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答案是：你是白痴啊。24集耿耿对照数独和夹数独的那本书，找出来了，就是这五个字
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24集有答案“你是白痴啊&
余淮送给数独和夹数独的那本书，那本书是什么书啊？
我看小说，没看到聿怀送了耿耿数独啊
那是他的最爱
解出来:你是白痴啊耿耿问过余淮是不是喜欢自己余淮让耿耿看那个数独意思就是说耿耿很傻连自己喜欢她都没看出来。
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　　进入21世纪，竞争愈发激烈，尤其是智力的竞争，但是仅仅拥有知识是远远不够的，只拥有智力也不足以成功。我们需要的是学习如何运用知识解决具体的问题，开拓自己的分析能力和创新能力，这样才能成为具有卓越思维能力的人，才能取得成功。一个人的观察能力、分析能力、判断能力、思考能力、创新能力等决定了一个人未来的发展前途。逻辑推理是当下全球流行的思维风潮，其乐趣就在于一步步地接近真相。现在，就跟我们一起踏上探寻真相之旅吧！
1.你是不是个有“逻辑”的人
“逻辑”这个词是个舶来语，最早出现在古希腊语中，译为“逻各斯”。逻各斯，原意为事物的规律、秩序或思想、言辞等。但是逻辑和思维是看不见、摸不到的东西，我们无法直接感知。那么怎么知道自己是不是个有逻辑的人呢？首先要知道逻辑是什么。
大部分人对自身逻辑思维不重视，认为逻辑不存在于平凡的生活中。事实上，逻辑思维一直在借助外在的载体——语言，传递信息。
在日常谈话中，不同的语境中的逻辑代表不同的含义。“事物发展的逻辑”，指的是事物发展的客观规律；“讲一个合乎逻辑的结论”，指的是人类思维的规律、规则；而“现代逻辑”中强调的是研究思维的逻辑形式、逻辑规律及简单的逻辑方法的科学，也就是人们说的逻辑学；而在日常中说一个人有没有逻辑，指的是是否有一定的立场、观点、方法、理论、原则。
事实上，逻辑思维是人类思维的一个共性，逻辑和思维并不是两个独立的概念。思维分为两种类型，即抽象思维和形象思维。人们认识一个事物要了解两个部分，外在和本质。形象思维就是直感思维，是对事物的直观感觉，这种认识就是感性认识；抽象思维就是逻辑思维，是通过对事物外在进行整理分析得到的理性认识。把这两种认识综合起来才能形成对事物的客观认识，偏向于任何一种都不能得到正确的结论。
思维的种类有很多，比如形象思维、直觉思维、创造思维等，还有发散思维、灵感思维、哲学思维等，这些思维都跟人们的大脑活动密切相关，但它们并不属于逻辑思维。只有遵守一定的逻辑规则和规律，借助于概念、判断、推理等思维的逻辑形式，运用简单的逻辑方法，能动地反映客观现实的理性认识过程，才可以称为逻辑思维，或理论思维。简单地说，逻辑只对从思维过程中抽象出的思维形式进行研究，那么思维形式是什么呢？
思维形式包括概念、判断、推理。它们既是理性认识的基本形式，又是思维的基本形式。
概念，是反映事物本质属性或特有属性的思维形式，是组成思维结构的基本要素，它的表现形式相当于语言中的词语。
判断，也就是命题，是对思维对象有所判定(包括肯定或否定)的思维形式，判断主要由概念组成，它的表现形式相当于语言中的句子。
推理，是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式，它是判断和判断直接的联结，相当于语言中“因为”和“所以”之间的语句关系。
综上所述，逻辑其实就是指人的一种抽象思维，是人们通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程。从哲学上定义就是：
（1）逻辑思维在具体的表达形式上，就是将所有对立的东西相消，并将剩下的重新排列。
（2）逻辑等式的建立，确定了公平的相对法则（即相对真理）。
（3）逻辑上能成立的东西，必定是时间所需要经历的东西，必定会成为与时间重叠的产物。
但是，人的大脑的思维活动深藏于脑壳内部，看不见摸不着，它一定要借助外在的载体——语言，逻辑才能表现出来。因此，逻辑思维和语言有着密切的联系。人们在运用概念，进行判断、推理的思维活动时，是不可能把语词、语句等语言形式抛到一边的。如果不能正确认识它们的关系，我们的逻辑思维能力很难提升，那么，怎样才能让自己有正确的逻辑呢？让我们一起来解开逻辑的神秘面纱。
2.逻辑推理是什么
逻辑推理简单来说就是当人们听到别人陈述一件事情时，大脑开始历经复杂的讯号处理及过滤，并将信息元素经过神经元迅速地触发并收集相关信息，这个过程便是超感知能力。之后由经验累积学习到的语言基础进行语言的处理及判断，找出正确的事件逻辑。
推理是从一个或一些已知的命题推断出新的命题的思维过程或者思维形式。其中已知命题是前提，得出的新命题是结论。
推理的种类可以按照不同的标准来划分。按照思维的进程，可把推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理。
演绎推理是从关于对象一般性的认识推出关于个别对象情况的认识，即从一般到个别。
归纳推理是从若干关于个别对象的认识推出关于对象一般情况的结论，即从个别到一般。
类比推理则是从关于对象一般性的认识推出关于另一对象一般性的认识，或从关于个别对象的认识推出关于另一个别对象的认识，即从一般到一般或从个别到个别。
演绎推理的结论具有必然性，即如果推理的前提真实，并且推理的形式也正确，那么推理的结论就必然真实；归纳推理和类比推理的结论则只具有或然性，即前提的真实并不能保证必然地得出真实的结论。现在就让我们通过例子来帮助理解它们的深刻含义。
下面的两段话都是表达推理：
（1）如果所有闪光的都是金子，并且黄铜是闪光的，那么黄铜就是金子，但事实上黄铜虽然是闪光的，但它不是金子，所以并非所有闪光的都是金子。
（2）张三是兰州人，他爱吃兰州牛肉拉面；李四是兰州人，也爱吃兰州牛肉拉面；王武是兰州人，最爱吃兰州牛肉拉面。这几个人都爱吃兰州牛肉拉面，所以所有的兰州人都爱吃兰州牛肉拉面。这样就是以偏赅全了，虽然张三、李四、王武都是兰州人，都爱吃兰州牛肉拉面，但是不能代表所有的兰州人都爱吃兰州牛肉拉面。
一般来说，推理是前提在前，结论在后。但是也有将结论放在前面的情况，我们要根据不同的情况来进行分析。演绎推理是必然性推理，即前提能够确保结论的真实性。归纳推理是或然性推理，前提只对结论提供一定程度的支持关系，前提真实结论不一定真实。第一个例子就是演绎推理，而第二个例子就是归纳推理。以演绎推理为研究对象的逻辑理论就是演绎逻辑，以归纳推理为研究对象的逻辑理论就是归纳逻辑。
通过上面的例子可以看到，推理总是由一些命题构成的。在推理过程中，作为推理依据的命题，就是推理的前提。由前提推出的命题，就是推理的结论。所谓推理，就是由前提推出结论的一种思维形式。一切推理都是由命题组成的。而命题有各种不同的种类，即有各种不同形式的命题，于是由各种不同种类的命题所组成的推理，也就可以区分为各种具有不同形式的推理。
虽然我们每个人的思维都离不开推理，无论是在交际过程中还是在着文论述中，都会不断地运用推理，但在实际运用过程中，特别是用语言来表达推理过程时，并非一定要把前提结论排列得整整齐齐，一丝不差的。否则，人们的语言交流和文字着述就会显得十分呆板而毫无文采了。逻辑分析的任务就在于要透过言语或论述找出其推理结构，对推理是否合乎逻辑予以评定。
3.逻辑推理让你越玩越聪明
众所周知，逻辑推理是一种复杂的思维，那么逻辑推理又有什么作用呢？人们之所以需要推理，在于人们的感***、直接知识，不足以认识和把握众多的客观事物，往往只能把握事物的现象方面，把握事物的片面和外部联系，而难以把握事物的本质，把握事物的全面和内部联系，因而也就难以把握事物规律性的东西。
为此，人们就必须运用自己的各种感***、直接知识，通过推理去获得关于事物的各种间接知识，包括关于事物的各种内部联系、事物的本质和规律性的知识。既然如此，人们就自然要求通过推理获得的各种知识应当是确实可靠的真实的知识。
因此，逻辑学的作用主要表现在：
(1)逻辑能指导人们探求新知，是论证思想的重要工具。人类的认识是以实践为基础的。在已有知识的基础上，人们能不断地通过推理而获得新知。逻辑从已知到未知探求新知的方法在科学发现史上有着不可或缺的作用。正确运用逻辑推理和论证而取得重大科学发现的事例屡见不鲜。
天狼星的发现最开始是贝塞尔先用计算和推理的方法，从理论上证明了这颗星的存在，18年后，才由克拉克用天文望远镜观察到这颗星而得以证实的。海王星的发现也是先由勒维烈根据牛顿万有引力定律，用计算和推理的方法推出海王星存在的位置，然后加勒才在预测的位置上观察到这颗星。
我国着名数学家华罗庚说过，近代科学的突飞猛进有两个基础：一个是从尽可能少的假定出发，凭逻辑推理，解释尽可能多的问题；一个是做系统的科学实验，找出客观的因果联系。前一个基础是演绎推理，后一个基础是归纳推理。逻辑思维作为指导人们探求新知的重要工具，对于建立新的科学体系起着重要的作用。可见，学习逻辑知识，掌握逻辑知识，是指导人们认识发展的重要工具。
(2)逻辑是正确表达思想的工具，是揭露和驳斥诡辩的有力武器。思维的错误，或论辩中的诡辩，不外乎两个方面的原因：一是内容方面的，二是形式方面的。要识别思维错误和驳斥诡辩，除了掌握具体领域的科学知识外，还需要逻辑知识，抓住其要害揭露其荒谬。
如果能够正确地表达思想，那么就得使思想、认识都需要在不断的交流中得到发展。因此，人们首先必须借助恰当的语言来表达思想；在发表或论证某一意见、观点，或说明某一问题时，需要借助一定的推理形式来表达自己的理由和依据。这也就是要求人们表达、论证思想，要做到概念明确、判断恰当、推理合乎逻辑、论证有说服力，而这就需要掌握思维形式的规律、规则。
4.逻辑思维的规律
逻辑思维的规律，是指在人们的一切思维活动和思维过程中普遍起作用的那些规律，大体上就是指传统形式逻辑的四条基本规律：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。遵守这几条规律是思维正确、合乎逻辑的基础和前提，否则，任何思维及其表达都不可能是正确的、合乎逻辑的。
（1）同一律
