小数的巧算15
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小数的巧算15
第一讲小数的巧算；小数的“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算；当然，根据小数的特点，在乘除运算中灵活运用小数点；例1计算0.5×80＋200；分析与解利用小数乘积移位法则，有200.5×80；原式=05×8＋2005×1；=2005×(18－8＋1)；=55；例2计算75×4.7＋15.9×
小数的巧算小数的“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可能快地化为整数，在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂。当然，根据小数的特点，在乘除运算中灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点反方向移动相同数位，其积不变（如0.8×1.25=8×0.125）；两数相除，两数中的小数点同向移运相同的位数，其商不变（如0.16÷0.04=16÷4），也是常见的简化运算的方法。例1
计算0.5×80＋2
(2006年南昌市小学毕业考试题)分析与解
利用小数乘积移位法则，有 200.5×80=50×0.1=2005原式=05×8＋2005×1=2005×(18－8＋1)=2005×11
=22055例2 计算
75×4.7＋15.9×25分析与解
因为15.9=3×5.3
5.3＋4.7=10所以原式=3×25×4.7＋3×25×5.3=3×25×(4.7＋5.3)=75×10
=750随堂练习1（1） 计算1.25×3.14＋125×0.×0.00229 （2） 计算3.51×49＋35.1×5.1＋49×51(2003年全国小学奥数竞赛（A）卷第1题)提示：49×51=(50－1) ×(50＋1)=9 例3 计算7.816×1.45＋3.14×2.184＋1.69×7.816
(2005年希望杯邀请赛一试第10题) 分析与解
第1项和第3项都有因数7.816，第2项中的2.184=10－7.816,因此原式=7.816×1.45＋3.14×(10－7.816)＋1.69×7.816=3.14×10＋7.816×(1.45－3.14＋1.69)=31.4＋7.816×(3.14－3.14)
=31.4例4 计算38.3×7.6＋11×9.25＋427×0.24
(1999年全国小学数学奥林匹克竞赛B卷第1题) 分析与解
注意到0.76＋0.24=1
可将38.3×7.6化为383×0.76
427×0.24化为（383＋44）×0.24,从而原式=383×0.76＋11×9.25＋(383＋44) ×0.24=383×(0.76＋0.24)＋11×(9.25＋4×0.24)=383＋11×10.21
=495.31随堂练习2（1） 计算4.76×(3.8－2.3)＋1.5×5.24 （2） 计算(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28) 例5 计算(1＋0.12＋0.23) ×(0.12＋0.23＋0.34)－(1＋0.12＋0.23＋0.34)×(0.12＋0.23)(1999年全国小学数学奥林匹克初赛A卷第1题)分析与解
若直接进行乘法运算，将会出现许多项小数的积，运算将变得十分繁琐，注意到全式只出现4个数：1、0.12、0.23、0.34，每个括号内出现的数是这4个数不同的组合，若适当地将某些组全看为一个整体，用一个字母表示，则可化零为整，减少运算步骤。令M=0.12＋0.23,
N=0.12＋0.23＋0.34,则原式=(1＋M)×N－(1＋N)×M=N＋M×N－M－N×M=N－M
=0.34随堂练习3计算(2＋1.23＋2.34)×(1.23＋2.34＋3.45)－(1.23＋2.34)×(2＋1.23＋2.34＋3.45)提示：令M=1.23＋2.34
N=1.23＋2.34＋3.45,将原式化简为M、N的表达式。 例6 若A=9..456789,
B=9..456788, 试比较A、B的大小。分析与解
令a=9.876543
b=3.456789,则A=a×bB=(a＋0.000001)×(b－0.000001)=a×b－0.000001×(a－b)－0..000001=A－0.000001×(a－b)－0..000001=A－正数＜A这个正数是0.000001×(9..456789) ＋0..000001，所以，A＞B随堂练习4A=5.5,
B=5.4，问A和B哪个大？ 例7 如果362－(321.2－□×5.78) ＋1.3×5.6÷0.07=347.1,那么□=
。分析与解
先对原式左边化简，利用逆运算求□的值。原式左边=362－321.2＋□×5.78＋13×56÷7=40.8＋□×5.78＋104=□×5.78＋144.8所以
□×5.78＋144.8=347.1□ =(347.1－144.8)÷5.78=35随堂练习5已知105.5＋[(40＋□÷2.3)×0.5－1.53]÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,求□=
。 例8 计算41.2×8.1＋5.37×19＋1.1×92.5分析与解
首先注意到53.7=41.2＋12.5及8.1＋1.9=10,可将5.37×19化为53.7×1.9原式=41.2×8.1＋53.7×1.9＋1.1×92.5=41.2×8.1＋(41.2＋12.5)×1.9＋1.1×92.5=41.2×(8.1＋1.9) ＋12.5×1.9＋1.1×92.5=412＋12.5×1.9＋1.1×(80＋12.5)=412＋12.5×(1.9＋1.1) ＋1.1×80=412＋37.5＋88
=537.5随堂练习6计算41.2×8.1＋11×12.5＋53.7×1.9
(2001年黄冈市数学竞赛) 练习题1、 计算37.5－1.53－0.25－1.22 2、 计算2.5×1.25×3.2 3、 计算3.74×2.85＋8.15×3.74－3.74 4、 计算3.6×31.4＋43.9×6.4
(1996年山东省小学数学竞赛题)（提示：43.9=31.4＋12.5） 5、 计算2.4×7.6＋7.6×6.5＋0.76 （1995年上海市小学数学竞赛试题） 6、 计算8÷(31.25×0.4) ＋99.36
(2004年南京市小学数学冬令营试题) 7、 计算20.05×39＋200.5×4.1＋40×10.025
(提示：40×10.025=2×20×10.025=20×20.05) 8、 计算18.3×0.25＋5.3÷0.4－7.13
（第十届“华罗庚”少年邀请赛决赛第2题第1小题） 9、 计算－0.375××2.4 (第二十一届“迎春杯”数学科普活动初赛第1题) 10、 计算×－× (提示：令=a,则=a－0.1，=a＋0.1) 11、 已知9.4×[□－(1.54－0.31)]=0.47,求□=
. 12、 计算＋20.06＋2.006 13、 比较下面两个乘积A、B的大小A=9.5B=9.4 14、 计算97.05－99.05
（2004年第九届“华罗庚”金杯少年邀请赛决赛试题） 15、 计算263.4＋263.5－263.5－263.6 16、 计算1.1＋3.3＋5.5＋7.7＋9.9＋11.11＋13.13＋15.15＋17.17＋19.19 (北京市第十三届“迎春杯”初赛第一题第2小题)包含各类专业文献、各类资格考试、高等教育、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、中学教育、专业论文、第一讲
小数的巧算15等内容。
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四年级奥数习题：速算与巧算(二)
11:26:48&&&&&&&&标签：
　　1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和(如方格中a=14+17=31).右图填满后，这30个数的总和是多少?
　　2.有两个算式：①，
　　②98766 & 98768，
　　请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少?
　　3.比较568&764和567&765哪个积大?
　　4.在下面四个算式中，最大的得数是多少?
　　5.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.
　　6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.
　　7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少?
　　习题解答
　　1.先按图意将方格填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.
　　解法1：
　　先算每一横行中的偶数之和：(12+14+16+18)&6=360.
　　再算每一竖列中的奇数之和：
　　(11+13+15+17+19)& 5=375
　　最后算30个数的总和=10+360+375=745.
　　解法2：把每格的数算出填好.
　　先算出10+11+12+13+14
　　+15+16+17+18+19=145，
　　再算其余格中的数.经观察可以列出下式：
　　(23+37)+(25+35)& 2
　　+(27+33)&3+(29
　　+31)& 4
　　= 60 &(1+ 2+ 3+4)
　　最后算总和：
　　总和=145+600=745.
　　2. ① 98765 & 98769
　　= 98765 &(98768+ 1)
　　= 98765 & .
　　② 98766 & 98768
　　=(98765+1)& 98768
　　= 98765 & 9.
　　所以②比①大3.
　　3.同上题解法相同：568&764&567&765.
　　4.根据&若保持和不变，则两个数的差越小，积越大&，则 84016是最大的得数.
　　5.85&5=17为中数，则五个数是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的数是13.
　　6.45&5=9为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.
　　7.观察已框出的六个数，10是上面一行的中间数，17是下面一行的中间数，10+17=27是上、下两行中间数之和.这个中间数之和可以用81&3=27求得.
　　利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.
　　429&3=143
　　(143+7)&2=75 75+1=76
　　最大数是76.
来源：奥数网整理
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54．化成有限小数写出所有分母是两位数，分子是 1，而且能够化成有限小数的分数。 分析与解 当一个最简分数的分母只含 2 和 5 质因数时，这个分数就能化成有限小数。
所以，当分母是 16、32、64、25、10、20、40、80、50 时，这样的分数 都能化成有限小数。　　所要求的分数为： 1
、25 10 20 401
。80 5055．速算（1）0．618×999．9＋0．0618 ? 1994 ×1992（2 ）1994 ×1994 ? 分析与解（1）原式＝0．＋0．0618＝0．0618×（9999＋1）＝0．＝618或 原式＝0．618×999．9＋0．618×0．1＝0．618×（999．9＋0．1）＝0．618×1000＝618（1992 ? 1）×1993 ? （1993 ? 1）×1992（2）原式＝（1993 ? 1）×1994 ? （1994 ? 1）×1993?
