如何求无穷小量的阶阶的比较 高数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-11-04 16:19 标签： 高阶无穷小量
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一关于高阶无穷小的简单高数题3x^3-x^4-x^5的是x趋于0的几阶无穷小?
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3阶,因为在x趋于0时（3x^3-x^4-x^5）/x^3=3即是一个常数.
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高等数学课件：无穷小阶的比较
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高数概念解析在高数里出现了好几处关于“阶”的概念,无穷小量阶的比较,一阶微分方程中的“阶”各是什么意思
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无穷小量阶的比较：两个极限为0的变量,谁趋向于0的速度快,谁的阶数就高.微分方程的阶数即为微分方程中所含有的导数（或微分）的最高阶数.
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扫描下载二维码高数｜无穷小的比较与等价无穷小
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高数｜无穷小的比较与等价无穷小
&&&&皇上，你还记得大明湖畔的无穷小么，它在大明湖里的倒影是无穷大！今天我们要讲一个令皇上无比头疼的问题，那就是无穷小居然不止一种，不知道皇上能不能做到雨露均沾呢？别看人家小，但也分高低，阶级斗争也很严重，后宫众多无穷小也个个都是要脸面的存在。谁说无穷小没地位？呸！那是万恶的旧社会！好，对不起大家，叔这间歇性阶段穿越综合没救神经病又犯了，有很多同学对这个问题会不解，无穷小不是一个很接近零的数么，怎么还有谁更接近0这一说法么？其实不是这样的，无穷小是一个无限趋近于0的过程，而这个过程会有快慢之分，谁趋近于0的速度快，谁就是高阶的，谁就更容易得到皇上恩宠，哪个无穷小变化速度最快，封它为无穷小圣母皇太后太往后还往后一直往后！&&&&“查数姑”的视频和昨天的思考题在文章最后～注意：我们比较的必须都是无穷小量，别看这句话是废话，很多时候大家都会忘记最基本最简单的前提！这里的x不一定是x，也可以是其他函数，可以用三角△来代替。1例一Example One 2例二Example Two 3例三Example Three 4例四Example Four 5例五Example Five 6例六Example Six 7例七Example Seven 8例八Example Eight 无穷小的比较与等价无穷小▼思考题答案希望大家都一起努力，让学习高数变得更有趣！
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【高数章节要点之】1.7 无穷小的比较
絮絮叨叨写这个要点也到第七节了，如果你还在看，那么可以狠狠佩服一下你自己——能坚持学习不容易，继续加油，坚持下去。
我们时不时把『无穷小』拉出来说事，原因在于『无穷小』确实具有代表性：其他极限的问题可以转化到无穷小（ 中定理 1：正常的极限问题可以转化成无穷小问题；第四节定理 2：无穷大也可以转化成无穷小）
根据 所学知识 ，我们知道：两个无穷小的和、差、积都是无穷小。然而，偏偏没有提及两个无穷小做除法。
为什么呢？因为当两个无穷小做除法时，情况要比和、差、积复杂，没有唯一的结论。本节标题中的『比较』二字，说的就是用做除法的方式比较。
提前说明，本节中用来比较的无穷小，均是同一自变量变化趋势下的无穷小，作了除法后所求之极限，也与原本的自变量变化趋势相同。否则，没有任何意义。
另，本节中作比较的无穷小，虽然没有专门说排除掉唯一的『常数无穷小0』，但实际操作中并不考虑它。因为『常数无穷小0』比其他无穷小都高阶，没什么特别的意思。用数学习惯用说就是：0 太平凡（trivial）了。
两个无穷小做除法后再取极限，会出现三种不同的情况。
第一种：极限是零。这说明分子趋于零的速度比分母快得多，分子比分母更小。此时，称分子是分母的高阶无穷小。同时，分母也就是分子的低阶无穷小。即：小的、趋于零快的叫高阶；大的、趋于零慢的叫低阶。从定义可以看出，高、低阶无穷小之间趋于零的速度之差距是非常显著的。
第二种：极限是无穷大。这实际相当于上一种情况倒了过来。不需赘述。
第三种：极限是非零常数。这说明分子分母趋于零的速度没有前述两种情况下那种『阶』层面上的显著区别，而仅仅相差一个常数倍。既然没有『阶』层面的差别，很自然地，叫两个无穷小是『同阶』的。
同阶的无穷小中有一种特殊情况——非零常数 C=1。这时候，两个做除法的无穷小趋于零的速度是（在极限意义下）是完全相同的。我们把满足这样条件的两个无穷小称作等价无穷小。
等价无穷小是好的，好就好在计算极限时，它们之间在某种条件下可以相互替换。这意味着，你可以用两个等价无穷小中那个简单的去替换那个复杂的。何种情况下可以替换，参看教材定理 2.
什么样的无穷小简单？幂函数，简单地说就是：x ，x^2, x^3, ......x^n, ......。很明显，当 x 趋于零时，它们都是无穷小，且次数越高，越高阶。
什么样的无穷小相对复杂？比如：当x 趋于零时，sin x， tan x，1 - cos x, arcsin x, arctan x, (1+x)^{1/n} ......。适当条件下，它们都可以用上一条中某个幂函数替换。
最常用的等价无穷小要记住，这是使用等价无穷小替换的基础。
最后提醒大家，等价无穷小是好东西，但不能乱用。用之前一定要看清题目。比如：
首先，上图是错的。
看出来错在哪儿吗？
为什么就错了呢？
能否写出正确的解答？
上面几个问题，留给大家思考吧。
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