1；f?(x)= (1 ? x ) n ，则 f?(0)= ． n n 代入(3)式即得公式(1)．由(1)式 例 9 计算 6 65 的近似值． 解6A( x ? 1) ? 6 A ? 6 1 ? x 的形式，其中 6 A 易求且|x|较小．因为 6 64 =2，65 = 6 64(1 ?1 1 1 1 ) ? 6 64 ? 6 1 ? ? 2 ? (1 ? ? ) =2.0052． 64 64 6 64所以6*四、绝对误差与相对误差 由于测量仪器的精度、 测量的条件和测量方法等各种因素的影响， 测量值往往带有误差， 称这种误差为直接测量误差；使用带有误差的数据代入公式计算，所得的结果也会有误差， 称这种误差为间接测量误差． 误差可以从两个方面估计，一种是精确值与近似值差的绝对值，称为绝对误差；另一种 是绝对误差与近似值绝对值之比，称为相对误差．例如某个量的精确值为 A，近似值为 a， | A ?a| 那么绝对误差为|A-a|，相对误差为 ． |a| 在实际工作中，某个量的精确值往往是不知道的，于是绝对误差、相对误差也就无法求 得．但是估计测量仪器的精度等因素，测量误差的范围有时是可以确定的．若某个量的精确 值为 A，测得它的近似值为 a，又知道它的误差不会超过?A，即|A-a|??A，那么?A 称为测量49值 A 的绝对误差限，?A 称为测量值 A 的绝对误差限． |a|例 10 设测得圆钢的直径 D=60.03mm，测量直径的绝对误差限?D=0.05mm．利用公式 A=? 2 D 计算圆钢的截面积，试估计面积的误差． 4解 面积计算公式是函数 A=f(D)．把测量 D 所产生的误差当作 D 的改变量?D，那么 利用公式 A=f(D)计算 A 时所产生的误差就是 A 的对应改变量?A．一般|?D|很小，故可用微 分 dA 来近似代替?A，即 ?A?dA=A?(D)??D=? D??D． 2(1)由于 D 的绝对误差限?D=0.05mm，所以|?D|??D=0.05．由(1) |?A|?|dA|=? ? D?|?D|? D??D． 2 2因此得出 A 的绝对误差限为?A=? ? D??D= ?60.03?0.05?4.715(mm2)； 2 2?2A 的相对误差限为?A| A|?D ?? D?4D2?2?DD? 2?0.05 ?0.17%． 60.03一般地，根据测量值 x 按公式 y=f(x)计算 y 的值时，如果已知测量值 x 的绝对误差限是 ?x，即|?x|??x，那么当 y??0 时，y 的绝对误差 |?y|?|dy|=|y?|?|?x|?|y?|??x， 即 y 的绝对误差限约为?y=|y?|??x； y 的相对误差限约为?y| y|?| y? | ??x ． | y|以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差和相对误差．．50总结与拓展一、知识小结 数学中研究变量时， 既要了解彼此的对应规律――函数关系， 各量的变化趋势――极限， 还要对各量在变化过程某一时刻的相互动态关系――各量变化快慢及一个量相对于另一个 量的变化率等等，作准确的数量分析． 1. 导数的概念和运算 欲动态地考察函数 y=f(x)在某点 x0 附近变量间的关系，由于存在变化“均匀与不均匀” 或图形 “曲与直”等不同变化性态，如果孤立地考察一点 x0，除了能求得函数值 f(x0)外，是 难以反映的，所以要在小范围 [x0, x0+?x]内去研究函数的变化的情况．再结合极限，就得出 点变化率的概念．有了点变化率的概念后，在小范围内就可以以“均匀代不均匀”、以“直代 曲”，使对函数 y=f(x)在某点 x0 附近变量间的关系的对动态研究得到简化． 2. 导数的几何意义与物理含义 (1)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f?(x0)， 在几何上表示函数的图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率． (2)导数的物理含义 在物理领域中， 大量运用导数来表示一个物理量相对于另一个物理量的变化率， 而且这 种变化率本身常常是一个物理概念．