? 1992 ? 1994 ?
? 1993? 11? 156．求正方形的面积
右图中 ABCD 是一个正方形，E、F、N、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点。 已知 A＇B＇C＇D＇（图中阴影部分）的面积是 4 平方厘米，求正方形 ABCD 的面积。　　分析与解 如果想用“边长×边长”去求正方形面积，那是办不到的。 我们用“割补”的办法把原来的正方形转化成图 19，这时，很快就可发 现，割补后的图形面积正好是阴影部分面积的 5 倍，也就是说，正方形 ABCD的面积是阴影部分面积的 5 倍。所以正方形 ABCD 的面积为：4×5＝20（平方厘米）57．现场出题　　五（1）班学生到英雄笔厂包装车间参观。参观中，张老师根据包装台上 的自动铅笔数，现场出了一道数学题，请同学们思考：　　有 99 支合格的英雄牌自动铅笔需要装盒出厂。盒子有两种规格：一种可 以装 12 支，另一种可以装 5 支。现在要把 99 支全部分装在两种盒子里，而 且每一盒都装满，应该怎么装？分析与解 设每盒装 12 支的用 x 盒，每盒装 5 支的用 y 盒，于是有 12x＋5y＝99y ?
99 ? 12 x5把几种装笔情况列成下表x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
17.4
15
12.6
10.2
7.8
5.4
3
0.6
判断
×
√
×
×
×
×
√
×
从上表可以看出，一种装法是：12 支的盒装 2 个，5 支的盒装 15 个；另一种装法是：12 支的盒装 7 盒，5 支的盒装 3 盒。58．求 m 的最小值1512 乘以一个整数 m，得到一个完全平方数，m 最小是几？　　分析与解 ×7。根据“若干个完全平方数的积必然是完全 平方数”这一道理，我们只要在 22×32×2×3×7 的算式中，至少再乘以一个 2，一个 3，一个 7，使其成为 22×32×22×32×72，这个积必然是完全平 方数。所以 m 的最小值为＝2×3×7＝4259．对号入座　　洪波、陈荣、张润田 3 人分别在甲、乙、丙 3 个工厂工作，他们分别是 钳工、车工和木工。现在知道，洪波不在甲厂，陈荣不在乙厂，在甲厂的不 是车工，在乙厂的是钳工，陈荣不是木工，你知道张润田在哪个工厂，干的 是什么工种吗？分析与解 题中告诉我们，在乙厂的是钳工，在甲厂的不是车工，那么在甲厂的一定是木工。又知道洪波不在甲厂，陈荣不是木工，也就是说陈荣 也不在甲厂，那么张润田一定在甲厂，是木工。60．合理分配　　某种商品的价格是：每 1 个 1 角钱；每 5 个 4 角钱；每 9 个 7 角钱。小 赵的钱至少能买 50 个，小李的钱至多能买 500 个，小李的钱比小赵的钱多多 少？分析与解 每5个4 角钱，单价为 4 角。5每9 个7 角钱，单价为 7 角。9因为1＞ 4 ＞ 7 ，所以每9个7 角钱的最便宜，其次是每5个4 角5 9钱的。小李、小赵在购买这种商品时，一定采用最经济的买法。由于小赵最 多能买 50 个，他 9 个 9 个地买，买 5 次，共买 9×5＝45（个），再买 5 个， 这样正好买 50 个，即50＝9×5＋5×1所以，小赵花的钱为 7×5＋4×1＝39（角） 同样道理，小李最经济的买法是：　　500＝55×9＋5×1 所以，小李花的钱为：7×55＋4×1＝389（角） 小李的钱比小赵的钱多：389－39＝350（角）＝35（元）61．余数相同求除数　　有一个不等于 1 的整数，用它去除 967、，得到的余数相同， 这个整数是多少？　　分析与解 如果用一个整数分别去除几个整数，所得到的余数相同，那 么这个数一定能整除这几个数两两的差，即所求整数能整除 967、 两两的差。967、 这三个数两两的差为：＝33＝3×11＝×47＝×13　　所求整数一定是 33、 的公约数，33、 的公约数 是 11，所以 11 就是所要求的数。62．互赠图书　　新年快到了，五年级三个班决定互相赠送一些图书，三个班原有的图书 数量各不相同。如果五（1）班把本班的一部分图书赠给五（2）班和五（3） 班，那么这两个班的图书数量各增加一倍；然后五（2）班也把本班的一部分 图书赠给五（1）班和五（3）班，这两个班的图书数量也各增加一倍；接着 五（3）班又把本班的图书一部分赠给五（1）班和五（2）班，这两个班的图 书又各增加一倍。这时，三个班的图书数量都是 72 本，问原来各班各有图书 有多少本？分析与解 我们采用逆推与列表的方法进行分析推理。在每次重新变化后，三个班的图书总数是不会改变的。由此，可以从最后三个班的图书数量 都是 72 本出发进行逆推。（1）班、（2）班的图书各增加 1 倍后是 72 本，（1）班、（2）班的图书数量，在没有增加一倍时都是 72÷2＝36（本）。现在把（1）班、（2）班增加的本数（各 36 本）还给（3）班，（3）班应是72＋36＋36＝144（本）。依此类推，求出三个班原来各有的本数。 为了使逆推过程看得更清楚，我们采用列表的方式进行。
五（ 1 ）班
五（ 2 ）班
五（ 3 ）班
最后本数
72
72
72
前次本数
72 ÷ 2 ＝ 36
72 ÷ 2 ＝ 36
72 ＋ 36 × 2 ＝ 144
再前次本数
36 ÷ 2 ＝ 18
36 ＋ 18 ＋ 72 ＝ 126
144 ÷ 2 ＝ 72
原来本数
18 ＋ 63 ＋ 36 ＝ 117
126 ÷ 2 ＝ 63
72 ÷ 2 ＝ 36
通过上表可以看出：五（1）班原有图书 117 本，五（2）班原有图书 63本，五（3）原有图书 36 本。 为了保证解答正确，可根据题意，从最后求出的各班原有图书数量出发，按题目中三次分配办法进行计算，看看每班的图书是否最终都是 72 本。这样通过顺、逆两方面推导，可确保解题正确。63．变幻无穷的彩灯少年宫游乐厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯或亮或暗，变幻无穷。200 个灯泡按 1～200 编号。灯泡的亮暗规则是：第 1 秒，全部灯泡变亮；第2 秒，凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗；第 3 秒，凡编号为 3 的倍数的灯 泡改变原来的亮暗状态（即亮的变暗，暗的变亮）；第 4 秒，凡编号为 4 的 倍数的灯泡改变原来亮暗状态。这样继续下去，??200 秒为一周期。当第200 秒时，哪些灯是亮着的？　　分析与解 在解答这个问题时，我们要用到这样一个知识：任何一个非 平方数，它的全体约数的个数是偶数；任何一个平方数，它的全体约数的个 数是奇数。例如，6 和 18 都是非平方数，6 的约数有：1、2、3、6，共 4 个；18 的约数有 1、2、3、6、9、18，共 6 个。它们的约数的个数都是偶数。又 例如，16 和 25 都是平方数，16 的约数有：1、2、4、8、16，共 5 个；25 的 约数有 1、5、25，共 3 个。它们的约数的个数都是奇数。回到本题。本题中，最初这些灯泡都是暗的。第一秒，所有灯都变亮了；第 2 秒，编号为 2 的倍数（即偶数）的灯由亮变暗；第 3 秒，编号为 3 的倍 数的灯改变原来的亮暗状态，就是说，3 号灯由亮变暗，可是 6 号灯则由暗 变亮，而 9 号灯却由亮变暗??。这样推下去，很难理出个头绪来。正确的解题思路应该是这样的：凡是亮暗变化是偶数次的灯，一定回到最初状态，即是暗着的。只有亮暗变化是奇数次的灯，才是亮着的。因此， 只要考虑从第 1 秒到第 200 秒这段时间，每盏灯变化次数的奇偶性就可判断 灯的亮暗状态。一个号码为 a 的灯，如果有 7 个约数，那么它的亮暗变化就是 7 次，所以每盏灯在第 200 秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶 数。我们已知道，只有平方数的全部约数的个数是奇数。这样 1～200 之间， 只有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196 这 14 个数为平方数，因而这些号码的灯是亮着的，而其余各盏灯则都是暗着的。 用奇偶性分析解题，是我们经常用的一种解题方法，既灵活又有趣。64．求减数　　在一道减法算式中，被减数加减数再加差的和是 674，又知减数比差的 3 倍多 17，求减数。　　分析与解 根据题中条件，被减数＋减数＋差＝674。可以推出：减数＋ 差＝674÷2＝337（因为被减数＝减数＋差）。　　又知，减数比差的 3 倍多 17，就是说，减数＝差×3＋17，将其代入： 减数＋差＝337，得出：差×3＋17＋差＝337 差×4＝320差＝80于是，减数＝80×3＋17＝25765．a×b×c＝？有三个整数 a、b、c，已知 a×b＝480，a×c＝360，b×c＝432，那么 a×b×c＝？　　分析与解 从题中看到，a、b、c 这三个数中，任意两个数的积都是已 知的。因此，只要求出这三个数中任何一个数，这三个数的积就可以知道了。　　（a×b）×（a×c）?b×c480×360432a×b×a×c ? 400b×ca2＝400