同一律是传统形式逻辑的基本规律之一。它的基本内容是：任何一个概念或判断都有其确定的内容，因此在思维和论辩过程中，必须保持概念或判断的确定与同一。
在同一思维中必须保持概念自身的同一，否则就会犯“混淆概念”或“偷换概念”的错误。在同一思维过程中必须保持论题自身的同一，否则就会犯“转移论题”或“偷换论题”的错误。混淆或偷换论题是在论证中常见的一种逻辑错误。这种错误是在论证过程中把两个不同的论题(判断或命题)这样或那样地混淆或等同起来，从而用另一个论题去代换原来所论证的论题。
比如，有人在讨论中学生需不需要学习地理时讲过下述这样一段话：“我以为中学生没有必要学习地理。某个国家的地形和位置完全可以和这个国家的历史同时学习。我主张可以把历史课和地理课合并，这样对学生是方便的。因为，这样做所占的时间较少，而获得的效果却很好。否则这个国家的地理归地理，而它的历史归历史，各管各，不能互相联系起来。”
从这段话里不难看出，谈话者最初提出的话题是“中学生没有必要学习地理”，而随后所论述的却是另一个论题：“可以把历史课和地理课合并。”显然，谈话者是把后一个论题与前一个论题混淆了，因此他也就自觉或不自觉地用后一个论题去偷换了前一个论题。这就是一种混淆或偷换论题的逻辑错误。
（2）矛盾律
矛盾律实际上是禁止矛盾律，或不矛盾律。矛盾律的基本内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾或反对的思想不能同时是真的。如果违反矛盾律的逻辑要求，那就会犯自相矛盾或逻辑矛盾的错误。这就是说，对任何思想或言论，不能既肯定它，同时又否定它，说得更简单些，对同一个判断，不能既说它是真的，又说它是假的。
矛盾律的公式是：并非(A而且非A)。公式中的“A”表示任一命题，“非A”表示与A具有矛盾关系或反对关系的命题。因此，“并非(A而且非A)”是说：A和非A这两个命题不能同真，即其中必有一个命题是假的。矛盾律要求对两个互相矛盾或互相反对的判断不能都肯定，必须否定其中的一个。否则，会犯“自相矛盾”的错误。
比如，我国战国时代的思想家韩非子曾经谈到过这样一个故事：有一个卖矛(长矛)和盾(盾牌)的人，先吹嘘他的盾如何的坚固，说：“吾盾之坚，物莫能陷”。过了一会，他又吹嘘他的矛是如何的锐利，说：“吾矛之利，物无不陷”。这时旁人讥讽地问：“以子之矛，陷子之盾，何如？”卖矛与盾的人无言以答了。
从上面的例子可以看出：当他说“我的盾任何东西都不能刺穿”时，实际上是断定了“所有的东西都不能够刺穿我的盾”这个全称否定命题；而当他说“我的矛可以刺穿任何东西”时，实际上又断定了“有的东西是能够刺穿我的盾的”这一特称肯定命题。这样，由于他同时肯定了两个具有矛盾关系的命题，因而也就陷入了“自相矛盾”的境地。
　　（3）排中律
排中律就是两个互相矛盾的判断不能同时都是假的。排中律的基本内容是：在同一思维过程中，两个互相矛盾的思想不能同假，必有一真。排中律的公式是：A或者非A。排中律的主要作用在于保证思想的明确性，而思维的明确性也是正确思维的一个必要条件。
排中律的逻辑要求是：对于两个互相矛盾的判断，必须明确地肯定其中之一是真的，不能对两者同时都加以否定。对于两个互相矛盾的命题，如果有人既不承认前者是真的，又不承认后者是真的，或者说，如果有人既认为前者是假的，又认为后者也是假的，那么此人的思想就陷入了我们习惯所说的“模棱两可”之中(实际上应该叫做“模棱两不可”)。模棱两可是一种常见的违反排中律要求的逻辑错误。所谓模棱两可，就是在两个互相矛盾的命题之间，回避作出明确的选择，不作明确肯定的回答，既不肯定，也不否定。
比如，法官甲和法官乙在议论某一案件：
法官甲：“公诉机关的材料还不够充分、确凿，所以不能证明被告人犯了罪。”
法官乙：“那么说，只能判决被告人无罪了。”
法官甲：“也不能说被告就无罪，他嫌疑还是很大的。”
案例子中的“犯了罪”与“无罪”是相互矛盾的，即没有中间可能，因此不能对二者同时予以否定，必须肯定一个而否定另一个。而法官甲的回答却是对二者同时否定，显然犯了模棱两可的逻辑错误。
排中律作为一条基本的逻辑思维规律，其主要作用在于保证思维过程的明确性，即要求在两个互相矛盾的思想中作出非此即彼的明确选择，不能含糊其词，模棱两可。
（4）充足理由律
充足理由律的基本内容是：在思维过程中，任何一个真实的论断必须有它真实而充分的理由或根据。
充足理由律用公式可表达为：B∧(B→A)→A
“A”表示某种思想或论断，“B”表示得出这个论断的理由或根据。充足理由律表明，某一论断“A”是真的是因为“B”真，并且“B”真能必然推出“A”真。
充足理由律反映了正确的思维必须具有论证性。充足理由律的客观基础是客观事物之间的因果联系。客观世界的任何一个事物或现象的产生、出现，都不会是没有缘由的，它们的出现必然存在着导致它产生、出现的因素，即原因。
违反充足理由律的典型错误就是思维缺乏论证性，它具体表现为下面四种情况：
①“无理由”。它并不是完全不给理由，而是给出理由，但这些“理由”其实并不是理由，因为它们与给出的论断之间不相干，或很少相干。
②“虚假理由”。就是作为某个论断的理由，它所表明的情况与事实不符，或与已被证明为真的科学原理相悖。
③“预期理由”。是指用本身的真实性尚待证明的命题充当论据，和虚假理由一样，是不能起到证明作用的。
④“推不出”。就是一个论断的理由与该论断之间没有必然的逻辑联系，也就是在论证过程中推理不合乎逻辑、违反推理规则而发生的错误。它有很多表现形式，依据错误的逻辑推理是典型的“推不出”错误。例如，循环论证就是一种“推不出”的错误，它是通过论据去证明论题的真实性，然后又通过论题去证明论据的真实性。
5.推理要符合逻辑
要想正确地使用一种推理，以保证从真前提能必然推出真结论，这不仅要求推理的前提是真的，而且要求推理的形式是有效的，即合乎该种推理的规则。只有通过这种推理形式获得有效的推理才称得上是合乎逻辑的推理，而那些违反逻辑规则的、推理形式无效的推理，就只能是不合逻辑的推理了。鉴于推理前提的真实性并不是逻辑学所能保证的，那是需由各门具体学科去解决的，因而它不是逻辑学的研究内容。逻辑学所要研究的是推理形式的有效性。它告诉我们，什么样的推理是有效的，因而是合乎逻辑的；什么样的推理是无效的，因而是不合乎逻辑的。
逻辑学对推理的要求必然是而且也只能是推理要合乎逻辑。在逻辑学上，通常把具有必然性的推理即由真前提能必然推出真结论的推理称为演绎推理，也就是前提能蕴涵结论的推理。对这类推理来说，前提真实而结论虚假是不可能的，即只要其前提是真的，推理形式是有效的，那么结论就必然为真，所以这类推理也可称为必然性推理。
换句话说，在这类推理中，其推理形式能够保证由真前提必然推出真结论。这种运用有效的推理形式而进行的推理，也可称之为有效推理。反之，如果由真前提推出了假结论，就称该推理是一个无效的推理。在这种必然性推理中，如果推理形式是有效的，即前提与结论之间的联系符合该种推理的逻辑规则，即使其前提是不真实的，我们也只能认定它是有效的，合乎逻辑的，因为前提的真假不是逻辑问题，不属逻辑学研究的范畴，也不是逻辑学所能解决的。
在逻辑学中，我们把那种由真前提并不能必然推出真结论的推理称为非必然性推理，即或然性推理。就传统逻辑而言，这类推理主要是归纳推理（广义的归纳推理也可包括类比推理和假设等），其主要特点在于，运用这种推理，前提真而结论假是有可能的。
所谓推理要合乎逻辑，是指推理的前提和结论之间的联系是合乎逻辑的。就作为必然性推理的演绎推理来说，就是指推理的形式是合乎逻辑规则的，即推理形式是有效的，能保证从真前提必然推出真结论。
对于作为或然性推理（非必然性推理）的归纳推理来说，当然也要求推理要合乎逻辑，但这里所说的合乎逻辑就不是像演绎推理那样，要求合乎推理形式的相关规则，因为既然或然性推理并不能保证由真前提必然推出真结论，那就意味着我们难以精确地概括出这种推理的推理规则，因而也就不可能用形式的有效性去要求它们，而只能要求它的推理进程是合理的，是有一定的前提作为根据地随意推论的。因此，对于归纳推理来说，就不能像演绎推理那样来理解和评定其是否合乎逻辑，而只能较宽松地说，只要推理是合理的，也就在一定意义上是合乎逻辑的。
6.演绎思维
演绎思维是从已知的一般性知识出发，推理出适合于某种个别情况的结论的过程。它是一种由一般到个别的推理方法。演绎思维根据所依据的前提判断的不同类型，又可分为性质判断推理和复合判断推理。性质判断推理可以是由一个性质判断直接推出另一性质判断，也可以是两个性质判断间接地推出另一个性质判断，从而可分为直接推理和三段论这两种主要的形式；复合判断推理则因为作为前提的复合判断的类型不同，可分为联言推理、选言推理、假言推理和二难推理。
演绎思维，指以一般性的逻辑假设为基础，得出特定结论的推理过程。如果想成为成功的思考者，熟练掌握演绎思维方法，就要在解决问题时重视下列四个步骤。
(1)提出问题。多问几个“为什么”，这对发现问题的本质特征大有帮助。
(2)分析问题。要尽可能多的寻找线索，不要被已发现的解决办法和答案所诱惑，而忽略了别的办法。
(3)确定方法。除了那些一眼就能看出似乎有道理的解决办法之外，还要探索其他的方法，特别是在采纳现成的方案时要格外留心。假如别人也探讨过同样的问题，而且其解决办法听上去也适合你的情况时，就要仔细判断一下这种情况跟你的情况究竟有什么相同的地方。
(4)检验证明。在找到解决办法之后，还要对其进行检验和证明，看看这些办法是否有效，是否能解决所提出的问题，不少人到了第三步就停止了，这是不完整、不科学的。
下面请看一个演绎推理的实例，结合上面的思维程序进行练习，希望你的结论同样是正确的。
一场大火席卷了大片的森林，一个护林员马上组织了一支由30名志愿消防队员组成的消防队。他将这些人分成若干小组，迅速扑火，并给每个小组发了一个对讲机。
他对大家说：“不久之后，一架直升机会在这个地区上空徘徊，假如你遇到险情，就用对讲机告诉这架飞机的驾驶员，他会把你们救出来。”然后，他对每个小组讲述了对讲机的使用方法。
历时五六个小时，大火终于被扑灭了，但有一个小组(其中有三个人)失踪了。通过一段时间的寻找，大家在一个山谷里发现了他们烧焦的尸体。基于多方面的原因，如法律责任、保险赔偿、总结教训等，必须要找到他们未能获救的真相。设身处地地想一想：如果你就是这个临时消防队的负责人，你将会怎么做？