由于具体物理量含义不同，导数的含义也不同，所得的 物理概念也就各异． 常见的是速度――位移关于时间的变化率， 加速度――速度关于时间的 变化率；密度――质量关于容量的变化率；功率――功关于时间的变化率；电流――电量关 于时间的变化率． 3. 微分的概念与运算 函数 y=f(x)在 x0 处可微，表示 f(x)在 x0 附近的这样一种变化性态：随着自变量 x 改变 量?x 的变化，始终成立?y=f(x0+?x)-f(x0)=f?(x0)??x+o(?x)．这在数值上表示 f?(x0)??x 是?y 的 线性主部：?y?f?(x0)??x；在几何上表示 x0 附近可以以“直”(图象在点(x0,f(x0))处的切线)代 “曲”(y=f(x)图象本身)，误差是?x 的高阶无穷小．称 dy=f?(x0)??x=f?(x0)?dx 为 f(x)在 x0 处的 微分． 在运算上，求函数 y=f(x)的导数 f?(x)与求函数的微分 f?(x)dx 是互通的，即 dy y?= =f?(x) ? dy=f?(x)dx． dx 因此可以先求导数然后乘以 dx 计算微分，也可以利用微分公式与微分的法则进行计算． 4. 可导、可微与连续的关系 y=f(x)在 x0 处连续 y=f(x)在 x0 处可导 y=f(x)在 x0 处可微 二、要点解析 1. 用定义求导数 导数是一种固定形式的极限：函数改变量与自变量改变量之比，当自变量改变量趋于 0 的极限，即 f (x 0 ? ? (x )) ? f (x 0 ) f?(x0)= lim ,(?(x)表示 x 的某种改变形式)． (1) ? ( x )?0 ? (x ) 例 1 设 f?(x0)=A 试用 A 表示下列各极限： f (x 0 ? 2h) ? f (x 0 ) f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) (1) lim ；(2) lim ． h?0 h?0 h h51f (x 0 ? 2h) ? f (x 0 ) f (x 0 ? 2h) ? f (x 0 ) = lim ?2=2f?(x0)=2A； h?0 h?0 h 2h f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) [ f (x 0 ? h) ? f (x 0 )] ? [ f (x 0 ? h) ? f (x 0 )] (2) lim = lim h?0 h?0 h h f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) = lim － lim h?0 h?0 h h f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) =f?(x0)－ lim ?(－1) h?0 ?h =f?(x0)+f?(x0)=2f?(x0)=2A． 2. 求导数的方法 (1)用导数定义求导数； (2)用导数的基本公式和四则运算法则求导数； (3)用链式法则求复合函数的导数； (4)用对数求导法，对幂指函数及多个“因子”的积、商、乘方或开方运算组成的函数求 导数； (5)对由方程求导的隐函数，用隐函数求导法； (6)对用参数式表示的函数，用参数函数的求导法． 例 2 求下列函数的导数 y?：解 (1) lim2 cos 2x (1)y= 1 ? x ? 1 ? x ； (2)y=ln 1 ? x ? x ； (3)y= ． cos x ? sin x 1? x ? 1? x 1? x2 ? x分析 先化简，后求导． 解[ 1 ? x ? 1 ? x ]2 (1) y= 1 ? x ? 1 ? x = 1? x ? 1? x [ 1? x ? 1? x ]?[ 1? x ? 1? x ]2 ? 2 1? x 2 = 2 ? 2 1? x 2 =1? 1? x 2 ， 2x 2x x 1 ? (1 ? x 2 ) ?x ? 1 ? 1 ? x 2 ) 2 2 2 (1 ? 1 ? x ) ?x ? (1 ? 1 ? x ) ? 1 2 1? x y?= ? 2 x x2=2 =1?