a＝20 a×（b×c）＝20×432 a×b×c＝8640还可以这样解答：a×b×a×c×b×c＝480×360×432a2×b2×c2＝22×22×22×22×22×22×32×32×32×52∴（a×b×c）2＝（2×2×2×2×2×2×3×3×3×5）2a×b×c＝2×2×2×2×2×2×3×3×3×5＝864066．两位朋友的家相隔几个门？甲、乙二人是朋友，他们都住在同一条胡同的同一侧，甲住 11 号，乙住189 号。甲、乙二人的住处相隔几个门？分析与解 甲、乙二人的家之间所有的门牌号组成了一个等差数列：11、13、15、17、??、189。它的首项 a1＝11，公差 d＝2，末项 an＝189。这串数列的项数，可由等差数列通项公式的变形公式求出：n＝（an－a1）÷d＋1＝（189－11）÷2＋1＝89＋1＝90　　由此可知，从门牌 11 号到 189 号共有 90 个门牌号，所以甲、乙二人住 处相隔 90－2＝88 个门。67．不知长宽高求体积有一个长方体，正面和上面两个面积的和为 209 平方厘米，并且长、宽、高都是质数。求它的体积。分析与解 设长方体的长、宽、高为 a、b、c。 根据题意：a×b＋a×c＝209a×（b＋c）＝209＝11×19　　11 不能分成两个质数的和，而 19 可分成 17 与 2 的和。因此，长方体体 积为：a×b×c＝11×17×2＝374（立方厘米）68．从一点看三面　　有一个正方体，棱长是 13，它是由 13×13×13＝2197 个单位小立方体 粘在一起构成的。从正方体的一个顶点望去，最多能看到多少个单位立方体？ 分析与解 从正方体的一个顶点最多能看到正方体相邻的三个面，每个面含有 13×13＝169 个小立方体的面。三个面共看到 169×3＝507 个小立方 体的面。三个面相交成三条棱，三条棱上共有 13×3－2＝37 个小立方体，其 中有一个小立方体在顶点上。显然，顶点上的这个小立方体，我们能看到它 的三个面；其余 36 个棱上的小立方体，我们能看到它们每个两个面；至于其 他能看到的小立方体。我们只能看到它们每个一个面。由此不难推出，能看 到的小立方体的个数为507－2－36＝469（个）69．一半真一半假A、B、C、D 四人赛跑，三名观众对赛跑成绩做如下估计： 王晨说：“B 得第二名，C 得第一名。” 张旭说：“C 得第二名，D 得第三名。” 李光说：“A 得第二名，D 得第四名。”实际上，每人都说对了一半。同学们，你能说出 A、B、C、D 各是第几名吗？　　分析与解 先假设王晨说的“B 得第二名是”正确的。因为只能有一个 人是第二名，所以“C 得第二名”，与“A 得第二名”就都是错误的。这样张 旭与李光说的后半句话：“D 得第三名”和“D 得第四名”就应该是正确的了。 然而这两句话自相矛盾，从而可以认定原始的假设是不成立的，应全部推翻。 再假设王晨说的：“C 得第一名”是正确的，从而推出“C 得第二名”是 错误，而“D 得第三名”是正确的，而“D 得第四名”则又是错误的，因而“A得第二名”则是正确的。在推导过程中没有出现矛盾，说明假设成立。 总之，推导的结论为：A 得第二名，B 得第四名，C 得第一名，D 得第三名。 这题还可以用列表的方式来解答。这种方法比较直观，学生更容易接受。
第一名
第二名
第三名
第四名
A
√
√
这里提供的只是一种列表方式，把三位观众的原始估计显示在表内，再根据题中条件进行推理、判断，最后推出正确结果。70．汽油、机油和柴油油库里有 6 桶油，分别装着汽油、柴油和机油。油桶上只标明 15 公升、16 公升、18 公升、19 公升、20 公升和 31 公升，却没有注明是哪一种油。只 知道柴油是机油的 2 倍，汽油只有一桶。请你分析一下，各个油桶里装的是 什么油？　　分析与解 根据“柴油是机油的 2 倍”这一条件可知，这两种油之和一 定是 3 的倍数。而六桶油的和为 15＋16＋18＋19＋20＋31＝119（公升），119 除以 3 得到的余数为 2，说明汽油量是 3 的倍数还多 2 公升。又知“汽油只有一桶”，在油桶上标明的六个数中，只有 20 是 3 的倍数多 2 的数，所以 标明 20 公升这一桶装的是汽油。从而可求出机油量为（15＋16＋18＋19＋31）÷3＝33（公升），柴油量为 33×2＝66（公升）通过观察可知，标明 15 公升与 18 公升的两桶装的是机油，标明 16 公升、19 公升与 31 公升的三桶装的是柴油。71．有趣的“魔术数”你知道“魔术数”吗？　　将自然数 N 接写在另一个自然数的右边（例如，将 2 接着写在 34 的右边 就是 342），如果得到的新数都能被 N 整除，那么自然数 N 就叫做魔术数。 小朋友，在小于 100 的自然数中，你能找到多少个这样的魔术数，它们各是几？　　分析与解 我们首先发现 1 就是一个魔术数。因为不管把 1 写在哪一个 自然数右边，所得的新数都能被 1 整除。在剩下的八个自然数中，可以断定3、4、6、7、8、9 这六个自然数不是魔术数。这只要把这六个数分别接着写在 1 后面就可以明白了。那么剩下的 2 和 5 是不是魔术数呢？回答是肯定的。 因为把 2 接写在任何一个自然数的右边，所得的新数的个位上的数字总是 2， 这些新数一定能被 2 整除，所以 2 是魔术数。同样道理，5 也是魔术数，这 样我们就找到了三个一位魔术数：1、2、5。　　我们再寻找两位魔术数。两位数从 10 到 99 为止，一共是 90 个。我们先 把每一个两位数接写在 1 后面，很快就能发现，除了 10、20、25、50 以外， 其余的两位数都不能整除被接在 1 后面所得的新数，当然就肯定不是魔术数 了。那么 10、20、25、50 这四个数是不是魔术数呢？ 10 是魔术数很容易确 定。20 也是魔术数，因为把 20 接写在自然数 a 后面，新数就是（100a＋20），而 100a＋20=20×（5a＋1），显然能被 20 整除。用上述办法同样可以证明：25、50 也是魔术数。这样，我们就找到了四个二位魔术数 10、20、25、50。 细心的小朋友从上面找魔术数的过程中一定会发现，一位魔术数 1、2、5 恰好是 10 的约数中所有的一位数；二位魔术数 10、20、25、50 恰好是 100（102）的约数中的所有的二位数。那么，三位魔术数是不是 ）的 约数中的所有的三位数？四位魔术数是不是 104 的约数中的所有四位数？进而 n 位魔术数是不是 10n 的约数中的所有 n 位数？是的。不信你试试看。顺 便告诉你，三位魔术数和三位以上的魔术数都是五个。这又是为什么？请你 想想看。72．求前 1995 个算式的和　　有这样一串算式：1＋2＋3，2＋4＋6，3＋6＋9，4＋8＋12，5＋10＋15，?? 问这串算式的前 1995 个算式的和是多少？分析与解 观察这串算式排列规律不难发现： 每个算式的第一个加数是几，那么这个算式就是这串算式的第几个算式。　　每个算式中的第二个加数和第三个加数分别是第一个加数的 2 倍和 3 倍。依照这个规律，第 1995 个算式的和为：×2+70。再观察每个算式的和：1+2+3=6，2+4+6=12，3+6+9=18　　　4+8+12=24，5+10+15=30，??把这些算式的和排列起来，原来是一个 首项是 6、公差是 6、末项是 11970 的等差数列，所以前 1995 个算式的和为：（6 ? 11970）×1995 = 273．三位老师三个学校　　王老师、李老师、张老师这三位老师中，一位是小学教师， 一位是中学 教师，一位是大学教师。这三位教师的情况是：（1）张老师比大学教师年龄大；（2）王教师和中学教师不同岁；（3）中学教师比李老师年龄小。请你判断谁是小学教师？谁是中学教师？谁是大学教师？ 分析与解 从条件（1）可知，张老师不是大学教师。　　　　　从条件（2）可知，王老师不是中学教师。 从条件（3）可知，李老师不是中学教师。 综合条件（2）、（3）可以得出：张老师是中学教师。　　再根据条件（1），张老师的年龄大于大学教师，而张老师又是中学教师， 可以推出：中学教师的年龄大于大学教师；根据条件（3），中学教师比李老 师年龄小，说明大学教师的年龄更小于李老师，因而推出：李老师不是大学 教师，而只能是小学教师，于是王老师只能是大学教师了。74．不能数只能计算右图中一共有多少个三角形？
分析与解△AB1B7 的底边一共有 6 个基本线段，所以，以 B1B7 为底边的三 角形，一共有1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = （1 + 6）×62=21（个）这样三角形共有 4 层，共有三角形 21×4=84（个）在 AC1 为底边上共有 4 条基本线段，但以 AC4 为底边的三角形在上式中已计算过。所以只能计算的 C1C4 为底边的三角形的个数就行了。C1C4 上有 3 条基本线段，所以，以 C1C4 为底边的三角形共有：1＋2＋3=6（个）这样的三角形一共有 6 层（AB2、AB3、AB4、AB5、AB6、AB7），共有　6×6=36（个） 因此共有三角形84＋36=120（个）75．把一个正方体展开把一个正方体展开，有多少个不同的展开图？分析与解共 11 种76．判断奇、偶性　　某校举行数学竞赛，共有 20 道题。评分标准规定，答对一题给 3 分，不 答给 1 分。答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所 有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？分析与解 以一个学生得分情况为例。如果他有 m 题答对，就得 3m 分，有 n 题答错，则扣 n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还 应得（20-m-n）分。所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20=2（m-n+10）　　不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则 2（m-n+10）必然是偶数，即一个 学生得分为偶数。由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。77．排队照相的学问　　7 位老朋友相约在公园聚会，想照一张照片留念。如果他们站成一排， 共有多少种站法？分析与解 可以这样考虑：最左边的位置 7 个人都可以站，有 7 种站法；当这个人确定后，第二个位置就有 6 种站法；再确定之后，第三个位置就有5 种站法；再确定之后，第四个位置就有 4 种站法；依此类推，到最后一个 位置就只有一种站法了。