求（n!)^(1/n)/n,n趋于无穷时的极限
这个问题比较难,可分为三个步骤来完成：1、设xn=[n!^(1/n)]/n,则㏑xn=㏑{[n!^(1/n)]/n}=(1/n)㏑[n!/n^n]=(1/n)[㏑1/n+㏑2/n+…+㏑n/n]=(1/n)∑(k=1,n)㏑k/n(可以理解为积分和)2、转化为定积分：=∫(0,1)lnxdx=[xlnx-x](0,1)3、求无穷积分值：=-1-lim(x→0)[xlnx-x]=-1-lim(x→0)lnx/(1/x)=-1-lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)=-1-lim(x→0)(-x)=-1；所以：lim(n→∞)㏑xn=-1lim(n→∞)xn=1/e.
为您推荐：
其他类似问题
斯特林公式：n!等价于(n/e)^n*根号(2pi*n)于是原表达式等价于n/e/n*（2pi*n）^(1/n)=1/e*（2pi*n）^(1/n)趋于1/e。
扫描下载二维码用定积分定义求极限,n趋向无穷 1/(根号(4n^2-1))+1/(根号(4n^2-2^2))+…+1/(根用定积分定义求极限,n趋向无穷1/(根号(4n^2-1))+1/(根号(4n^2-2^2))+…+1/(根号(4n^2-n^2))
1/(√(4n^2-1))+1/(√(4n^2-2^2))+…+1/(√(4n^2-n^2))=(1/n)[1/(√(4-1/n^2))+1/(√(4-2^2/n^2))+…+1/(√(4-n^2/n^2))考虑函数f(x)=1/√(4-x^2),定义区间[0,1],分区间n等分,取右端点：lim(1/n)[1/(√(4-1/n^2))+1/(√(4-2^2/n^2))+…+1/(√(4-n^2/n^2))=∫(0,1)1/√(4-x^2)dx=arcsin(x/2)|(0,1)=π/6
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码浅析n项和在n趋于无穷大时的极限的求法_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
您可以上传图片描述问题
联系电话：
请填写真实有效的信息，以便工作人员联系您，我们为您严格保密。
浅析n项和在n趋于无穷大时的极限的求法
||暂无简介
北京龙源网通电子商务有限公司|
总评分0.0|
试读已结束，如果需要继续阅读或下载，敬请购买
你可能喜欢　　四川西南交通大学峨眉校区基础课部 峨眉山 614202 　　【摘要】针对n项和在n趋于无穷大时的极限，讨论了这" />
免费阅读期刊
论文发表、论文指导
周一至周五
9：00&22：00
浅析n项和在n趋于无穷大时的极限的求法
2013年12期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　四川西南交通大学峨眉校区基础课部 峨眉山 614202 中国论文网 /1/view-5427056.htm　　【摘要】针对n项和在n趋于无穷大时的极限，讨论了这类极限的主要求法。 　　【关键词】n项和 极限 夹逼准则 定积分 　　极限是高等数学这门学科的基础，在求极限的众多题目中我们时常会碰到求n项和在n趋于无穷大时的极限，此时极限的四则运算法则失效，我们需寻求另外的求极限的方法。关于这一类极限的求法，主要有以下几种。 　　1.若n项和能直接求出，则先求出和再求极限。 　　例1 求极限limn→∞1n2+2n2+...+nn2。 　　分析：因为n项和1n2+2n2+...+nn2能直接求出，所以先求出n项和再求极限。 　　解：因为1n2+2n2+...+nn2=1+2+...+nn2 =12n（n+1）n2=121+1n， 　　所以limn→∞1n2+2n2+...+nn2 　　=limn→∞121+1n=12。 　　2. 若n项和不能直接求出，则要考虑用数列极限的夹逼准则、定积分的定义、常数项级数求和、收敛的常数项级数的性质等进行计算。 　　例2 求极限limn→∞1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2。 　　分析：因为n项和1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2不能直接求出，但所求极限满足数列极限的夹逼准则的条件，所以可用数列极限的夹逼准则进行计算。 　　解：记Tn=1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2， 　　则1+22+32+...+n2n6+n2≤Tn≤1+22+32+...+n2n6+n， 　　而limn→∞1+22+32+...+n2n6+n2=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n6+n2 =16limn→∞（1+1n）（2+1n）1+1n4=13， 　　limn→∞1+22+32+...+n2n6+n=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n6+n =16limn→∞（1+1n）（2+1n）1+1n5=13， 　　由数列极限的夹逼准则，得limn→∞Tn=13，即limn→∞1n6+n+22n6+2n+...+n2n6+n2=13。 　　例3 求极限limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n。 　　分析：因为n项和1n+1+1n+2+...+1n+n不能直接求出，所求极限不满足数列极限的夹逼准则的条件，但可以配成定积分的定义式，所以可用定积分的定义将其转化为定积分进行计算。 　　解：因为limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n =limn→∞1n11+1n+11+2n+...+11+nn=limn→∞1n∑ni=111+in， 　　而函数11+x在其定义域内连续，所以函数11+x在定义域的任何闭区间上的定积分都存在，则由定积分的定义，得 limn→∞1n∑ni=111+in=∫1011+xdx=ln（1+x）10=ln2， 　　故 limn→∞1n+1+1n+2+...+1n+n=ln2。 　　