（1）提出一些具体问题。你可能提出这样两个问题：他们是如何遇难的？为什么这些人没有得救？
（2）分析情况：针对问题，展开分析。
针对第一个问题，负责人至少应提出四个问题来了解具体情况。
①是谁，在什么时间、什么地点最后一次看见这三个人？
②飞机驾驶员有没有收到这三个人的求救信号？
③这个事件是否仅仅是救护计划的失策，或者因为其他方面的原因？有没有一些小的过失？
④这次救护计划的失策和过去的情况是否有类似的地方？
如果他在此时提出下面这些问题，是不妥当的，因为这些提问都是有关事故发生的原因，应该把它们放在后面：
①当时这些人是否过于惊慌，以致忘记了对讲机的使用方法？
②是不是大火把对讲机烧坏了？
(3)找出可行的解决方法。在负责人思考将来如何防止类似的事故之前，他必须首先找到事故发生的原因。经过多方考察，负责人了解到如下情况。
①飞机驾驶员说，他没有收到这三个人的呼救信号。
②人们最后一次看见他们，他们正徒步翻越一座小山头，向后来发现他们尸体的那个山谷走去。
③在这些人尸体的旁边发现了对讲机的残骸。
④另一组消防队员也被周围的火焰大火困在一个小土丘上，他们用对讲机向飞机驾驶员呼救，并且顺利得救了。除此之外，并没有消防队员要求救护。
⑤在前不久的一场火灾中，有一队消防队员被大火烧死，直升机驾驶员报告说没有收到他们的呼救信号，人们在两座山丘之间的一条干涸的小溪中发现了他们的尸体。
在分析之后，负责人总结出这些人没能得救的五种可能原因。
①这些人忘记了如何正确使用对讲机。
②飞机驾驶员的确收到这三个人的呼救信号，但他之所以说没有，是因为他想推脱救护工作失败的责任。
③这台对讲机的信号被山谷隔断了，因而飞机驾驶员无法接收到求救信号。
④这台对讲机由于大火的温度而影响了性能。
⑤这些人当时过于惊慌，没能及时利用对讲机求救。
(4)负责人要思考一下在这些可能的原因中哪个原因最有可能是真实的。
①将每一个答案跟第二个步骤中找出的资料进行核对，分析案情。还要用简短的方式提出一个方法，来对自己认为是正确的答案进行证实，判断其是否正确。
②负责人发现第三个原因的可能性最大，即“对讲机的信号被山谷隔断了，因而飞机驾驶员无法接收到求救信号”。这个答案跟所有的资料相符，没有收到求救信号，对讲机是在这些人的尸体旁发现的，而且之前的另外一起事故，遇难者同样处在类似的地带。
你得出正确的结论了吗？在运用演绎推理解决事件时，它必须要满足一个前提，那就是在相同的背景下进行假设，不同的前提是不能放在一起的。因此，演绎推理一定要弄清楚前提，否则就很难推理出正确的结论，甚至会闹出笑话。
7.归纳思维
归纳推理，是指以个性认识为前提，并由此推出一般性认识为结论的推理。个别就是单个的、特殊的事物，一般则是跟个别相对的、普遍性的事物。根据构成归纳推理的前提是涉及对象的全部个体还是部分个体，归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理；而根据前提是否揭示考察对象与其属性间的因果联系，不完全归纳推理又可进一步分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。
　　个别与一般相互联结，个别存在于一般之中。个别和一般是相互依存、不可分割的。由一般的、特殊的认识推出一般的、普遍的认识，不仅是人认识事物的重要途径，而且还是归纳推理的基础。
简单地说，完全归纳推理指对某类事物的全部对象具有或不具有某种属性做考察的推理。
某单位有5名员工，某天发生了盗窃案，调查人员经过认真排查，一一排除了本单位员工作案的可能性，那么是怎么排除的呢？我们来看一下推理的过程：
员工A没有作案的嫌疑；
员工B没有作案的嫌疑；
员工C没有作案的嫌疑；
员工D没有作案的嫌疑；
员工E没有作案的嫌疑。
该单位只有以上5名员工。所以，该单位的每一个员工都没有作案的嫌疑。
完全归纳推理的特点是，在前提中考察了某类事物所包含的每一个对象，在此基础上概括出关于这类事物的一般结论。
不完全归纳推理指对某类事物的部分对象具有或不具有某种属性做考察的推理。其中，简单枚举归纳推理是指根据某类事物的部分对象具有某种属性，并且在已考察的事例中没有出现反例，从而推出关于该类事物的一般性结论的推理。简单枚举归纳推理的依据是，已经考察了某类事物的一些对象，它们具有的某种属性的情况多次出现，而且没有出现反例。
例如，人们看到触电死亡的人两臂肘部弯曲；被火烧死的人两臂肘部弯曲；雷击死亡的人两臂肘部弯曲。因而得到的结论是：凡是高温致死的人都是两臂肘部弯曲。
科学归纳推理是根据某类事物中部分对象具有某种特性，并分析了这些对象与这一属性间存在的因果联系，从而推断出关于这类事物一般性结论的推理。
例如，人们多次观察到，人在死亡2到4个小时后，在尸体低下部位会出现淤血斑块，也就是尸斑。经过进一步的研究，这一现象是因为：人死后，血液循环停止，体内的血液由于重力的作用，逐渐沉积在尸体的低下部位的毛细血管中，使血管扩张，形成尸斑。得到的结论是：所有死后2到4小时的尸体都会出现尸斑现象。
作为一种重要的思维形式和推理方法，归纳推理在人们认识客观事物的过程中有着非常重要的作用。在数学、物理、化学等学科中，归纳推理都有着杰出的表现，在科学发现上的功劳更是有目共睹。总之，人们通过运用这种从个别到一般、从特殊到普遍的思维方法，概括总结出了一系列重要知识，为科学研究奠定了基础。
其实，归纳推理并不是非常严密的论证方法，因为只要有一个特例就能推翻之前得出的结论。我们可设想一下：主人每天给羊喂食，当羊看到主人来时，意味着食物送来了，然而羊不能必然性地得出：主人来必然给它喂食物。因为，还存在其他的可能，也许某天主人拎着刀来杀羊了。这就是归纳法的局限。
三段论（syllogism），这个词源于希腊文syn（综合）以及logizesthai（推理），因此有“综合推理”的意思。三段论是由三个性质判断组成的演绎推理。它是借助两个性质判断中所包含的一个共同的概念把这两个性质判断的另外两个概念联结起来，从而推出一个新的性质判断的推理。因为它是由三个性质判断构成，并只包含三个概念，所以称之为三段论。
前提中所包含的那个共同的概念被称为中项，用字母M表示；结论判断中的主项被称为小项，用字母S表示；结论中的谓项被称为大项，用字母P表示。包含大项的那个前提判断被称为大前提，包含小项的那个前提判断被称为小前提。三段论推理可以表示为：
所有的M都是P；
所有的S都是M；
所以，所有的S都是P。
①所有哺乳类动物都是温血动物（大前提）。
②鲸是哺乳类动物（小前提）。
③因此，鲸是温血动物（结论）。
大前提、小前提为两个陈述，在其基础上得出结论，这就是三段论。
由于在每个直言三段论都有三个句子，而每个句子又可分成四种句式：全称肯定(A)、全称否定（E）、特称肯定（I）、特称否定（O），所以能产生64言三段论。此外，每个三段论都有四格（也就是大项、小项与中项的排列）之分，因此总共有256种形式的直言三段论。
三段论推理所依据的就是三个不同的概念反映的对象类与类之间的包含与被包含的关系。这种关系是三段论推理能够由前提得出结论的客观依据，即三段论的公理。
三段论公理具体表述为：凡肯定了一类事物，则对该类事物中的每一个对象也有所肯定；凡否定了一类事物，则对该类事物中的每一个对象也有所否定。
再看一下上面的例子，在这个三段论中，结论为真，但该结论根本不能从前提逻辑地演绎出来。
前提(A)并没有说所有温血动物都属于哺乳类动物。假如前提(A)的确如此表示，则它肯定是错误的。事实上，许多证据表明恐龙是温血动物(它们是动物)，而鸟类也是温血动物(它们是动物)。所以，前提(A)与前提(B)并不能逻辑地推导出结论（C)，因为前提(A)虽然为真，但它却不能包含有些温血动物不属于哺乳类动物的事实。
有个特别着名的三段论提供给我们另一种观点：
①人都会死(大前提)。
②苏格拉底是人(小前提)。
③因此，苏格拉底会死(结论)。
这个结论为真，因为苏格拉底在喝下毒药后死亡也证明了这一点，但这个只有在它涵盖迄今为止所有的观察时才为真，它不可能逻辑地适用于未来可能发现不死之谜的那代人身上。只要未来有一个相反的例子，这个三段论就会因反驳而不成立。
9.类比推理
类比推理是常用的科学研究方法，它是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也可能相同的推理。简称类推、类比。它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理。
首先，我们先看一个故事：
吴人张举任句章县令时，有妻子害死丈夫，并放火烧了住房，宣称“丈夫被烧死了”。丈夫的其他亲属怀疑是她害死了自己的丈夫，告到官府，张举受理了此案。那妻子拒不认罪，张举就命令带来两口猪，弄死一口，另一口活着。然后堆积柴禾，把死、活的两猪都放入柴堆内焚烧，结果活着烧死的猪嘴里有烟灰，死猪烧后的嘴里无烟灰。然后，再检验那丈夫的尸体，嘴里也没有烟灰，据此，再审问那妻子，她只得认罪了。
从上述张举烧猪断案的过程来看，张举正是运用了类比推理的形式和方法，从活猪烧死后口腔中有灰，而死猪焚烧后口腔中无灰的事实，类推出如果该妻子的丈夫确系被火烧死，则其口中就应有灰；只有人死后再被焚烧，其口中才会无灰；既然丈夫的尸体口腔中无灰，自然就可类推出他是死后才被火焚烧的。由此也就可进一步审出那位妻子为何要害死她的丈夫了。类比推理是这样一种推理或逻辑方法：根据两个或两类对象在某些性质上的相同，推出它们在另外的性质上（这种性质已为类比的一个或一类对象所具有，而在另一个或另一类对象那里尚未发现）也可能相同。
类比推理过程，可用公式表示如下：
对象A有性质a、b、c、d。
对象B有性质a、b、c、d。
所以，对象B有性质d。
类比推理之所以能从两个或两类对象在某些属性上的相同而推出它们在另外的属性上也可能相同的结论，是有其一定的客观根据的。任何一个或一类客观事物都有着许许多多的属性，而这些属性之间并不是彼此孤立的、毫不相干的，而总是相互制约、相互联系。可见，客观事物的属性之间的这种相互联系和相互制约的关系就成为了类比推理之所以可能的客观根据，这也就是类比推理的合理性之所在。