因此，7 个人站队，一共有：7×6×5×4×3×2×1=5040 种不同站法78．解题的关键是要先找“规律”下面这串数是按一定规律排列的：6、3、2、4、7、8、??那么这串数的前 1995 个数的和是多少？第 1995 个数除以 5 余几？ 分析与解 观察这串数的排列规律，不难发现：从第二个数起，每个数都比它前面那个数与后面那个数的和小 5，因此，这串数继续排下去为：6、3、2、4、7、8、6、3、2、4、7、8、6、3、?? 又发现 6、3、2、4、7、8 为一循环排列。??3（6+3+2+4+7+8）×332+（6+3+2）=30×332+11=9971∴前 1995 个数的和为 9971第 1995 个数为：22÷5=0?2∴第 1995 个数除以 5 余 279．分数居第三位的同学至少得多少分？　　某次数学考试，满分是 100 分。6 位同学的平均分是 91 分。这 6 人成绩 各不相同，其中有一人得 65 分，那么，分数居第三位的同学至少得多少分？分析与解 其他 5 位学生得分总和为：　　91×6-5=481（分） 要想使第三位学生得“至少”分数，就要使比他分数高的两位同学的分数尽量高，也就是得 100 分和 99 分；同时又要使分数比他低的两位同学的分 数也尽量高（分数尽可能与他接近，即他的分数要尽量接近后三人的平均 分）。（481-100-99）÷3=94　　分数居第四位和第五位的两位同学至多得 94 分和 93 分，分数居第三位 的同学至少得 95 分80．巧推六位数有一个六位数：ABCD56，把它的末两位数移到前面，得到一个新的六位数56 ABCD，新六位数比原六位数少303435，求原来六位数。分析与解 根据题意，可得到下面算式：5
5观察上面算式，得： D+5=6 D=1C+3=5 C=2A
6B=7B+4=D，即 B 与 4 和的个位数字为 1，只有当 B=7 时才能满足要求，所以A 加 3 再加上从 B＋4 进位而来的 1，所得和的个位数字应为 C（=2），由此推得：A=8。所以原六位数ABCD56为87215681．架电线　　光明乡一共有 30 个村，每 3 个村都不在一条直线上，每两村之间架一条 电线，一共要架多少条电线？　　分析与解 共有 30 个村，每 3 个村都不在一直线上，所以任意一村都与 其他 29 个村架一条电线，30 村一共可以架 29×30=870（条），但是这样算，把每条电线都计算了两次，因此，最多可以架电线：29×30÷2=435（条）82．从反面去想1～100 中所有不能被 9 整除的数的和是多少？　　分析与解 能被 9 整除的数，就是 9 的倍数。解答时只要把不是 9 的倍 数的数挑出来，再相加求和就可以了。但 1～100 中不是 9 的倍数的数很多， 计算起来很麻烦，我们不妨从另一个角度来考虑。先把 9 的倍数找出来，从1～100 所有数的和中减去所有 9 的倍数的和，就是所要求的和。 能被 9 整除的数的和是：9×（1 + 2 + 3 + ?? + 11） = 9× （1 ? 11）×11 = 59421～100 所有数的和是1 + 2 + 3 + ?? + 100 = （1 + 100）×100 = 505021～100 所有不能被 9 整除的数的和是683．要求尽量小　　有四个不同的自然数，它们当中任意两个数的和都是 2 的倍数，任意三 个数的和都是 3 的倍数。为了使这四个数尽量小，这四个数分别是多少？分析与解 四个数中的任意两个数的和都是 2 的倍数，说明四个数的奇偶性相同：要么都是奇数，要么都是偶数。　　任意三个数的和都是 3 的倍数，说明四个数要么都是 3 的倍数，要么都 是被 3 除余 1 的数，要么都是被 3 除余 2 的数。如果四个数都是 3 的倍数，那么这四个数最小是：3、9、15、21（四个数都是奇数），其和为 48；或 6、12、18、24（四个数都是偶数），其和为60。　　如果四个数都是被 3 除余 1 的数，那么这四个数最小是 1、7、13、19， 其和为 40。如果四个数都是被 3 除余 2 的数，那么这四个数最小是 2、8、14、20，其和为 44。40 小于 44、48 和 60，所以这四个数为：1、7、13、1984．按要求写数你能写出比 1 大，比 100 小，用 5 除余 2，用 6 除余 5 的所有整数来吗？ 分析与解 用 5 除余 2 的最小自然数是 2，用 2 依次加上 5 的倍数，得到 7、12、17、??这些都是用 5 除余 2 的数。其中 17 这个数也能满足用 6 除余 5 这个条件，而且是最小的数。17 加 5 和 6 的公倍数：30、60、90、??，得到的数都能满足用 5 除余2、用 6 除余 5 的条件；在这些数中有两个数是小于 100 的，即 17+30=47，17+60=77，所以满足条件的只有 17、47、77。85．两条直角边为互质数　　直角三角形的面积是 996 平方厘米，其直角边为整厘米数，并且为互质 数。符合这些条件的三角形共有多少个？它们中两条直角边之和最小是多少 厘米？分析与解 与这个三角形等底等高的长方形面积为：　　996×2=1992（平方厘米）×83 即两条直角边的积为 1992， 那么这两条直角边可能为：1 和 1992；2 和 996；3 和 664；4 和 498；6 和 332；8 和 249；24 和 83；12 和 166。其中两数互质的有 1 和 1992；3 和 664；8和 249；24 和 83。因此，这样的三角形共有 4 个，其中两条直角形之和最小 的是：24+83=107（厘米）86．多少不同车票？多少不同票价？　　某次列车从甲站到乙站，中途要停靠 6 个车站，铁路部门要为这次列车 准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解 从甲站到乙站一共有 8 个车站（包括起始站与终点站）。　　从甲站到乙站这个方向上，任何一个站都要和其他各前方车站准备一种 车票，甲站要准备 7 种车票，下一站要准备 6 种车票，依此类推可以得出： 从甲站到乙站这个方向上一共要准备：7+6+5+4+3+2+1=28（种）同样，从乙站到甲站这个方向上也要准备同样多的车票，即 28 种。 所以，往返一共需要准备 28×2=56（种） 每两站之间往返车票的价钱是一样的，因此有 56÷2=28（种）票价。87．想通后很简单甲、乙两车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 45 千米，途中甲车停车 3 小时，结果甲车比乙车晚一小时到达 B 地。A、B 两地之间的距离是多少千米？　　分析与解 要想求 A、B 两地之间的距离，就需要用甲车速度乘以甲车行 驶的时间，或用乙车的速度乘以乙车行驶的时间。依题意，“甲车在途中停留 3 小时，比乙车晚一小时到达 B 地”，说明行驶这段路甲车比乙车少用（3-1） 小时，这可以理解为：乙车比甲车先行 2 小时，甲车去追乙车，甲车追上乙 车的时间就是甲车行完全程所用的时间：45×（3-1）=90（千米）90÷（50-45）=18（小时）50×18=900（千米）或 45×（18+2）=900（千米）综合算式：50×［45×（3-1）÷（50-45）]=900（千米） 或 45×［45×（3-1）÷（50-45）+（3-1）］=900（千米）88．求甲车行的路程　　A、B 两站相距 28 千米，甲车每小时行 33 千米，乙车每小时行 37 千米。 甲、乙两车分别从 A、B 两站同时相对开出，往返于两站之间，那么，当两车 第三次相遇时（迎头相遇），甲车行了多少千米？　　分析与解 要想求出“两车第三次相遇时，甲车行了多少千米？”就应 先求出两车第三次相遇时，甲车行了多长时间。为此，可先求出第三次相遇 时两车共同走的路程。第一次相遇两车走了一个全程。 第二次相遇两车走了三个全程。 第三次相遇两车走了五个全程。这时两车相遇时间为：　28×5÷（33+37）=2（小时） 第三次相遇时，甲车行了：33×2=66（千米）89．不能重也不能漏　　有 2 张伍元币、3 张贰元币、7 张壹元币。要拿出 12 元，可以有几种拿 法？分析与解 如果随便取 12 元，是很容易的，难就难在把所有情况都考虑全，既不重复也不遗漏。要做到这一点，可以采取列表的方法把各种情况一 一列举出来。列表时，应先排伍元币，再排贰元币，最后排壹元币，这样可以保证做到不重不漏。
5 元币
2 元币
1 元币
取的张数
2
1
0
0
3
6
共有 7 种取法。90．按要求植树　　植树节时，五年级少先队员栽种的树苗组成一个每边 2 层的空心方阵， 已知最外一层每边栽种树苗 15 棵，五年级少先队员共栽树苗多少棵？分析与解解法 1：先分别算出每层所栽树苗的棵数，再算出总棵数。15×4-44+（15-2）×4-4=104（棵） 解法 2：（15-2）×4+4+（15-2-2）×4+4=104（棵）　　解法 3：把空心方阵看成实心方阵，计算它的棵数，再减去空心部分的 棵数：15×15-（15-2-2）2=104（棵） 同学们，还有没有其他解法？你能想出来吗？91．按规定计算规定 A※B=3A－5B。其中 A、B 为自然数。 求：（1）10※0．8 的值；（2）1．7※0．9 的值。　　分析与解　 题中的 A※B 表示 A 的 3 倍减去 B 的 5 倍的差。把表示 A、B 的数值代入等式右边的 3A-5B 中，再计算出结果。（1）∵A※B=3A－5B∴10※0．8=3×10－5×0．8=30－4=26（2）1．7※0．9=3×1．7－5×0．9=5．1－4．5=0．692．积极参加体育运动　　五（1）班有 45 人，其中有 20 人参加了球类运动，10 人参加了田径运 动，只有 3 人既参加了球类运动又参加了田径运动，那么没有参加这两种运 动的有多少人？分析与解 请看右图。长方形表示全班人数。影阴部分表示两种运动都未参加的人数。由图中不难看出，只参加球类运动的有：　20-3=17（人） 只参加田径运动的有：10-3=7（人） 那么两种运动都没有参加的有：45-（17+7+3）=18（人）93．先求出因数再求积三个相邻的偶数的乘积是一个六位数 2□□□□2，求这个六位数。 分析与解 偶数的末位数字是 0、2、4、6、8，因此相邻三个偶数的末位数字只能是：（0，2，4）、（2，4，6）、（4，6，8）、（6，8，0）、（8，0，2）五种情况。只有当三个相邻偶数末位数字是（4，6，8）时，其 积的个位数才能是 2。为确定十位数字先进行估算：50×50×50=12500060×60×60=216000　70×70×70=343000 通过上面三个算式，可以推出，三个相邻偶数一定是在 60～70 之间。所以三个相邻偶数是 64、66、68，将它们相乘得到的六位数为 287232。94．对折对折再对折在右图的 16 个方格中分别填入数字，并按下列顺序对折四次。13