例4 求极限limn→∞ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2。 　　分析：因为n项和ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2不能直接求出，所求极限也不满足数列极限的夹逼准则的条件，也不能配成定积分的定义式，而要将数列极限的夹逼准则和定积分的定义结合使用才能求出。 　　解：记 Tn=ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2， 　　则 ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n+1≤Tn≤ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n， 　　又 limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n=limn→∞1n∑ni=1ln1+in=∫10ln（1+x）dx 　　=xln（1+x）10-∫10x1+xdx=ln2-∫10（1-11+x）dx=ln2-1+ln（1+x）10=2ln2-1， 　　limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n+1=limn→∞nn+1?ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n 　　=limn→∞nn+1?limn→∞ln（1+1n）+ln（1+2n）+...+ln（1+nn）n=1?（2ln2-1）=2ln2-1， 　　由数列极限的夹逼准则，得limn→∞Tn=2ln2-1，即 　　limn→∞ln（1+1n）n+1+ln（1+2n）n+122+...+ln（1+nn）n+1n2 =2ln2-1。 　　例5 求极限limn→∞12+322+523+...+2n-12n。 　　分析：因为n项和12+322+523+...+2n-12n不能直接求出，但所求极限是常数项级数∑∞n=12n-12n的前n项和的极限，即为级数∑∞n=12n-12n的和，而常数项级数∑∞n=12n-12n是幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n在x=12时对应的级数，幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n的和函数容易求出，所以要先求出幂级数∑∞n=1（2n-1）x2n的和函数S（x），再求和函数S（x）在x=12时的函数值。 　　解：因为limn→∞12+322+523+...+2n-12n=∑∞n=12n-12n，令S（x）=∑∞n=1（2n-1）x2n，x∈（-1，1）； 　　而 S（x）=∑∞n=1（2n-1）x2n=x2∑∞n=1（2n-1）x2n-2 =x2∑∞n=1（x2n-1）′=x2∑∞n=1x2n-1′
　　=x2x1-x2′ =x2（1+x2）（1-x2）2，x∈（-1，1）； 　　所以∑∞n=12n-12n=S12=121+121-122=3，即limn→∞12+322+523+...+2n-12n=3。 　　注：本题也可先将原极限写成 　　limn→∞12+322+523+...+2n-12n=∑∞n=12n-12n=∑∞n=1n2n-1-∑∞n=112n， 　　形式，然后求出幂级数∑∞n=1nxn-1的和函数在x=12处的函数值以及等比级数∑∞n=112n的和即可。 　　例6 求极限limn→∞1n∑nk=113k1+1kk2。 　　分析：因为n项和1n∑nk=113k1+1kk2不能直接求出，但极限limn→∞1n=0，limn→∞∑nk=113k1+1kk2是常数项级数∑∞k=113n1+1nn2的前n项和的极限，即为级数∑∞k=113n1+1nn2的和，所以要利用收敛的常数项级数的性质来求极限。 　　解：对级数∑∞k=113n1+1nn2，有limn→∞n13n1+1nn2=limn→∞131+1nn=e3<1， 　　由正项级数的根值判别法，得级数∑∞k=113n1+1nn2收敛，从而级数∑∞k=113n1+1nn2是个确定的常数，记为∑∞k=113n1+1nn2=A（A是确定的常数），即limn→∞∑nk=113k1+1kk2=A，所以 　　limn→∞1n∑nk=113k1+1kk2=limn→∞1n?limn→∞∑nk=113k1+1kk2=0?A=0。 　　例7 求极限limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n 　　分析：因为n项和2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n不能直接求出，但2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n是常数项级数∑∞n=12n-12n的第n+1项到第2n项的和，所以要利用收敛的常数项级数的性质来求极限。 　　解：因为limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n=limn→∞∑2nk=n+12k-12k； 　　记Sn=∑nk=12k-12k，由常数项级数收敛的定义及例5的结论，得limn→∞Sn=∑∞n=12n-12n=3； 　　从而 limn→∞S2n=limn→∞Sn=3，又∑2nk=n+12k-12k=S2n-Sn， 　　所以limn→∞∑2nk=n+12k-12k=limn→∞（S2n-Sn）=0，故limn→∞2n+12n+1+2n+32n+2+...+4n-122n=0。 　　参考文献 　　[1] 高等数学（第六版）下册，同济大学数学系编，高等教育出版社. 　　[2] 数学分析（第二版）下册，陈纪修，於崇华 金路，高等教育出版社.
转载请注明来源。原文地址：
【xzbu】郑重声明：本网站资源、信息来源于网络，完全免费共享，仅供学习和研究使用，版权和著作权归原作者所有，如有不愿意被转载的情况，请通知我们删除已转载的信息。
xzbu发布此信息目的在于传播更多信息，与本网站立场无关。xzbu不保证该信息（包括但不限于文字、数据及图表）准确性、真实性、完整性等。