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概率论与数理统计第二版谢永钦课后答案.doc116页
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概率论与数理统计习题及答案
1.?略.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:?
(1) A发生,B,C都不发生;
(2) A与B发生,C不发生;?
(3) A,B,C都发生;
(4) A,B,C至少有一个发生;?
(5) A,B,C都不发生;
(6) A,B,C不都发生;?
(7) A,B,C至多有2个发生;
(8) A,B,C至少有2个发生.?
【解】(1) A (2) AB (3) ABC
(4) A∪B∪CC∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC
7 BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪∪∪
8 AB∪BC∪CAAB∪AC∪BC∪ABC
3.?略.见教材习题参考答案?
4.设A,B为随机事件,且P(A)0.7,PA?B0.3,求P().?
【解】 P()1?P(AB)1?[PA?PA?B]
1?[0.7?0.3]0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)0.6,PB0.7,求:?
(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值??
(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值??【解】(1) 当ABA时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A∪BΩ时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)P(B)1/4,P(C)1/3且P(AB)P(BC)0,?P(AC)1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.?
【解】P(A∪B∪C)PA+PB+PC?PAB?PBC?PAC+PABC
7.?从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
8.?对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1) 求五个人的生日都在星期日的概率;
(2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1) 设A1五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(A1)()5
(亦可用独立性求解,下同)
(2) 设A2五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故
3 设A3五个人的生日不都在星期日
P(A3)1?PA11?5
9.?略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(nN).试求其中恰有m件(m≤M)正品(记为A)的概率.如果:?
(1) n件是同时取出的;
(2) n件是无放回逐件取出的;?
(3) n件是有放回逐件取出的
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,买一张彩票会中万元的是随机事件,不会在点.故的说法错误.,从一副洗匀且背面朝上的扑克牌(大,小王除外)中任意抽取一张牌,抽到的牌面是黑桃的可能性是.故正确;,掷一枚均匀的正方体形状的骰子,偶数点朝上的可能性是.故正确;,从分别标有数字,,,,的五张纸条中,任意抽取一张,抽到的纸条是"的可能性是.故正确.故选.
本题考查的是可能性大小的判断,解决这类题目要注意具体情况具体对待.一般地必然事件的可能性大小为,不可能事件发生的可能性大小为,随机事件发生的可能性大小在至之间.
4047@@3@@@@可能性的大小@@@@@@271@@Math@@Junior@@$271@@2@@@@概率@@@@@@54@@Math@@Junior@@$54@@1@@@@统计与概率@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第一大题，第9小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图所示,下列说法错误的是(
)A、买一张彩票会中500万元的可能性在图中的大致位置是点MB、从一副洗匀且背面朝上的扑克牌(大,小王除外)中任意抽取一张牌,抽到的牌面是黑桃的可能性在图中的大致位置是点NC、掷一枚均匀的正方体形状的骰子,偶数点朝上的可能性在图中的大致位置是点PD、从分别标有数字1,2,3,4,5的五张纸条中,任意抽取一张,抽到的纸条是"{6}''的可能性在图中的大致位置是点Q（2006o潍坊）（A题）小明与小亮玩掷骰子游戏，有两个均匀的正方体骰子，六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这六个数．如果掷出的两个骰子的两个数的和为奇数则小明赢，如果掷出的两个骰子的两个数的和为偶数则小亮赢，则小明赢的概率是．
解：列表得：
∴小明赢的概率是=．
本题考查概率的求法，关键是找到所有存在的情况．石大概率论第一章-工作总结范文网
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石大概率论第一章