9
5
1
14
10
6
2
15
11
7
3
16
12
8
4
（1）将上半张对折盖住下半张；（2）将下半截对折盖住上半截；（3）将右半截对折盖住左半截；（4）将左半截对折盖住右半截。 这样对折四次后，最上面方格中的数字是几？ 分析与解（1）将上半张对折盖住下半张后，上面的数字为：1、2、5、6、9、10、13、14；（2）第二次对折后，上面数字为：3、7、11、15；（3）第三次对折后，上面数字为：8、4；（4）第四次对折后，上面数字为：16。 同学们，如果你实在推断不出正确答案，不妨动手演示一下。95．防止考试时作弊　　某礼堂有 20 排座位，其中第一排有 10 个座位，后面每一排都比它前面 的一排多一个座位。如果允许参加考试的学生坐在任意一行，但是在同一行 中不能与其他同学挨着，那么在考试时，这个礼堂最多能安排多少名学生就 试？分析与解根据要求，第一排有 10 个座位，可以坐 5 个学生；第二排有 11 个座位，可以坐 6 个学生；第三排有 12 个座位也可以坐 6 个学生；第四排可以坐 7 个，第五排可以坐 7 个；第六、七排都可以坐 8 个；第八、九排都可以坐 9 个；??第 20 排可以坐 15 个。这样一共可以坐学生：5+6+6+7+7+8+8+??+14+14+15=5+（6+7+8+??+14）×2+15（6 ? 14）×9= 5 +2=200（人）×2 + 15　　　　96．特殊数的排列把只有三个约数的数从小到大排列，第十五个数是多少？　　分析与解 只有质数的平方数才是只有三个约数的数。将质数由小到大 排列，第 15 个质数为 47。所求数为：472=202997．先找规律，后填数请你仔细观察下面每串分数的排列规律，根据排列规律填出（）里的数。（1） 1 ， 1 ， 1， 1
，（）， 1
， 12 6 12 2042 56（2 ） 1 ，5分析与解5
，（），3013
，10417153（1）仔细观察这串数的特征，不难发现：1 ? 12 1×21 ? 16 2×31
? 120 4×51
? 142 6×71
? 156 7×8所以，（）里的数应是1 ?
15×6 30（2 ）观察这5个分数，发现5
、 1330 104和 17153不是最简分数。把这几个分数约分，化成最简分数是 1 、 1 和 1 。这样排列的有规律的分数是6 8 91 、 1 、 x 、 1 、 1 ，再仔细观察，就不难发现 x = 1 。5 6 y 8 9 y 71 是不是题目要求的答案呢？71 5 x′ 13 17我们再来看看原来排好的5个分数是 ， ，， ， 。这5 30y 104153几个分数的分子是 1．5，x＇，13，17。其中 5-1=4，17-13=4，这就是相邻 的两个分数的分子相差 4，那么 x＇-5=4 或 13-x＇=4，这样就求出了x＇ = 9，再把 1 化成分子是9的分数，那么分母y＇一定是63。这样我7们就找到了题中要求填出的分数是9
了。6398．求平行四边形的高
平行四边形 ABCD 的边 AD 长 10 厘米，直角三角形 AGD 的直角边 AG 长 8 厘米，已知阴影部分的面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，求 AE 长多 少厘米？分析与解 S△AGD=10×8÷2=40（平方厘米） SABCD=阴影部分面积+S 四边形 AEFD=S△EFG+10 平方厘米+S 四边形 AEFD=S△AGD+10 平方厘米=40 平方厘米+10 平方厘米=50 平方厘米AE
? 5（厘米）1099．页码的学问一本书的页码需要 1995 个数字，问这本书一共有多少页？ 分析与解 从第 1 页到第 9 页，用 9 个数字；从第 10 页到第 99 页，用 180 个数字； 从第 100 页开始，每页将用 3 个数字。1995-（9＋180）=1806（个数字）（页）602＋99=701（页）100．学者的生与死有一位学者，在几年前去世了。他去世的年龄正好是他出生年数的1/31。又知道这位学者于 1965 年获得博士学位。这位学者是哪一年去世的？ 去世时是多少岁？　　分析与解 这位学者去世时的年龄是他出生年数的 1/31，也就是说，他 出生年数是他年龄的 31 倍。这位学者于 1965 年获博士学位，在小于 1965 年的整数中，、1891、??都是 31 的倍数。　　假如这位学者生于 1953 年，那么获得博士学位时才 （岁）， 这是不可能的。又假如这位学者出生于 1891 年或更早些，那么他的年龄是 （岁），再看看他获得博士学位时的年龄是 （岁），这也是不 可能的，因为到 1965 年时他早已去世了。由此可推出他生于 1922 年，去世 时是 （岁）。他去世的年数是 4 年。三、百 练练习题1．一艘轮船发生漏水事故，立即安装两部抽水机向外抽水。当时已漏进水 600 桶。一部抽水机每分钟抽水 20 桶，另一部抽水机每分钟抽水 16 桶。50 分钟把水抽完，每分钟漏进多少桶水？
2．将 1～8 填入图中的○内，使每一圆周和每一直线上的四数之和都相 等。　　3．两组架线工人共同架设一段电话线。第一组每小时架设 900 米，第二 组每小时架设 750 米。两组同时各从线路的一端架设，结果第一组比第二组早 2 小时架设到线路的中点。这段电话线有多长？　　4．某学院的数学系要从 280 名学生中选一名学生去参加电视台举办的联 欢活动。选举的方法是：让 280 名学生排成一排，由第一名开始报数，报奇 数的同学落选并退出队列，报偶数的同学站在原位置不动。然后再从头报数， 报奇数的同学也是落选并退出队列。如此继续下去，最后剩下的一名学生当 选。方华非常想去，他在第一次排队时应该站在队列的什么位置上才能被选中？　　5．一个人骑摩托车从甲地到乙地，要行 288 公里。开始以每小时 32 公 里的速度行驶，途中因故停驶 2 小时。为了按时到达乙地，他必须把以后的 速度每小时增加 16 公里。问他是在离甲地多远的地方停车的？6．小明家有一对兔子。假如年初这对兔子经过一个月就能长成大兔子，大兔子经过一个月就能生出另一对小兔子，而且每个月生一对小兔子。小兔 子过一个月长成大兔子，再过一个月又能生小兔子。问一年后小明家共有多 少只兔子（假设一只不死）？　　7．一批石油，用第一种油槽车装载，要用 45 辆；如果用第二种油槽车 装载，只要用 36 辆。已知第二种油槽车比第一种油槽车每辆多装石油 4 吨， 求这批石油的重量。　　8．某工厂制做铁箱子，箱子是由一个铁框和两块铁板合成的。这项任务 由李师傅和小张承担，他们的技术情况是：李师傅每小时生产 9 个铁框或 12 块铁板，小张只能生产铁板，每小时生产 10 块。要使两种半成品能够配套（一 个框恰配两张铁板），师徒二人如何配合才能使八小时内生产出最多的箱子？　　9．两个数相除，商 3 余 10，被除数、除数、商与余数的和是 163。求被 除数和除数。10．有风景树若干棵。若排成中实方阵，则余 15 棵；如在最外层增加一层，则缺 17 棵。这种树原有多少棵？　　11．一组学生用一条绳子量一块地段的长。量 12 次，还余 80 米；量 14 次，就超出地段 20 米。求绳长和地段长。　　12．有 10 个连续的自然数，第八个数的 7 倍与第二个数的 9 倍相等。求 这 10 个数的和。　　13．甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆。如果每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站的车辆是甲站车辆的 2 倍？14．一本书的页码由 7641 个数码组成，这本书共有多少页？　　15．一列火车通过 530 米的桥需 40 秒钟，以同样的速度穿过 380 米的山 洞需 30 秒钟。这列火车的速度和车身长各是多少？　　16．老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小 数），小明计算出的答案是 12．43。老师说：“最后一位数字错了，其他的 数字都对。”请问正确答案是什么？　　17．某科学考察团进行科学考察，要越过一座山。上午 8 时上山，每小 时行 3 公里，到达山顶时休息 1 小时，下山时比上山时每小时多行 2 公里， 下午 2 时到达山底。全程共行了 19 公里，上山、下山各行了多少公里？18．比较下面两个分数的大小235861 和 652971235862652974　　19．甲乙二人共同生产零件，甲先生产 2 小时，然后共同生产了 18 小时， 一共生产了 1032 个零件。已知甲比乙每小时多生产 6 个零件，甲比乙一共多 生产多少个零件？　　20．求1 ? 11? ? ?的整数部分。1199119922000　　21．一块正方形铁板，一边截去 15 厘米，另一边截去 10 厘米，剩下的 长方形铁板比原来的面积减少 1725 平方厘米。这块正方形铁板每边长多少厘 米？1 ? 1 ? 1 ?