比如，一个人学习效率的高低总是和一个人的学习态度是否端正、学习方法的好坏以及思维能力的高低有密切关系。既然如此，当我们已知甲、乙两个同学在学习态度、学习方法和思维能力等方面都大致相同或相似时，现又知甲已考上了高一级的一所水平较高的学校，而乙是否也考上了同类的学校暂时还不知道。但我们根据他们二人在学习态度等方面大致相同的情况，就有理由相信（推论）：乙也可能考上了同类水平的学校。
那么，该如何提升类比推理的可靠性呢？
一方面，要尽可能从两个或两类对象较本质的属性去进行类比。因为已知的类比属性较本质，表明两个或两类对象在性质上更加接近，其性质之间的联系更具有必然性，由此推出的结论也就更加可靠。另一方面，要尽可能找到类比对象间更多的共同属性。因为类比对象的共同之处越多，越能表明它们将是同类对象，因而它们也就越有可能在其他属性方面也是相同的或相似的。反之，如果仅凭少数的相同或相似，就推论出它们在另外的属性上也相同，这样的结论大多是不可靠的。
10.假说方法
假说，也叫假设，它是根据已掌握的事实材料和科学原理，对某一事物、现象的是否存在、原因及其发展规律所作出的一种推测性的说明。
人们在生活的实际经验中，会观察到无数的事实。比如，有雨天也有晴天，有月蚀也有日蚀，候鸟春北往秋南归，瀑布溅白雾映彩虹等，人们认识周围的事实，不止是描述它们，还要理解它们，即用科学理论来解释事实。
每当人们发现原有的理论无法给予解释的事实时，特别是发现与原有理论相违的反常事实时，也就是面临了疑难的问题。这时人们必须提出新的理论观点给予回答。但是，人们对于同样的事实可以提出不同的理论观点，而谁是谁非一时还难以判断。因此，任何新理论的最初提出都具有假定性，它们的真理性如何还有待于进一步检验。
人们在实践过程中，对客观事物的认识，总要经历一个由现象到本质的复杂过程，并非一下子就能完全认识某一事物的内在规律及本质。因此，人们为了给自己的进一步研究提供某种线索，就需要根据已掌握的事实材料和科学原理，对所研究的事物或现象是否存在及其原因与规律性作出某种推测性的说明即假说，然后再进一步去验证这一假说。如果验证的结果为假说与事实相符，则假说成立；否则，假说就不能成立。
综上所述，我们可以了解，假说具有这样三个显着的特点：
（1）具有推测的性质。
（2）必须以一定的事实材料和科学知识为根据。
（3）是人们认识接近客观真理的一种形式。
一个假说的构成，通常都要经过如下五个步骤：
第一，观察、收集所研究现象的各种情况，占有各种事实材料。
第二，运用有关科学知识，对已占有的各种事实材料进行科学分析，提出假说，即作出有关某一事实是否存在及其原因、规律性的假定。
第三，从假定作出推断，即形成这样一个充分条件的假言判断：如果假定成立，那么就会存在某些推断。
第四，验证这些推断事实上是否存在。
第五，如果推断事实上存在，则假说成立；如果这些推断事实上不存在，则假说不能成立，就应另作假定，提出新的假说。
上述这五个步骤大体可分为两个阶段。前两个步骤是假说的形成阶段，后三个步骤是假说的验证阶段。在假说的形成阶段里，归纳推理和类比推理起主要作用，即假说的形成和提出大都是运用归纳推理和类比推理的结果；而在假说的验证阶段里，演绎推理，主要是充分条件假言推理起了主要作用。
另外，假说在人们的认识活动中，特别是在科学研究过程中起着非常重要的作用，它是科学家发现规律、创造科学理论不可缺少的重要研究方法。假说在自然科学领域研究中的作用，对社会科学领域中的研究来说也是同样适用的。此外，假说在现代科学决策的过程中，在刑事侦察的过程中，也同样有着重要的作用。因为科学决策离不开科学预测，而科学预测实际上是一个提出假说和验证假说的过程。同样，刑事侦察的过程，特别是犯罪嫌疑人的确定和审定过程，同样是一个提出假说和验证假说的过程。
　　图形逻辑推理是一种非常重要的逻辑推理，是一种抽象的脑力活动，有益于开发孩子的智力潜能。丰富多彩、变化多样的图形，能够为孩子提供思考和想象的空间，扩展孩子思维的宽度和广度，激发和挑战孩子的创造力。
1.图形推理
人类的智能推理分为形式推理和形象推理。现代逻辑主要研究的是形式推理的有效性问题。而与形式推理相比较而言，人类对形象推理的研究却显得非常不足。要充分开发人类所具有的智能推理能力，就必须开展形象推理的研究。其中，图形推理就是一种非常重要的形象推理。
推理是逻辑思维过程，是一种抽象的智力活动。图形推理能力是重要的智力因素，也是学好数学必备的能力。图形推理是先观察几个图形，找到图形的变化规律，然后推导出后面的图形，得出正确的答案。对于孩子来说，掌握规律性的知识越多，就越能促进他们判断和推理能力的发展。各种形式的趣题能够循序渐进地引导孩子发现规律，并按照规律解决问题，这种抽象的脑力活动，有益于开发孩子的智力潜能。同时，变化多样的图形，还为孩子提供了思考和想象的空间，能有效地扩展孩子思维的宽度和广度，激发孩子的创造能力。实践证明，推理能力的开发对于孩子们今后学好数学是非常有益的。
不同形式的数量变化、颜色变化、空间方位变化，让孩子们根据变化规律进行推理。每道题都是一个有趣的智力游戏，有推理、有想象、有创造、有童趣，对孩子也是一个挑战，这样更能激发孩子们的兴趣，提升他们的反应速度，使他们从中收获学习所带来的快乐。
现在，就让我们来做一做下面这些题目吧。
例1：阴影的面积。
请仔细观察下页的图，看看阴影部分与剩下部分的面积是否相等。
解析：图中A不相等。阴影部分面积大。B阴影部分和剩下的部分面积相等。C阴影部分和剩下的部分面积相等。D阴影部分和剩下的部分面积相等。
例2：符号序曲。
哪一个符号可以将这个序列进行下去？
解析：前五个符号是数字1～5颠倒后的映像，符号A是数字6颠倒后的映像。
请完成下面一道题：除了一块图片，将所有其他图片正确地摆放到方格中，可以组成一个正方形。你能找出那块多余的图片吗？
2.图形推理技巧
做图形推理题，观察是解题的基础。首先要仔细观察所给的图形。观察的要点有：图形的大小变化、图形构成要素的增减、图形的笔画多少、图形的旋转方向、图形的组合顺序、图形的叠加，以及是否存在相同的图形等。
找出规律，这是解答图形推理题的关键。找规律首先要立足于剖析图形，有些简单的题可直接看出规律。复杂的题就要突破思维定势对解题的帮助，把图形推理与数字推理有机结合起来。图形排列的规律是千变万化的，只要仔细观察其变化，相信最终肯定能发现其内在规律。
找到规律以后，便可据以选择正确答案。但是，在选择时一定要仔细，不要发生视觉错误。当然，最好是将所选答案去印证一下自己归纳出的规律。如果符合规律，则所选答案八九不离十；如果所选答案不符合自己确定的规律，则需再仔细琢磨琢磨。
下面以几种比较常用的规律为例，具体地讲讲如何做图形推理题。只要我们举一反三，图形推理就不再令人头痛。
若一组图形中每幅图的组成较为凌乱，但局部显示有一定的数量变化。对于有这样特点的图形，通常从数量的角度来进行解题。图形推理考查的角度虽然很多，但重点仍然集中在点、线、角、面。
若一组图形中每幅图的元素个数完全相同，不同的是局部元素位置有变化，这时应从位置的角度出发来解题。位置变化的类型分为平移、旋转、翻转。
样式类图形的特点：图形组成的元素部分相似。在解决样式类图形推理题时，一定要注意解题顺序：先进行样式遍历，再进行加减同异。
看了图形推理技巧，试一试运用一下吧。
解析：从图形观察，给出的几个图形没有规律可寻，但从笔划上寻找，就会发现是3、4、5、6的递增关系，在给出的几个选项中，只有A是7划并使整个递增关系继续保持，所以答案为A。
解析：从图形观察，给出的几个图形都是三条线条（包括曲线）交叉形成的，按照这个规律可以推断出，在这四个选项中只有B是正确的符合要求的。
你能独立完成下面这道题，找出不符合规律的一项吗？
3.挑战瑞文推理测验
瑞文推理测验由英国心理学家瑞文于1938年创制，并沿用至今，主要用以测验一个人的观察力及清晰思维的能力。它是一种纯粹的非文字智力测验，所以广泛应用于无国界的推理能力测试。
整个测验一共有60张图，由5个单元的渐进矩阵构图组成，每个单元在智慧活动的要求上各不相同，总的来说，矩阵的结构越来越复杂，从一个层次到多个层次的演变，要求的思维操作也是从直接观察到间接抽象推理的渐进过程。
瑞文测验共包括标准型、彩色型和高级渐进方阵三套测验。
(1)标准型是瑞文测验的基本型，于1938年问世，适用于6岁到成人的测试，有5个黑白系列，共计60个项目。
(2)彩色型编制于1947年，适用于5.5岁到11.5岁的儿童及智力落后的成人，分为三个系列，共计36个测验项目。
(3)高级型包括渐进矩阵I型（12题）及II型（36题），类似于瑞文标准渐进测验，但难度更大，可对在标准型测验上得分高于55分的被试人进行更精细的区分评价。
彩色推理测验，适用于5～11岁的儿童和智力落后的成人。彩色型，是在标准型的A、B组之间，再加入一个AB组，并全部改为彩色，以突出图形的鲜明性和形象性，并且也有利于在施测中不使用语言指导。
瑞文推理测验按逐步增加难度的顺序分成A、B、C、D、E五组，每组都有一定的主题，题目的类型略有不同。从直观上看，A组主要测知觉辨别力、图形比较、图形想象力等；B组主要测类同比较、图形组合等；C组主要测比较推理和图形组合；D组主要测系列关系、图形套合、比拟等；E组主要测互换、交错等抽象推理能力。
可见，各组要求的思维操作水平也是不同的。测验通过评价被测者这些思维活动来研究他的智力活动能力。每一组中都包含有12道题目，也按逐渐增加难度的方式排列。每个题目由一幅缺少一小部分的大图案和作为选项的6～8张小图片组成。测验中要求被测者根据大图案内图形间的某种关系——这正是需要被测者去思考、去发现的，看小图片中的哪一张填入（在头脑中想象）大图案中缺少的部分最合适，主要用于智力的了解和筛选。
了解了瑞文测试就赶紧来试一下吧。找出哪个是最适合放进大图里的小图案。
4.找出不同的图形
找不同的图形是图形推理中相对简单一点的题型，观察图形不仅能够开发你的大脑思维，还能锻炼你的观察能力。找出本节的不同图形，你的观察能力就会有所提高。
例1：哪一幅图不同于其他四幅图？
解析：在该项中，没有形成一个三角形。
例2：哪个选项的表情与其他四个不同？
解析：图中没有曲线。
例3：你能找出不符合排列规律的图形吗？
解析：只有这一项拥有奇数条水平线。
例4：横木的规律。哪一项不符合排列规律？
解析：只有这一项上下横木的数量都是偶数。