。1 1 1 1 1 1? ? ? ? ?2 4 6 1220 60　　23．某新华书店运进科技书是连环画的 2 倍。每天卖出 30 本连环画，40 本科技书，几天以后，连环画全部卖完，科技书还剩 160 本。这个新华书店 共运进科技书和连环画各多少本？24．用六条直线最多能将一个圆面分成几部分？用 100 条直线呢？　　25．甲 8 天的工作量与乙 7 天的工作量相等，他们在同一时间内共同生 产零件 60 个。甲比乙少做几个？　　26．甲、乙二人同时从两地出发，相向而行，距离是 100 公里，甲每小 时走 6 公里，乙每小时走 4 公里。甲带着一条狗，狗每小时走 15 公里。这只 狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又再掉头 往乙那边走。这只狗来回地走，直到两人相遇。问这只狗一共走了多少公里？27 ．某人要做252道数学题，已做过的题数的 5 等于未做过题数的2 17 2倍，他做了多少题？
28．在一条公里上，每隔 100 千米有一座仓库，共有五座，图中数字表 示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如 果每吨货物运输 1 千米需运费 0．5 元，那么为了使运费最少，应把货物集中 到哪个仓库？需多少钱？
29．有五个粮仓，位置如右图所示。图中圆圈内的数字表示每个粮仓的 存粮数，现在想将五个粮仓的粮食调整为一样多，怎样调动最简便？30．两个书架一共有书168本，从第一个书架中取出全部书的 3 ，4从第二个书架上取出全部书的 2 ，两书架上余下的书相等。问两书架原来3有书各多少本？　　31．甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到四层时，乙恰好跑到三层。照这样 计算，甲跑到十六层时，乙跑到几层？32 ．将360元人民币存入银行，其中5元币的张数是2元币的张数的 4 ，5两种人民币各有多少张？33．两次投掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？34．41．2×8．1+1．1×92．5＋5．37×19
35．如下图，象棋盘上一名小兵过河后沿最短的路走到对方“将”处， 小兵有多少种不同的走法？　　36．从图 29 所示的一块正方形草坪中，在中心处划出一块边长为 2 米的 正方形，剩下的草坪可以分成 4 个相同的长方形，已知它们每个面积是 11．25 平方米。求原来正方形草坪的边长和划分的长方形土地的长和宽。　　37．一个正三角形 ABC 的边长为 10 厘米。从每边上的顶点开始每隔 2 厘米取一点，过这点作两条直线分别和其他两边平行。问（1）图中 共有多少个正三角形？（2）所作平行线的总长度是多少？38．在下面除式中，只知道一个数字 8，把所有残缺的数字补上。□□8□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□039．□□□÷□□＝□－□＝□－740．如图 31，已知四条线段的长度，并且有两个角是直角，求四边形 ABCD（阴影部分）的面积。
41．如果在边长为 12 厘米的正方形中有任一点 P，将 P 和 AD、BC 的三 等分点，AB、CD 的二等分点以及 A、C 两点分别连结起来（如下图），求图 中阴影部分的面积。　　　　42．奶糖 35 千克与水果糖 65 千克配成售价为每千克 9 元的什锦糖，奶 糖每千克比水果糖每千克贵 2 元，那么 80 千克奶糖、120 千克水果糖配成什 锦糖后，每千克售价是多少元？　　43．有一楼梯共 10 级。如规定每步跨上一级或两级，要登上第 10 级， 共有多少种不同走法。　　44．某自然数是 3 和 4 的倍数，且这个自然数共有 10 个约数，这个数最 小是几？　　45．徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工、钳工， 他们都是象棋迷。（1）木工只和车工下棋，而且总是输给车工；（2）王、陈两位师傅是邻居；（3）陈师傅与电工下棋互有胜负；（4）徐师傅比赵师傅下得好；（5）木工的家离工厂最远。 徐、王、陈、赵四位师傅各干的是什么工种？46．1?1?1?? ?? ?11被13除得到的余数是几？商的各位数字之和是多少？1995个1　　47．一位法官审理一起珍宝盗窃案，有甲、乙、丙、丁四名嫌疑犯，他 们的供词如下：甲：罪犯在乙、丙、丁三人之中；乙：我没有作案，是丙偷的； 丙：在甲和乙中间有一人是罪犯； 丁：乙说的是事实。经过调查，证实这四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话。这四个人中有一名罪犯，你知道谁是罪犯呢？　　48．一个四位数除以 9 余 8，除以 7 余 1，除以 5 余 3，这样的四位数中， 最小的是几？49．甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是 1 号至4 号。一个专说谎话的人说：“乙坐在丙的旁边，甲坐在乙和丙的中间，乙 的座位不是 3 号”。问坐在 2 号座位上的是谁？50．某班 18 位同学骑车去郊游，车长 2 米，速度为每小时 12 千米。开始时三人并肩行驶，前后两辆车都相隔 2．4 米，后来他们又分成三组，每组6 人成一列长队，前后两辆车都相隔 2 米，组与组相隔 7 米。途中要经过一 座桥，问改变队形后，通过这座桥比按原来队形要多花多少时间？　　51．大房间有 8 个床位，小房间有 5 个床位。现有 106 位客人，问至少 需要大小房间各多少间，才能使客人有住处且没有空床位？　　52．有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第三个数是 40。从第三个 数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第 1986 个数被 3 除所 得的余数是多少？　　53．已知一个数含有 15 个约数，另一个数含有 14 个约数，两个数的质 因数均不超过 10，且两数最大公约数是 18，求这两个数。　　54．A、B 两城相距 60 千米，甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两城同时出发， 在两城之间往返行走（到达另一城后就马上返回）。在出发后 40 分钟两车第 一次相遇，在离 A 城两千米的地方两车第二次相遇。问甲、乙两车的速度各　　是多少？55．某人上山每小时行 2 千米。到达山顶后由原地返回，下山每小时行3 千米，求这个人上山再下山的平均速度？　　56．长 120 米的列车，以 72 千米／小时的速度往东行驶，长 330 米的货 车往西行驶。它们在长 130 米的铁桥西端碰上，在桥的东端离开，求货车每 小时行驶多少千米？　　57．150 名学生选举一名大队长，有甲、乙、丙三位候选人，每位同学 只能投三人中一人的票。前 130 票中，甲得 55 票，乙得 45 票，丙得 30 票。 规定谁的票最多，谁将当选。甲要当选，至少还需要多少张投他的票？　　58．甲、乙、丙三个小朋友都有一些糖果。如甲给乙一块糖，则两人的 糖就同样多。如乙给丙一块糖，则丙比乙多 5 块。甲和丙相比较，谁的糖多？ 多几块？　　59．明明计算从 1 开始到某个自然数的和是 1932，在检查时，他发现少 加了一个数，这个数是几？　　60．在环形跑道上，如果两人在某一点同时同向而行，每 12 分钟相遇一 次。同时反向而行，每隔 4 分钟相遇一次。问两人各行一圈需要几分钟？
61．从甲地到乙地有 4 条不同的道路，从乙地到丙地有两条不同的道路， 从丙地到丁地有 5 条不同的道路，从甲直接到丁也有一条道路。问从甲地到 丁地有多少种不同的走法？　　62．某河上下两港相距 120 千米，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客 轮从两港同时出发相向而行。一天，甲从上港出发时放下一只小舢板，小舢 板速度为每小时 5 千米，顺水而下，2 分钟后，与甲船相距 1 千米。问乙船 出发后几小时与小舢板相遇？63．有一个桶装着 10 千克的水，另外还有 8 千克和 3 千克的空瓶各 1个，用这三个容器至少需要倒多少次才能将 10 千克的水分成相等的两份？　　64．在第一次数学竞赛中，一班得奖人数是二班的 2．5 倍。在第二次数 学竞赛中，二班得奖人数增加 6 人，一班减少 1 人，结果二班的得奖人数反 而是一班得奖人数的 2 倍。问第一次竞赛时，两个班各有多少人得奖？65．有 5 个人同时到某理发馆去理发。甲理好发需 20 分钟，乙理好发需18 分钟，丙理好发需 25 分钟，丁理好发需 30 分钟，戊理好发需 23 分钟。 理发馆有两位理发师傅，如何安排这五个人，使他们理发的时间总和最少？　　66．爷爷现在的年龄是小华年龄的 6 倍，再过 8 年后，爷爷的年龄是小 华的 4 倍，爷爷、小华现在各多少岁？　　67．如下图，∠1＋∠4=∠2＋∠3，当∠AOB 是多少度时，图中所有角的 和等于 360°？　　68．1 = 1 ?1 ? 1 ?1 ? 1（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）69．360 的全部约数之和是多少？　　70．把 33、91、105、143、55、25、231、221、119、39 分成两组，使 两组数的乘积相等？　　71．把 17 分成几个自然数的和，再求出这几个自然数的积，要使得到的 积尽可能大。