你来试一下自己完成下面的题目。
(1)下面这6幅图中有些是可以一笔画出来的，有些是不能一笔画出来的。你能判断出哪些图能一笔画出来，哪些图不能一笔画出来吗？要求是不能重复已画的路线。
(2)错误的网格图。找一找哪一个网格图形是错误的。
(3)异类图形。
在这些图形中，哪一个和其他的不一样呢？
5.画出缺失的图形
图形推理中，补充缺失的图形部分可以锻炼孩子的图像观察力和想象力，想象力是一种智慧的象征。当然，在展开想象力的同时，还必须具备合理性。
要获得正确而出色的观察力和想象力，锻炼是必不可少的。
例1：寻找标志。
你能推断出缺失部分的标志应当是什么样子吗？
解析：1与1a一组，2与2a一组，依次类推，上面的点绕着圆圈按照垂直左右交替的方式行进。
例2：喂饱三角形。
观察下面的4个三角形，找出规律，指出最后一个三角形中应当放入什么样的几何图形。
解析：一个正方形。如果三角形顶点上的数字和为偶数，图形即为正方形；如果是奇数，图形即为三角形。
例3：用两条直线把下面这个残缺的正方形切成3块，使这3块能重新拼成一个正方形。
解析：如图
例4：缺失的图形。
这一组图是按照一定的逻辑规律排列的，那么缺失的那个图形是什么呢？
解析：在每行中，从左边的圆圈开始，沿着顺时针方向增加1/4，即得到下一个图形。圆圈的颜色为每隔一个圆圈互相颠倒。
你来补充一下下面题目中图形缺失的部分。
(1)修补地板。图中缺少的地板应该是什么样子呢？
(2)拼合圆形。将下面这4块碎片正确拼合，可以形成一个圆形，但是还缺少一块，你能从A、B、C、D中找到缺失的一块吗？
(3)根据规律将空白处补充完整。
6.完成类比和排列
类比和排列类的图形推理题目主要是考察孩子的空间思维能力，以体现思维的想象力。这类图形推理中的图形组成元素主要有两种，一种为图形组成元素混乱，数量上也会有变化，一幅图时多给出性质，多幅图时给出规律；另一种图形组成元素相似，图形部分元素实质性残缺。
做这类题目可以使孩子的思维潜能切实得到开发，拓展思维的宽度和广度，侧重对孩子进行推理能力的系统开发和训练，锻炼他们分析问题和解决问题的能力。
下面一起来看看这类题的解法。
例1：火柴人排队。
根据A～F这几个火柴人的排列规律，接下来的应该是G、H、I中的哪一个呢？
解析：在火柴人上加入2条线，拿走1条；加上3条线，拿走2条；加上4条线，拿走3条。
例2：相对关系。
如果A对应于B，那么C应该对应于D、E、F、G中的哪一个？
解析：内部各图都进行了180°旋转。
例3：下面5种物品中，有哪一种与其他4种物品不一样？锯、牙刷、梳子、钳子、叉子。
答案：钳子。
解析：在图中可以看到，除钳子外，锯、牙刷、梳子和叉子都是锯状物品。
例4：甲、乙、丙、丁、戊和己6个人正在便利店排队交款。己没有排在最后，而且他和最后一个人之间还有两个人；戊不是最后一个人；在甲的前面至少还有四个人，但他没有排在最后；丁没有排在第一位，但他前后至少都有两个人；丙没有排在最前面，也没有排在最后。请问，他们6个人的顺序是怎么排的？
答案：他们的顺序依次是：戊、丙、己、丁、甲、乙。
　　解析：由第一个条件“己没有排在最后而且他和最后一个人之间还有两个人”可以推断出己的位置是在第三个；第二个条件“甲前面至少还有四个人而且甲不是最后”可以推出甲在第五个位置上；第三个条件“丁不是最后而且他的前后至少都有两个人”可以判断丁的位置在己和甲之间即第四个位置；第四个条件“丙没有排在最前面也不是最后”加上前面已经推出的可以确定丙在第二个位置；第五个条件是“戊不是最后一个”，可以确定戊和乙的位置是第一个和最后一个。
看过上面的解法后，你能完成下面这几个图形推理吗？
(1)打造火柴人。你能想象出下一个火柴人是什么样的造型吗？
(2)箱子的重量。每个箱子的重量如图所示。哪一个箱子的重量不符合排列规律呢？
(3)点数队列。你能找出下图中点数的排列规律，并在缺失部分添上适当的点数吗？
7.你大我小数量关系
数字推理与图形推理相结合，把数量关系隐藏在构图元素中，这是图形推理的一个重要特点。
数量关系类图形推理就是分析构成图形的点、线、角、面等元素的变化。一般主要是指图形数量增减、图形笔画增减、元素组合变化等情况。
例1：迷路的数字。
哪一个数字不见了？
解析：这个方框包括
1个11（1×1）
4个22的平方（2×2）
9个33的平方（3×3）
16个44的平方（4×4）
25个55的平方（5×5）
36个66的平方（6×6）
49个77的平方（7×7）
例2：个性图形。
这些图形哪一个与众不同？
解析：它是唯一一个其里面图形的边数比外面图形边数多的图形。
例3：图形队列。
想一想，哪一个图形能够完成这个序列图？
解析：按行计算，如果你把左右两边的图形添加在一起，就得到中间的图形。
例4：正方形追击。
你能从图中找出15个正方形吗？
解析：这15个正方形分别是：
1个4×4的正方形；
2个3×3的正方形；
4个2×2的正方形；
8个1×1的正方形。
下面的数量关系图形推理题目你能解答出来吗？
（1）美国的一位魔术师发现这样一个奇怪的现象：一个正方形被分割成几小块后，重新组合成一个同样大小的正方形时，它的中间却有一个洞！
他把一张方格纸贴在纸板上按图A画上正方形，然后沿图示的直线切成5块。当他按照图B的样子把这些小块拼成正方形的时候，中间却出现了一个洞。
图A的正方形是由49个小正方形组成的，而图B的小正方形却只有48个，那个小正方形到底去哪里了呢？
(2)三角形知多少。在下面的图形中，你能找出多少个三角形呢？
(3)追踪正方形。在图中你能找到多少个正方形呢？别忘了把最外围的边框也算上。
8.图形的拆分和组合
图形的拆分和组合是图形推理题型的重要组成部分，一般的出题方式是在题面左边给出一幅完整的图形，要求在选项中找出由该图形拆分之后形成的新图形。
下面是在解答图形拆分和组合推理题时非常好用的两个技巧，可以帮助孩子们轻松破解图形拆分和组合推理类的题目。
第一招：数量一致轻松选。
图形的拆分推理，不管如何拆分，拆分成多少部分，题目原有的元素数量是不变的。
解析：题面中给出了一幅图形，要求选择由原图拆分而成的新图形。观察题面，原图由直线构成，线条数为7。观察选项，线条数为7的只有A。所以正确答案为A。此题就是对数量一致的考查。
解析：同样的，观察题面，包含了两个白三角形和两个黑三角形(菱形阴影部分)。观察选项，只有A符合。换个角度，题面中，白色部分和黑色部分的面积相等，符合的也只有A。
数量的一致性，是判断拆分推理的常用技巧。但如果题面中数量都符合，则需要去分析元素特征的一致性。
第二招：元素特征细比较。
不管题面各部分如何拆分，每个部分所具有的特征是不会变化的。
解析：题面中给出了一幅图，图中有8个小长方形，其中有4个小三角形，观察可以发现，4个选项都符合。需要比较元素的细节特征。观察可以发现，4个三角形中，有2个以顶点接触长方形的边，有2个以底边接触长方形的边。比较选项，只有B符合。
例4：拼拼变变。
如果将这些碎片拼成一个圆形，那么圆形中的黑色粗线所组成的图形将会是什么样子的呢？
看过上面的例题解析之后，你知道怎样做图形拆分推理题目了吗？马上试一试下面的几道题。
(1)拆开立体。
B、C、D、E四个立方体中哪一个可以由图形A折叠成？
（2）这5块可以组成汉字“上”，你知道应该怎么拼吗？
（3）同一种图案不可能在两个以上的立方体表面上同时出现。看一看，下面哪个图不属于同一个立方体？
9.图形推理中的想象空间
在做图形推理时，观察图像可以开发思维，锻炼观察力和空间想象力，每个图像都是一个平面，通过旋转、切割、组合等方式可能就会有一个新的图像出现。
空间想象能力是指通过想象去思考事物的具体形状、位置。正常条件下眼睛看到的事物是平面图，而事实是立体的，这就需要去思考事物的具体形状、位置。这种想象就是空间想象，而想的与事实是否一致，就是空间想象能力的体现。
做完本节的题目，你的空间想象力就会有很大的提高。
例1：点数知多少。
你能看到3个骰子中每一个的3个面，总共9个面。如果你所看到的各个骰子的点数和都不同，而它们加起来是40点，你知道你看到的每个面上的点数各是多少吗？
解析：在任何一个骰子上你所能见到的面的数字之和最大是15，即4、5、6之和。组成40点的可能组合只有15+14+11或者15+13+12，但13是不可能见到的，你可以从实际的骰子上发现（不相信的话你可以拿一个骰子出来看看）。所以结果只能是15、14和11。
例2：奇妙的莫斯比环。
拿出一张长纸条，将其中一端翻转之后，再把两端连接固定，形成一次的纸环，即莫斯比环（如图A）。莫斯比环最妙的不是如何形成，而是在不断的剪切中，它的无穷变化令无数人倾倒。
先把转折一次的纸环沿着宽度二分之一剪开（如图A中的虚线），这样会形成一个两倍长度、转折2次的纸环（如图B）。接下来把转折1次的纸环从宽度为三分之一处剪开成三等份后，会出现什么样的情况呢？请先仔细思考，然后再自己实践。
解析：一个大环和一个小环套在一起。动手试试吧！
例3：熟悉的侧影。
把这些不规则图形放入黑色方格的背景中，你可以得到一个熟悉的侧影，你知道是什么吗？
现在你能独立完成下面的题目吗？
(1)想象背面。你能把骰子背面的数字之和求出来吗？
(2)拼单词。把这16块拼图放大3倍复制下来，你知道如何把它们拼成单词“THE”吗？
(3)打结的绳子。图中有4根绳子，假如把它们的两端用力拉，你能想象出哪一根能打成结吗？
10.看出来的图形推理
通过视觉，人和动物可感知外界物体的大小、明暗、颜色、动静，获得对机体生存具有重要意义的各种信息，至少有80%以上的外界信息是经视觉获得的，因此视觉是人和动物最重要的感觉。
人的眼睛不仅可以区分物体的形状、明暗及颜色，而且在视觉分析器与运动分析器（眼肌活动等）的协调作用下，能产生更多的视觉功能，同时各功能在时间上与空间上相互影响，互为补充，使视觉更精美、更完善。
在实际生活中，人们经常是在不断地纠正错误中来感知和适应客观世界的。值得注意的是，相关的视觉欺骗试验提示，人们所看到的内容，和其本身想看到的内容有关。
看下面的图片，我们会看到物体的凹凸。
在图片上，由于明暗和阴影的影响，使我们得到凸出或凹入的知觉。同一张图片中的物体明亮部分在上方，阴影部分在下方，看上去这个物体是凸出的。把这张图片上下倒置过来，便会得到凹进去的知觉。这是我们长时间的生活经验造成的。在生活中，光源（阳光）总是位于上方，这就自然形成凸出来的物体的明亮部分位于该物的上方，阴影在下方的知觉。凹下去的东西相反，这已是无例外的现象了。
所以，把同一张图片倒置就会得到相反的图像知觉。在没有更多参照物的条件下，两个物体中的一个在运动时，我们往往会把它们中任何一个看成运动的。例如，“云遮月”的时候，可以把月亮看成在云后移动，也可以把云看成在月亮前移动。
现在，就考考你。
疯狂的螺帽：你知道直钢棒是怎样神奇地穿过这两个看似互成直角的螺帽孔的吗？
11.古典型图形推理
古典型图形推理是图形推理的基本形式，它的基本规律体现在两组图形的相似上，以考察图形中的数量关系和位置关系为主，图形中的数量关系主要包括线条数、封闭区域数、图形种类数等，图形中的位置关系主要有图形中元素的移动或旋转。
每道题中包含两套图形，这两套图形具有某种相似性。也就是说，两套图形具有某种共同特征，也存在某种差异。在每题中，第一套图形包括三个图形，第二套图形包括两个图形和一个问号。在这两套图形之外还有供选择的四个图形，应选出最适合取代问号的一个图形。正确的答案不仅使两套图形表现出一致的规律或最大的相似性，而且应使第二套图形也表现出自己的特征。
做古典型图形推理题的关键就在于找出第一套图形中的规律。找到规律以后就可以很容易地把它运用到第二套图形中去。要找到其规律，观察图形的要点有：图形的大小、笔画曲直多少、方向的旋转、图形的组合顺序、图形的叠加、求同等。要观察的要素也许不是很多，但其运用起来，特别是复合运用的时候，其规律就可以千变万化。我们应当以观察要素为根据寻找其变化，从而发现其规律，再运用到第二套图形当中去，得出正确答案。
请看下面这三个例题：
解析：看每组图形中圆形所在位置的变化，第一个图形中圆形在上部分，第二个图形中圆形在中间，第三个图形中圆形在外部。每组的３个图形构成元素是一样的。所以选Ｃ项。
英文笔画数相同与中文笔画数相同与递增递减：当遇到有文字或者字母的题出现以后，首先要检查它们的笔画数目，一般的凡是文字或者字母，都是以笔画为参照推理对象。不论笔画相同还是递增递减，都能快速地得出其规律。从下面的例题2中可根据笔画的递增来推理第六个图形的选项。
解析：B、Q、P都含直线、曲线。A、V、L都只含直线。
例3：图形数增减：此类型的图形推理，是以每个给出的图形的要素数量为依据，呈现数目上增或减的规律。
解析：典型的图形笔画数相同，每个图形都是由4个图形组成。
12.图形推理习题集锦
(1)请在下图中画一条直线，使得直线所经过的格子和值最大。
(2)黑白配。在下面的图案中，有唯一的一对图案可以拼成这个白色图案的黑色版本，你知道是哪两个吗？
(3)奇趣拼图。选项中哪一个拼图能够和题目中的5个拼图组成一整套？
(4)圆的拼合。这4幅图中只有2幅能够拼成一个完整的圆，你知道是哪2幅吗？
(5)平面变立方。以下哪个立方体不能由本图折成？
(6)组合多边形。B、C、D、E、F中的哪一项能够与A图组成完整的多边形？
(7)货物的升降。如果右侧的长箭头代表的是牵引的方向，那么货物是升起还是降落？
(8)转动的圆。将下图中的4个圆圈转动180°，形成一个常见的几何图形。
(1)知多少。
小明将同样大小的长方体的砖重叠在一起，结果得到下面的三种图形：
图①是砖重叠后的俯瞰图
图②图③是侧面图
你能从这三个图形中推算出砖的数量吗？
(10)平衡滑轮。
多重的物体才能使最右边的滑轮系统保持平衡呢？
(11)图形转转转。
想一想，在A、B、C、D中，哪一个适合放到5中。
　　数独逻辑推理就是将逻辑推理的过程运用到数独游戏当中，提升我们的逻辑思维能力。数独游戏风靡全球，从兴趣入手，在游戏中有效地锻炼思维，在潜移默化中改变我们的思维方式和方法。“数独”，最简单地来讲就是数学思维在游戏中的运用，现在就一起来投入这个游戏中吧！
1.数独——“数字独立”
数独这种游戏形式源自18世纪末的瑞士，后在美国发展，并最终在日本得以被大家所熟知。数独的雏型首先于20世纪70年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为Number Place，但并不流行。到1984年，日本游戏杂志开始刊登数独的名称，数独的游戏也由此得以重生。数独是“独立数字”的省略，意指每个方格都是一个独立的个位数。
数独（Sudoku）来自日语，而概念则源自拉丁方块，是18世纪瑞士数学家欧拉发明的。数独盘面是个九宫格，每一宫又分成9个小格，每一直行与每一横列都填上1至9的数字；9个小宫格中的每个小格内也同样填上1至9的数字，使之整体每行及每个小九宫格内的数字都是由1至9排列，数字不能重复。在这九九八十一格中给出一定的已知数字和条件，依据逻辑推理，推敲出剩下的空格里是什么数字。
数独游戏全面考验解题者的观察能力和推理能力，数独没有复杂的游戏规则，但是数字的排列方式千变万化，解法也各不相同，非常具有挑战性。通过做数独游戏，可以训练出灵活的思考能力，锻炼逻辑思维。数独虽然是一种数字游戏，但本质上它是一种逻辑推理游戏，数独的最大功效就在于它能够训练脑力，只要静下心来走进玄妙的数字排列中，你将收获无限的乐趣。
数独中的九宫格与我国几千年的传统文化有着密切的关系，早在几千年前我国就有关于九宫的记载。我国古人将天宫以井字划分乾宫、坎宫、艮宫、震宫、中宫、巽宫、离宫、坤宫、兑宫九个等份。我国古人将天宫区分为九宫的目的，是以观察到的天上的七曜与星宿的移动来判断方向以及季节等的变化。
在我国的古书上，对九宫与数学的关系就有迹可循。北周甄鸾注曰：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”《易乾凿度》上记载：“易一阴一阳，合而为十五，之谓道。阳变七之九。阴变八之六。亦合于十五。则彖变之数若一，阳动而进，变七之九，象其气之息也；阳动而退，变八之六，象其气之消也。故太一取其数，以行九宫，四正四维，皆合于十五。”我们将这段话翻译后就能够得出一幅横排、竖排、斜对角的三个数之和都是15的九宫算图。如下图所示。
其次，用现代数学的知识来说明，它就是一个简单的数阵，只不过古人赋予了这些格子中每一个数字方位、五行的属性，这样，九宫图就与奇门八卦相配，它对古代的算术和占术、医学、建筑学等领域都产生了非常深远的影响。
一幅九宫图中有9个小格子，因此又叫九宫格。而现代的数独谜盘的格子有4×4，6×6，8×8，9×9…甚至几个谜盘拼起来的形式。这其中的9×9形式的宫格，就是由9个这样的小九宫格构成的。这也是当今数独最常见的形式。
2.数独的游戏规则
要了解数独游戏的规则，首先我们要先知道数独的组成要素，我们以9字的数独为例来认识一下数独的组成要素。如下图所示：
单元格，简称格，就是我们可以看到的可以填写数字的小方格。单元格的位置可以由行与列共同来确定，例如F5格、G8格等。
行，指的是数独中横向9个单元组成的部分。通常用大写英文字母来区分，9字数独有9行。
列，指的是数独中纵向9个单元格组成的部分。通常用数字来区分，9字数独有9列。
宫，指的是数独中被粗线划分而成的由3×3个单元格组成的部分。在9字标准数独中，宫也称作九宫格。宫按照形状分为规则宫和非规则宫。在数独中，规则宫是一个矩形，依照顺序给规则宫编号则是一宫、二宫……九宫。
非规则宫，也称变体宫，是在非规则数独中的宫。非规则宫可以是选定的任意一个形状的区域，然后用每个非规则宫中左上角单元格的名称来定义该非规则宫。
区，是指数独中只能填入一组规定数字的单元格的集合。9字标准数独中包含27个区，具体表现为9个行、9个列、9个宫。
区块，是指在数独中某行与某宫或某列与某宫相交重合的单元格的集合。在9字标准数独中，一个区块包含3个连续的单元格。
知道了数独的组成要素之后，我们就可以解题了。同样，在数独游戏中也有需要遵守的规则。数独游戏的一般规则很简单：9×9个格子里已有若干数字，要求玩家根据已知的数字，按照逻辑推出剩下的空格里的数字，结果使每一行、每一列以及每一小九宫格都是不重复的1～9个数字。
当然，数独游戏也存在着一些特殊规则。在游戏过程中，这些特殊规则会给你意想不到的帮助。针对不同形式的不规则数独，除了包括标准数独的要求外，还有其他的具体要求。
对角线数独的游戏规则：在数独的每行、每列、每宫中均不得出现重复的数字，此外，在数独的两条对角线内也不得出现重复的数字。
奇偶数独的游戏规则：除了满足在每行、每列、每宫中不得出现重复的数字外，还要按照题目中的要求在相应的位置上填入相应的奇数或者偶数。
杀手数独的游戏规则：除了满足在每行、每列、每宫中不得出现重复的数字之外，还要求相应区域的数字之和等于题目中要求的数字。
此外，数独游戏也有“规则”。目前人们接触到的数独题越来越多，其中有些数独题有多种解答方法，所以就有人认为数独的答案不是唯一的。但是大部分人认为，数独的每个格子里的数字都是唯一的，而需要填入的数字都是由与之相关的其他数字来确定的，所以每一道数独题的答案就是独一无二的。其实这些看法都不全面。有些数独确实是有两个乃至多个答案的，在谜题的设计过程中，答案为一个以上的可能性比只有一个的可能性大得多。但是数独的创立者们还是致力于设计出唯一解的数独题，有些玩家以找出同一个数独谜题的不同答案为乐趣，就是为了得到唯一解之外的答案。但是被他们破解的谜题，其实是数独中的失败谜题，真正的有趣的知名数独谜题，都一定是只有唯一的答案，这也渐渐成为数独谜题设计的潜规则。
3.数独的解题秘籍
(1)直观法。
①唯一解法：当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了，成为行唯一解。当某列已填数字的宫格达到8个，那么该列剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了，成为列唯一解。当某九宫格已填数字的宫格达到8个，那么该九宫格剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了，成为九宫格唯一解。
下面是例题。
A行已经添入8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3，这是A行唯一解。
第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，所以E1=5，这是第1列唯一解。