这个乘积是多少？你是怎么分的？72．商店有六箱货物，分别重 15、16、18、19、20、31 千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍。问商店 剩下的一箱货物重多少千克？73．有一个游戏，它的规则如下：在黑板上写上 3 个自然数，然后任意擦去一个数，换上未擦去的两个数的和，这样继续多次后，黑板上变成 41，538，496 这样三个数。问原来的 3 个数可以为 1、2、3 吗？74．把只有三个约数的数从小到大排列，第 10 个数是多少？75．某次数学竞赛的评分标准是：基础分 15 分，答对一道加 5 分，不答加 1 分，答错一道减 1 分，总共 30 题。试说明，如有 247 名学生参赛，则所 有参赛学生得分总数一定是奇数。76．某村把一块三角形地（如下图）平均分给五户农民承包，怎样分才能使他们五户分到的田地一样多。77．＋5577 除以 11 余几？78．在乘积 1×2×3×??×99×100 中末尾有多少个零？　　79．在毕业典礼后，同学们互赠礼物，（接受礼物的同学必须回赠礼物） 请你说明，至少有两名同学得到的礼物一样多。80．有甲、乙两辆汽车，在 A、B 两城之间往返行驶。甲车去时速度为60 千米／小时，回来时速度是 45 千米／小时。乙车往返的速度都是 50 千米／小时。问乙车往返一次所需时间是甲车往返的一次所需时间的几倍？81．在一次运动会中，某学生用 34 步跑完了 60 米，试说明：必有一段30 米的路程，他至少跑了 8 步。　　82．某校数学组的张老师、王老师、李老师、赵老师和韩老师的年龄正 好是由小到大排列的五个连续自然数，又知他们五人年龄的乘积是 ABABAB的 120 倍。请你算一下，这五位老师的年龄各是多少？83．边长为 1 的正方形内，任意给出 13 个点。试说明：必有 4 个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 。484．烤烧饼需要两面烤，烤熟每面都要用 2 分钟。一个锅中每次只能放入 2 个烧饼。如果要烤 3 个烧饼，那么最少需要多少时间？
85．试说明：世界上任意六个人，都有三个人彼此认识或三个人彼此不 认识。　　86．桌上放着七只杯子，有三只杯口朝上，四只杯口朝下。每个人任意 将杯子翻动五次。问：若干人翻动后，能否将七只杯子全变成杯口朝下？如 能，至少需要几个人来翻动？87．一个药水瓶，它的瓶身是圆柱形（不包括瓶颈），如下图。已知它的容积为 30 立方厘米，当瓶子正放时，瓶内的药水的液面高 8 厘米；瓶子倒 放时，空余部分的高为 2 厘米。问瓶内装有药水的体积是多少立方厘米？　　88．小明听见有两人谈话：“我们俩一共 63 岁，当您是我现在年龄的一 半时，我当时的年龄是您现在的年龄。”“我”和“您”各有多少岁？请你 帮小明想想？　　89．一个表面涂满红颜色的立方体，要想切出 53 块仅有一面涂有红色的 小方块，至少应在各面切几刀？　　90．编号为 1、2、3、4、5 的五个同学进行乒乓球比赛，每两个人都要 比赛一盘。现在编号为 1、2、3、4 的同学已经赛过的盘数恰好分别等于他们 的编号数，那么编号为 5 的同学已经赛了多少盘？　　91．设牧马营地在 M（如下图），每天牧马人要赶着马群先到河边饮水， 再到草地吃草，然后回营地，试问怎样的放牧路线最短？　　
92．某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组。参加数学 小组的有 23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人，同时参 加数学、语文两个小组的有 4 人，同时参加数学、外语小组的有 7 人，同时 参加语文、外语两个小组的有 5 人，三个小组都参加的有 2 人。问这个年级 参加课外小组的共多少人？　　93．有 8 个村庄 A1、A2、??、A8，分布在公路两侧，由一些小路与公 路相连。要在公路上设一个汽车站，使汽车站到各村庄的距离之和最小，车 站应设在哪里？如再加一个 P 村，则车站应设在哪里？（见下图）
94．某乡有 6 块麦地，每块地的产量如下图所示，试问打麦场设在何处 最好？95．有 4 个小朋友，他们年龄是四个连续偶数，他们年龄相乘的积是13440。他们中最大的是几岁？　　96．有钱若干元，平均分给 3 人，余 2 元；平均分给 4 人，余 1 元；如 果把这些钱平均分给 12 人，那么余几元呢？　　97．一箱鸡蛋有 1000 个左右。如果 5 个一数，余 3 个；6 个一数，余 4 个；8 个一数，余 6 个；9 个一数，余 7 个；这箱鸡蛋有多少个？　　　　98．体育课上，李老师拿出 32 面等腰直角三角形小旗，对同学们说：“这 些小旗的面积都是 8 平方分米，用这些小旗可以拼成一个正方形，这个正方 形的周长正好是我区上届中学生运动会跳远的最高记录。你们算一算，上届 中学生运动会跳远的最高记录是多少？”
99．请你在下面的长方形纸上，沿直线剪一刀把它分成两片，用这两片 纸可以拼成三角形、平方四边形、梯形，想一想，该怎么剪？试一试，怎么 拼？100．263947 乘以 24 再除以 13，余数是几？ 百练答案1．法 1 20+16-600÷50=24（桶）法 2 [（20+16）×50-600]÷50=24（桶）2．此题答案不唯一，其中一个答案如下图：3．750×2÷（900-750）=10（小时）（900+750）×10=16500（米）×2=18000（米）　　4．看小于 280 的 2 的最高次方是多少，这个数的位置就是方华应站的位 置。28=256 所以应该站在第 256 个位置上。5．288-（32+16）×（32×2÷16）=96（公里）6．用符号 Fn 表示某月 1 日共有的兔子数，n≥3 时，Fn=Fn-1+Fn-2月数 1 2 3 4 5 6 7 8 大兔子数（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 兔子数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21 由此推出，一年后有 144 对兔子7．4×36÷（45-36）=16（吨）16×45=720（吨）8．解：设师傅用 x 小时生产铁框9x×2=12×（8-x）+10×8x = 5 1315即师傅用 5 小时 52 分钟生产铁框，其余的时间生产铁板。9．（163-3-10-10）÷（3+1）=3535×3+10=11510．（15+17）÷4+1=9（棵）9×9-17=64（棵）11．（80+20）÷（14-12）=50（米）50×12+80=680（米）12．解：设第二个数是 x9x=7（x+6）x=21所以 10 个数分别是 20、21、??、2920+21+??+29=（20+29）×10÷2=24513．（52+32）÷（2+1）=28（辆）（52-28）÷（28-24）=6（天）14．1～9 页，9 个数字10～99 页，90×2=180（个）100～999 页，900×3=2700（个）9+180+（个）（）÷4=1188（页）999+（页）15．（530-380）÷（40-30）=15（米）15×40-530=70（米）16．12．395×13=161．13512．495×13=162．435162÷13=12．4617．19-3×5=4（公里）4÷2=2（小时）（3+2）×2=10（公里）19-10=9（公里）18． 235861 ＞ 65297123586265297419．6×18+[1032+（6×18）]÷（18×2+2）×2=168（个）20．11991×10 =
1019911÷ 101991= 199 ．112000×10 =
12001÷ 1200= 200所以原式的整数部是 199。21．（）÷（10+15）=75（厘米）22 ．原式 = 13823．160÷（30×2-40）=8（天）30×（160÷40）=120（本）40×8+160=480（本）（科技书）480÷2=240（本）（连环画）24．a
= 1 + n（n + 1）n 2n = 6时，a
= 1 + 6（6 + 1） = 226 2n = 100时，a = 1 + 100×（100 + 1） = 5051100 225．60÷（1 + 7 ）×（1 - 7 ） = 4（个）8 826．26．100÷（6+4）=10（小时）15×10=150（公里）27 ．252 ÷（ 5 ÷2 1 + 1） = 196（题）7 228．都集中到 D 仓库中10×300+20×200+30×100+60×100=160000．5×（元）29．30．1÷（1 - 3 ） = 44168÷（4+3）=24（本）24×4=96（本）24×3=72（本）31．15÷3×2=1010+1=11（层）32 ．360÷（5× 4 + 2） = 60（张）（2元）560× 4
= 48 （张）（5元）533．18 种34．原式=537.535．有 15 种36．11.25×4+2×2=49（平方米）， 所以正方形的边长是 7 米； 长方形的长=（7+2）÷2=4.5（米）； 长方形的宽=4.5-2=2.5（米）。37．（1）共有 48 个。 顶点向上的：共 35 个。由 1 个三角形组成的：15 个；由 4 个三角形组成的：10 个； 由 9 个三角形组成的：6 个； 由 16 个三角形组成的：3 个； 由 25 个三角形组成的：1 个。顶点向下的共 13 个。由一个三角形组成的：10 个； 由 4 个三角形组成的：3 个。 所以：15+10+6+3+1+10+3=48 个（2）（2+4+6+8）×3=60（厘米）38．　　突破口：由于商的第三位是 8，从 8 乘以一个两位数还得两位数可知， 除数是 11 或 12。又由商的第一位乘以两位数得三位数，可以确定除数是 12， 商的第一位是 9。由此可推出其他方格中应填的数。39．128÷64=5—3=9—7164÷82=5－3=9－740．2×4÷2+6×4÷2=1641．S + S =