在A8所在九宫格区域已经添入8个数字，只有数字9没有出现过，所以A8=9，这是九宫格唯一解。
②基础摒除法。
题目如下：
A4=9，则Ａ行其他格排除９；G1=9，第1列排除数字９；D3=9，第3列排除数字９。
由基础摒除法，A1所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定B2=9。
A4=9，则4列其他格排除９；G1=9，第G行排除数字９；H9=9，第H行排除数字９。
由基础摒除法，G4所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定I5=9。
A4=9，则4列其他格排除９；D3=9，第D行排除数字９；I5=9，第5列排除数字９。
由基础摒除法，D4所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定F6=9。
A4=9，则A行其他格排除９；B2=9，第B行排除数字９；H9=9，第9列排除数字９。
由基础摒除法，A7所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定C8=9。
C8=9，则8列其他格排除９；D3=9，第D行排除数字９；F6=9，第F行排除数字９；H9=9，第9列排除数字９。
由基础摒除法，D7所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定E7=9。
③区块摒除法。区块摒除法是基础摒除法的提升方法，是直观法中使用频率最高的方法之一。
所谓区块，就是将行分成3块，每块由3个相连的小方块构成，列也是分成3块，每块同样由3个相连的小方块构成。九宫格同样被分成3块，由3个相连的小方块构成，如下面示意图：
区块摒除法的核心思想如下面解释(以行为例)，对于列也是相同的道理。
假如(G1~G3)区域区块其中之一是数字9。
则，(H4~H6)区域可能含有数字9。
否则(I4~I6)区域含有数字9。
假定我们已确定(G1~G3)区域区块其中之一是数字9。
(H4~H6)区域含有数字9。
则：在(I7~I9)区域一定含有数字9。如果再通过其他方法确定(I7~I9)区域中某两个宫格不能为数字9，则就能确定数字9在(I7~I9)区块的具体位置。
④唯余解法。唯余解法就是某宫格可以添入的数已经排除了8个，那么这个宫格的数字就只能添入那个没有出现的数字。
唯余解法道理非常简单，但实际使用起来比较困难，要注意识别A5=9。
其实这就是唯余解法的原理，很简单吧。但是实际使用时就不会容易发现了。
能使用唯余解法确定B7的值吗？等于8。
能确定E9、A9、B9、C9的值吗？由区块摒除法可以得出E9=9。
由唯余解法，C9=2。同样，可得出B9=4，A9=8。
⑤单元摒除法。单元摒除法是比较基本的排除方法，下面举例解释。
能确定A8的值吗？由D5=7，得出D8不等于7；H9=7，得出G8、H8、I8均不等于7；显然A8=7。
⑥余数测试法。所谓余数测试法，就是在某行或列，九宫格所填数字比较多，剩余2个或3个时，在剩余宫格添入值进行测试的解题方法。
我们看B行，B3可能添入的数为5或者6，我们从5开始测试。
我们在B3添入5进行测试，得到下图，没有得出出错的推断，所以B3=5可能是正确的判断，如果能判断出B3小于6，则才能肯定B3=5。
所以下面我们还需要用B3=6进行测试，在B3添入6，推出B8=5。
观察C行，C7，C8，C9必含有数字5。证明B3=6是错误的。从而得出B3=5。(2)候选数法。
①唯一候选数法。候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，当某个宫格的候选数排除到只有一个数的时候，那么这个数就是该宫格中的唯一的一个候选数，这个候选数就是解了。
我们可以排除D3为1、2、3、5、6、7、8、9的可能，经过候选数的安全删除后，D3的候选数变为“4”这个唯一候选数了。
②隐性唯一候选数法。当某个数字在某一列各宫格的候选数中只出现一次时，那么这个数字就是这一列的唯一候选数了。这个宫格的值就可以确定为该数字。
这是因为，按照数独游戏的规则，要求每一列都应该包含数字1～9，而其他宫格的候选数都不含有该数，则该数不可能出现在其他的宫格，那么就只能出现在这个宫格了。对于唯一候选数出现行，九宫格的情况，处理方法完全相同。
这是制作好的一张候选数表，注意观察B5，B9，D1。
可以看出在第1列，数字9只在D1出现。在第5列，数字3只在B2出现。在B9所处的九宫格里，数字9只有在B9出现。所以“9”是第1列的隐形唯一候选数。“3”是第5列的隐形唯一候选数。“9”是A7九宫格的隐形唯一候选数。所以确定D1＝3，B5＝3，B9＝9。
③三链数删减法。找出某一列、某一行或某一个九宫格中的某三个宫格候选数中，相异的数字不超过3个的情形，进而将这3个数字自其他宫格的候选数中删减掉的方法就叫做三链数删减法。
三链数删减法的原理如下面图示：
在H行，H2、H5、H7的候选数（12）、(23)、(13)，构成三链数，那么1、2、3这三个数在H行将只能出现在H2、H5、H7，那么本行其他宫格就可以删除这3个候选数了。这是三链数发生在行的情况。
三链数是数对的扩展，我们在对上面的三链数进行扩展，得到右边的特殊的三链数，只要保证在3个宫格内，其包含的候选数也为3个，就都符合我们的要求，比如(123，123，123)、(12，12，123)都符合要求。
我们进一步再扩充，发现只要在N个宫格内，其包含的候选数也恰为N个，那么处理和三链数是相同的道理，这样就形成了四链数，比如(12，23，34，14)、(123，123，14，1234)等。平时我们用到最多的就是三链数、四链数了。
在A4所在九宫格，我们看到B4~B6，形成三链数，则本九宫格其他宫格就可以去除候选数“2”、“7”、“9”，这样就得到C6=4。
同上面完全相同的一副图，在A行，A7~A9形成由1、7、9构成的三链数，排除本行其他宫格的候选数1、7、9后得到A3=3。
　　④隐性三链数删减法。隐性三链数是从隐性数对发展而来的。
在某行，存在三个数字出现在相同的宫格内，在本行的其他宫格均不包含这三个数字，我们称这个数对是隐形三链数。那么这三个宫格的候选数中的其他数字都可以排除。
当隐形三链数出现在列、九宫格，处理方法是完全相同的。
在中间九宫格，候选数“2”、“5”、“9”仅出现在E4、E6、F4，形成隐形三链数，所以在E4、E6、F4，可以排除其他候选数，得到F4=9。
⑤关键数删减法。进入解题后期，利用前面讲到的唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法都无法有进展的时候，可以考虑使用关键数删减法。关键数删减法就是在后期找到一个数，这个数是在行（或列、九宫格）仅出现两次的数字。我们假定这个数在其中一个宫格内，继续求解，如果发生错误，则确定我们的假设错误。如果继续求解仍然出现困难，不妨假设这个数在另外一个宫格，看能不能得到错误。这就是关键数删减法。
4.标准数独
标准数独顾名思义，就是数独游戏中最严谨也是最简单的一类。它是严格地按照行、列、宫来划分的数独，因此，标准数独都是唯一解。根据前面介绍的方法就能找到答案。下图是一个标准数独，我们一起来运用我们学到的方法看看怎么解开它。
第一招：摒除法
大家之前已阅读过数独的规则：在每个单元中，每个数字只能出现一次，那么也就意味着，如果一行已经出现了一个1，这行的其他格就不再有1，利用这个观点，引发出摒除法。
第1步：数字2对B1进行摒除
r1c8为2，则其所在R1不再有2；
r2c4为2，则其所在R2不再有2；
r9c2为2，则其所在C2不再有2，
在B1中还没有2，B1有6个空格可以填2，但其中5个空格被摒除了，只剩下r3c1，所以得到第一解：r3c1=2
第2步：r1c3=7（宫摒余解，数字7对B1摒除）
第3步：r4c7=7（宫摒余解，数字7对B6摒除）
第4步：数字7对C5进行摒除
r1c3为7；则其所在R1不再有7；
r2c9为7，则其所在R2不再有7；
r4c7为7，则其所在R4不再有7；
r6c2为7，则其所在R6不再有7；
r8c1为7，则其所在R8不再有7；
r9c8为7，则其所在R9不再有7，
在C5中还没有7，C5有7个空格可以填7，但其中6个空格不能为7了，所以天元格r5c5=7
这个方法因为是对列实施摒除的，所以叫列摒除法，与其类似的还有行摒除法。行列摒除法也是很常用的方法。
第二招：余数法
前面我们提到，一格受其所在单元中其他20格的牵制，假如这20格里面已经出现了1～8这8个数字，我们就可以断定这格一定是未出现的唯一数字9。
第5步：点算r7c8的等位群格位已出现的数字
r7c8处于R7、C8、B9，我们来点算一下已经出现过的有哪些数字：r1c8=2；r4c8=6；r6c8=9；r7c3=5；r7c5=8；r7c7=3；r8c9=4；r9c8=7，只有一个数字1没有出现，所以得到r7c8=1
这个方法很容易，几乎每个人一学就会，但是观察却极度的困难，必须多加练习才能掌握它的诀窍，此时，我们找不到摒除解和余数解了，进入第三招：X-Wing，听名字是不是完全不知道是什么？还是用题目来看。
第6步：先找到X-Wing，再使用余数法
第1手：数字5对R2、R8摒除，出现X-Wing结构
首先来看R2，因为r1c2为5，同处于B1的r2c2和r2c3不能为5；r5c7为5，所以同处C7的r2c7不能为5。
再看R8，因为r7c3为5，同处于B7的r8c2和r8c3不能为5；r5c7为5，所以同处于C7的r8c7不能为5。
5在R2有两种位置可以填，当填在r2c5时，则r2c8，r8c5不能为5，因此r8c8=5。
情形若是如此，则C5，C8打×格均不能为5。
当5填在r2c8时，r2c5，r8c5不能为5，因此r8c5=5。
情形若如此，则C5，C8打×格均不能为5。
可见不论是哪种情况，C5和C8除这4格以外（也就是上述两种情况的交集）不能再有5。这就是X-Wing的删减逻辑。
这时候请记住删除了r3c8的5。
X-Wing是一个较难的进阶技巧，在进阶技巧中相对于区块、数对发生的几率小的多，但我们也要学会如何使用它。
第2手：点算r3c8的等位群格位已出现的数字
r1c8=2；r2c9=7；r3c3=8；r3c5=3；r3c7=1；r4c8=6；r6c8=9，加上之前的X-Wing排除了5的可能，所以得到r3c8=4。
第7步：r6c7=4（宫摒余解，数字4对B6摒除）
在这里如果我们用2对C7摒除，可以得到摒余解r8c7=2，但可能这个观察范围过大，摒除的两个数字一个在r1c8，一个在r9c2，看起来很困难，但是我们可以利用下面介绍的区块摒除法架起一条桥梁，使观察变的容易一些。
第三招：区块摒除法
在利用摒除的时候，可能最后发现一个单元里面还剩不止一个格子为某个数，看似没什么用，其实不然，假设B1的1在r1c1或者r1c2，虽然我们不知道哪个是哪个，但是R1的其他空格不是就不能为1了吗？
第8步：利用区块的观点来观察r8c7为何是2
第1手：数字2对B6摒除
得到B6的2在r4c9，r5c9，r6c9之中，r4c9，r5c9，r6c9是B6和C9的交集，我们称数字2形成区块。
第2手：数字2对B9摒除
由于B6的2在r4c9，r5c9，r6c9之中，即C9的2在B6当中，对B9摒除后得到摒余解r8c7=2。
读者们可以尝试下如果第4步用区块看会有什么效果。当您熟练地运用区块摒除法时就像一座桥梁，把一些本来距离很远，相对难观察的数字联系起来，当然这就需要记忆了。
第9步：r7c6=2（宫摒余解，数字2对B8摒除）
第10步：r7c4=7（宫摒余解，数字7对B8摒除）
第11步：r3c6=7（宫摒余解，数字7对B7摒除）
第12步：r5c9=2（行摒余解，数字2对R5摒除）
第13步：r6c9=1（宫摒余解，数字1对B6摒除）
第14步：r5c4=1（宫摒余解，数字1对B5摒除）
第15步：r7c2=4（行摒余解，数字4对R7摒除）
第16步：r4c3=4（宫摒余解，数字4对B4摒除）
第17步：r6c3=2（宫摒余解，数字2对B4摒除）
第18步：r5c6=4（宫摒余解，数字4对B5摒除）
第19步：r4c5=2（宫摒余解，数字2对B5摒除）
第20步：r4c6=9（宫摒余解，数字9对B5摒除）
当一个单元里面某两个数A和B只能在某2个格子的时候，该单元中其他格就不能再有这两个数字了，这就是数对法，听起来有点玄乎，用这道题来看就容易了。
第21步：先找出数对，然后利用数对的占位进行摒除。
第1手：数字1，9对B2摒除
这时我们需要同时用两个数字来摒除，r5c4与r8c6的1对B2摒除得到1在r1c5或r2c5；r8c4与r4c6的9对B2摒除得到9也在r1c5或r2c5，所以B2的1和9占据了r1c5和r2c5这两个位置。
第2手：数字4对B2摒除
数字4对B2摒除后，还有2个空格可填4，但数对占用了2个空格的1个（r1c5），只剩下一个空格r1c4，所以得到r1c4=4。
第22步：r1c6=8（宫摒余解，数字8对B2摒除）
第23步：r3c4=5（唯余解）
第24步：r2c8=5（宫摒余解，数字5对B3摒除）
第25步：r9c9=5（宫摒余解，数字5对B9摒除）
第26步：r8c5=5（宫摒余解，数字5对B8摒除）
第27步：r6c6=5（宫摒余解，数字5对B5摒除）
当某个单元中8格都被解出，则剩下的那个一定是未出现的第9个数字了，这就是第六招：唯一数。唯一数是唯余的特例，因为它只要观察一个单元，所以观察容易多了。
第28步：观察C6
C6还剩一格没填数字，只有3还没出现，所以r9c6=3。
唯一数可谓是最容易理解的招数了，所以当有唯一数出现的时候，读者千万别忽略它。
第29步：r9c5=4（宫摒余解，数字4对B8摒除）
第30步：r9c4=6（B8唯一数）
第31步：r6c5=6（宫摒余解，数字6对B5摒除）
第32步：r1c9=3（宫摒余解，数字3对B3摒除）
第33步：r5c8=3（宫摒余解，数字3对B6摒除）
第34步：r4c9=8（B6唯一数）
第35步：r8c8=8（C8唯一数）
第36步：r6c4=8（宫摒余解，数字8对B5摒除）
第37步：r6c4=8（B5唯一数）
第38步：r4c1=5（R4唯一数）
第39步：r6c1=3（R6唯一数）
第40步：r2c7=8（数字8对B3摒除）
第41步：r9c1=8（数字8对B7摒除）
第42步：r5c2=8（数字8对B4摒除）
第43步：r5c1=6（B4唯一数）
第44步：r3c2=6（宫摒余解，数字6对B1摒除）
第45步：r3c9=9（R3唯一数）
第46步：r1c7=6（B3唯一数）
第47步：r7c9=6（C9唯一数）
第48步：r9c7=9（B9唯一数）
第49步：r9c3=1（R9唯一数）
第50步：r7c1=9（R7唯一数）
第51步：r1c1=1（C1唯一数）
第52步：r1c5=9（R1唯一数）
第53步：r2c5=1（R2唯一数）
　　第54步：r2c2=9（宫摒余解，数字9对B1摒除）
第55步：r2c3=3（B1唯一数）
第56步：r8c2=3（C2唯一数）
第57步：r8c3=6（B7唯一数）
下图就是完成后的数独答案。
5.对角线数独
对角线数独的游戏规则，在每个小九宫格内不能出现一样的数字，在每行、每列和每条大对角线中也不能出现一样的数字，其相对于标准数独来说是多了两个额外区，即两条对角线，要求两条对角线也包括数字1～9。
对角线数独，以及这一类的额外数独，用到的基本都是标准数独的技巧，所以一定是先从标准数独解法入手，考虑区块排除等方法，利用到对角线上的条件进行解答。
(1)区块排除法。
由于第七宫内1的位置，第一宫内1只能在对角线上。所以在第九宫内1排除了对角线及第9行，只能在实黑圈的位置。
（2）对角线排除法。
对角线数独中，最关键的位置是第五宫。只要在这个单元格内出现的数，在其所在对角线上都不可能再出现了。所以可以辅助排除第一、九宫或者第三、七宫。但是在第五宫内四个框的位置，称为非对角线数，一般这些位置如果有已知数或者推出的数字，也有关键作用。
第五宫上的8不在对角线上，然后观察到第七宫的8也不在对角线上。因此第三宫内的8只能在对角线上。再利用简单的排除法，可以确定8在实黑圈位置。
(3)对角线专用链。
这个技巧的英文名字叫做crossover，目前没有专门的中文名字。
我们看对角线上的28数对和他们在第六宫内的交叉位置。交叉位置的实黑圈内不能为2也不能为8。因为这个格控制了对角线上两个28数对格，如果实黑圈为2或者为8，对角线上就没有2或者8了。所以目前第六宫的实黑圈只能是9。在第二宫的对称位置也一样，既不能是2也不能是8。
因为第一宫内2的位置，所以对角线上2只能在第三宫的实黑圈或者第五宫的蓝格内。所以第6宫的实黑圈内不能有2，否则对角线上就没有2了。第二宫的对称位置也一样。
6.不规则数独
不规则数独没有按照正常的区域划分宫，宫的形状为不规则形状且变化很多。不规则数独的规则是每一行、每一列、每一宫所包含的数字不重复。由于宫形的变化，导致每一个宫占据的行、列数目也会发生变化，因而观察起来不像标准数独那样明显。
不规则数独没有既定的成功方法，靠的是一些有用的技巧和灵活运用。只要懂得当中的技巧，玩起来便更容易了。下面就介绍几种技巧，熟练掌握这些技巧之后你就能攻克不规则数独了。
(1)先横后直。
在九宫格上，先横看，后直看，尝试找出出现次数最多的数字，作为游戏的起点。如图所示：
上面的九宫格中，“1”出现次数最多，所以先从1开始，由于每横、直行都只可以有一个“1”，那么，先涂上阴影部分，作为认记，就看到阴影部分都不可以再加“1”，而其他没有阴影的部分则可以是“1”，那么就能推测出其他“1”的位置了，如图：
在第一宫即第一个小九宫格内，除了“2”外，差不多所有都被阴影部分包围，只有“1，3”位置方格没有任何数字或阴影。那就表明，如果所有阴影部分没有可能是“1”的话，那么余下的这个“1，3”位置方格（阴影更深的方格）必定就是“1”了。
（2）缩窄范围。
还是以上面的题为例，我们来尝试缩窄范围，集中看左上方四个小九宫格，把横行2的“1”全行涂上阴影，表示此部分不可能有其他的“1”字。
然后把直行2的“1”全行涂上阴影。那么，在第一个小九宫格内，除了现有的“2”、“3”、“4”外，其余都被阴影部分涂上，只余一个“3，3”位置方格（阴影更深的部分）没有数字，那么这个一定是“1”了。
（3）删减法。
删减法就是删去一些可能性，集中看其余部分。如图所示，先在横1和直1行均涂上阴影，表示这两行的空格都不可能有“2”或“3”了。
然后，就可以判断出在第一个小九宫格内，“3，2”位置和“2，3”（阴影部分）位置方格是“2”或“3”。
这时，我们可以看到，只剩下一个方格没有删去（1，2位置），这个显然就是“1”了。
我们可以看到，不规则数独的这些解题技巧并不是相互独立的，在解题过程中可能会穿插使用，我们要熟练掌握这些技巧，才能快速地解开不规则数独谜题。
7.九宫阵数独
九宫阵是一个9×9的方阵，它是由9个“九宫格”构成的，每个九宫格又是由9个小格子构成的（3×3的方阵），在每个小格子里面填上1～9中的数字，使得每个数字在“九宫阵”的每行、每列、每个九宫格中均只出现一次。
九宫格摒除解的系统寻找是由数字1开始一直到数字9，周而复始，直到解完全题或无解时为止；每个数字又需从上左九宫格起，直到下右九宫格，周而复始，同样要不断重复到解完全题或无解时为止。
（1）从1～9这些数字中选择一个，放在每一个空格中。这样，使得每一横行、纵列和3×3的格子中都包含1～9这些数字。
（2）把1～7分别填到空格中（每个数字可以用7次），使每一横行、竖行、两条对角线上的数字之和都是28。
（3）九宫图中的异类。这个九宫图中，有1～9这9个数字，按照九宫图的规则，每一个数字在每一横行、竖行只出现一次，但是其中有一处数字却出现了两次，请你用最短的时间找出来。
答案：假设每一个都是对的，用这些数字填这个九宫图，很显然，错误的是第5行第九列的7。
8.杀手数独
杀手数独（Killer Sudoku）是一种数学智力游戏，是从数独衍生出的变种。它结合了数独（Sudoku）和数和（Kauri）的玩法。由于起始时的盘面并没有任何数字，所以一般在数独、数和等同类的智力游戏中难一些。
杀手数独的基本元素包括：
单元格：数独方