1 ×（12 × 1 ）×hⅠ Ⅱ 2 3 1+ 1 ×（12 × 1 ）×h2 3 2=
1 ×4 ×（h
1 ×4 ×122=24（厘米 2）S + S =
1 ×6×12Ⅱ Ⅳ 2=36（厘米 2）24+36=60（厘米 2）42．[9×（35+65）－35×2]÷（35+65）=8．3（元）[（8．3+2）×80+8．3×120]÷（80+120）=9．1（元）43．不难看出：登上一级有 1 种走法，登上二级有 2 种走法，登上三级有 3 种走法，登上四级有 5 种走法，由此可推出规律是：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、??所以登上第 10 级，共有 89 种走法。44．10=1×10=2×5=（1+1）×（4+1）∴n=a1×b4=31×24=3×4×4=48 这个数最小是 48。　　45．由（1）、（4）可知，徐是车工，赵是木工；由（3）可知，陈师傅 不是电工，他只能是钳工，那么王师傅就是电工了。46．余数是 7，商的各位数字之和是 7976=8547??3111÷13=8??7（余数）又（8+5+4+7）×332+8=797647．乙是罪犯48．[9、7、5]=315315×4+8=1268　　49．由于是一个专说谎话的人说的话，因此他的每一句话都与实际情况 恰好相反。由此可知，四个人的座位安排情况是丙、丁、乙、甲，所以 2 号 座位是丁。50．开始时全队长度：　　2×（18÷3）+2．4×（18÷3-1）=24（米） 改变后全队长度：[2×6+2×（6-1）]×3+7×（3-1）=80（米）过桥行进时间相差（80 - 24 ）÷（12 ×1000÷60） =
725（分）　　51．由于住的房间要求尽可能少，所以尽量安排住在大房间中，所以大 房间要 12 间，小房间要 2 间，共 14 间。52．这串数被 3 除的余数依次是：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、????2 所以余数是 1。53．18=2×3215=3×5=（2+1）（4+1）14=2×7=（1+1）（6+1） a=24×32=144 b＝21×36=145854．40×3÷60=2（小时）60×2-20=100（千米）60+20=80（千米）100÷2=50（千米）（甲）80÷2=40（千米）（乙）55．取[2，3]=66×2÷（6÷3+6÷2）=2．4（千米）56．（120+130）÷[（72×1000）÷（60×60）]=12．5（秒）（330-130）÷12．5=16（米／秒）16×60×60÷（千米／小时）57．（150-130）÷3=6??2 所以甲要当选，至少还需要 6 张投他的票。58．由图可知，甲比乙多 2 块； 丙比乙多 3 块； 所以丙比甲多 1 块。59．因 n×（n+1）÷2＞1932， 所以 n 是 62。于是 62×（62+1）÷2=1953 所以少加的那个数是 21。60．12÷4=3（3+1）÷（3-1）=2周长慢者行一周的时间 = =慢速周长2×慢速－慢速周长=快速－慢速= 12（分钟）快者行-用的时间=12÷2=6（分钟）61．4×2×5+1=41（种）62．1÷（2÷60）=35（千米）120÷（35+5）=3（小时）63．6 次64．（6+1×2）÷（5-1）=2（人）2×2.5=5（人）65．理发师傅 A182330 理发师傅 B202518×3+23×2+30+20×2+25=195（分钟）66．（8×6-8）÷（6-4）=20（岁）20-8=12（岁）小华12×6=72（岁）爷爷67．4（∠1+∠4）+6（∠2+∠3）　　=10（∠1+∠4）360° 所以∠1＋∠4=36° 所以∠AOB=36°×2=72°68．1 = 1 + 1 + 1 +
12 4 8 12 2469．360＝23×32×5（1+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）=117070．
3 5 7 11 13 17
组号
33=3 × 1191=7 × 13105=3 × 5 × 7143=11 × 1355=5 × 1125=52231=3 × 7 ×221=13 × 17119=7 × 1739=3 × 13
1 0 0 1 0 00 0 1 0 1 01 1 1 0 0 00 0 0 1 1 00 1 0 1 0 00 2 0 0 0 01 0 1 1 0 00 0 0 0 1 10 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0
1122211122
所以分成的两组是：33，91，25，231，221；105，143，55，119，3971．17=3+3+3+3+3+23×3×3×3×3×2=486　　72．从已知可得，两个顾客买走的货物的和是 3 的倍数，而六箱货物的 总和除以 3 余 2，所以找出除以 3 余 2 的那一箱的货物即可，20÷3=6??2 所以剩下的那箱货物重 20 千克。73．设原来的三个数是 1、2、3，按照规则做可发现：1 2 35 2 35 8 35 8 135 8 13 无论如何进行下去所得的结果都是两奇一偶，而得不出两偶一奇来，所以原来的数不可能是 1、2、3。74．只有质数的平方数有三个约数。由小到大排列的第 10 个质数是 29。 所求数为 292=84175．5×30+15=165（分）因为不答减 4 分，所以不答几道题都减偶数分。因为答错 1 题减 6 分，所以答错几道题都是减偶数分。165-偶数-偶数=奇数参赛学生共 247 人，也是奇数人，247 个奇数和相加还是奇数。76．此题的答案不唯一。77．（mod11）≡73×3+2（mod11）≡3433×49（mod11）≡23×5（mod11）≡7（mod11）≡1（mod11）5577≡0（mod11）77≡7+1+0（mod11）≡8（mod11） 所以余数是 8。78．有 24 个零。79．证明略。80．取[45，60]=180（180÷50×2 ）÷（180÷45 + 180÷60） =
363581．｛0～30｝、｛10～40｝、｛20～50｝、｛30～60｝ 把 60 米分成 4 段当做 4 个抽屉。34÷4=8??2所以他必有一段 30 米的路程至少跑了 8 步。82．ABABAB×120=[（100000×A+1000A+10A）+（10000B+100B+B）]×120=（101B）×120=[10101×（10A+B）]×120=AB×1=AB×3×7×13×37×2×2×2×3×5=AB×35×37×39×2×2×2×3此题已有 35、37、39，还缺 36、38，这里缺 3 和 19，∴AB=3×19=5783．13=4×3+1至少有四个点落在一个小正方形内。　　84．第一次烤第一个和第二个的一面，第二次烤第一个的另一面与第三 个的一面，第三次烤第二个和第三个的另一面。2×3=6（分钟）85．提示：转化成六个点　　86．可以，一个人翻动即可，先翻动三个杯口朝上的杯子，再将任一个 杯子连续翻动两次。87．30×8÷（2+8）=24（立方厘米）88．“我”：36 岁，“您”：27 岁。89．5 刀90．2 盘91．92．23+27+18-（4+5+7）+2=5493．（1）车站设在 D 点、E 点或 D 与 E 之间的任一点。（2）如果再加一个 P 村，则车站应设在 E 点。94．麦场设在 C 处最好。　　95．把年龄积 13440 分解质因数，再把所分解的各个质因数，重新组合 成 4 个连续偶数。　　×5×7=23×（2×5）×（22×3）×（2×7）=8×10×12×14　　这四位小朋友的年龄依次是 8 岁、10 岁、12 岁、14 岁，所以他们中大 哥哥的年龄是 14 岁。96．除以 3 余 2 的数有：2、5、8、11、14、17、20、??这些数除以12 的余数是 2、5、8、11。　　除以 4 余 1 的数有：1、5、9、13、17、21、??这些数除以 12 的余数 是 1、5、9。　　只有除以以 12 余 5 的数能满足除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 12 余数又 相同的条件，所以，要把这些钱平均分给 12 人，余下 5 元。97．[5，6，8，9]=360360×3-2=107898．拼得的正方形面积是 8×32=256（平方分米）　　因为 256=162，所以正方形的边长为 16 分米，正方形的周长是 16×4（分 米）=64 米。上届中学生运动会跳远最高记录是 64 米。
99．先取长方形任意长边长的中点，连辅助线，然后沿辅助线剪开，把 长方形分割为 1、2 两部分如图（1），拼合成图（2）、（3）、（4）三种几 何图形。100．因为 （mod13）　　　　　　　24≡11（mod13） 所以 ≡8×11（mod13）≡10（mod13）∴263947 乘以 24 再除以 13，所得余数为 10。
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