绪论篇? 随机现象? 任务与研究方式? 概率论起源? 发展简史 ? 应用前景 ? 学习方法指导必然现象与随机现象必然现象： 在一定条件下，某些事情一定发生或一定不发生的现象。Necessity Phenomenon随机现象：在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象。Random Phenomenon任务与研究方式概率论与数理统计的任务:The Task of Probability and Statistics研究和揭示随机现象的统计规律性。研究方式： Study manner从数量的侧面研究随机现象统计规律。 Statistics Law概 率 论 起 源Origin概率论与数理统计是一门古老的学科， 它起源于十七世纪资本主义上升的初期，这 时航海商业有了很大的发展，关闭的封建社 会经济正在被航海商业经济所取代。然而航 海商业是冒风险的事业，人们自然要关心大 量投资是否有利可图？怎样估计出现各种不 幸事故与自然灾害的可能性？在桥牌活动中， 经常需要判断某种花色在对方手中的分配等 等。从某种意义上讲，概率论与数理统计正 是从研究这类问题开始的。发 展 简 史Simple history随机发生器――骰子的产生公元前1500年 古埃及 “猎犬与胡狼” 公元前1400年 古埃及 骰子产生 骰子：对面之和为7 公元前1200年 用脚上的距骨来做骰子概率思想的萌芽――文艺复兴时期意大利 1477年 但丁《神曲》 在该书的“编印缘起”中讲到了投掷 三颗骰子可能出现的各种结果.代表人物卡尔达诺（）意大利数学和医学 教授 1526年 《机会性游戏手册》 1663年出版 伽利略 1613年和1623年之间 《关于骰子 游戏的思想》 他解释了在抛掷三颗骰子时为什么会有216 种同等可能的结果，以及为什么三颗骰子的 某些和数的出现看来似乎有同样大小的可能 性，而玩骰子的人们却认为不是同等可能。 比如和数为9和和数为10哪个更占优势？概率的产生点问题 对于数学中一个非常特别的问题的 解法的探求成为数学化的概率科学 产生的标志之一，这个问题被称作 “点问题”。 1654年 德.梅勒 法国的一位军人、语言学 家、古典学者 问题形式：假设两个赌博者（德.梅勒和他 的一个朋友）每人出30个金币，两人各自选 取骰子中的一个点数，谁先掷出该点数3次， 谁就赢得全部赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选的 点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点 数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由 于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。 他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？ 帕斯卡 法国“最伟大的天才” 费马 业余数学家之王 两人在通信中正确解决了“点问题”，还创 造了一种研究的传统――用数学方法（主要 是组合数学）研究和思考机会性游戏。被称 为“数学史上的一个里程碑”。惠更斯（荷兰） 1657年 《论掷骰子游戏 中的计算》――概率论中最早的论著 早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马 和惠更斯，这一时期被称为组合概率时期概率的发展瑞士数学家族――贝努利家族 雅可布.贝努利 提出“贝努利大数定律”， 并花了20年的时间来证明。 1713年，出版《猜度术》。 尼古拉.贝努利 提出著名的“圣彼得堡问题”拉普拉斯（法国） 明确给出概率的古典定义 证明了“棣莫佛―拉普拉斯中心极限定理”， 建立了观测误差理论和最小二乘法 1812年 出版《分析的概率理论》 成为严谨的学科 1906年 俄数学家马尔科夫提出“马尔科夫链” 1934年 前苏联数学家辛钦()提出 “平稳过程理论”以及“辛钦大数定 20世纪初 完成了勒贝格测度与积分理论及 律” 随后发展的抽象测度和积分理论1933年 柯尔莫哥洛夫 《概率论基础》首次给出概率的测度论式定义和一套严 密的公理化体系，其公理化方法成为现 代概率论的基础，使概率论成为严谨的 数学分支。电子计算机的问世，进一步加速了概率论与 数理统计的发展。六十年代后，形成了许多 新的统计分支：时间序列分析、统计推断、 稳健统计、投影寻踪等。应 用 前 景 Prospect概率论与数理统计应用呈现出极其壮 观的局面，尤其在质量管理、计量经济学、 计量心理学、金融数学方面起着重要的作用。 数理统计已渗透于工业统计、农业统计、水 文统计、统计医学、统计力学、统计物理学、 统计化学、统计教育学、统计体育学、统计 心理学等许多领域。气象预报、产量预报、 地震预报、石油勘探开发、可靠性工程等凡 是有数据需要处理的地方，都离不开概率统 计。因此概率论与数理统计作为一门应用数 学课程是非常重要的。学习方法指导学习概率论与数理统计重点要理解掌握 它的基本概念、基本理论和常用统计方法的 具体应用。 理解实质 掌握内涵 循序渐进 抓住典型 触类旁通 开拓思路 善于分析 寻找规律 勇于创新 注意加强前后知识的联系，善于把新问 题化作老问题加以解决，掌握解决处理实际 问题的一般方法，逐步提高分析问题、解决 问题的能力。使用教材及参考书教材：《随机数据处理方法》（第三版）石大出版社，王清河等编著。参考书：1.《概率论与数理统计》（第三版）高教出版社，盛骤等编。2. Introduction to Probability and Statistics, Sixth Edition ,Mendenhall . 3.《概率论与数理统计学习指导》（胶印本）常兆光、王清河等编著概率论篇第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其分布第三章 随机变量的数字特征 第四章 大数定律与中心极限定理第一章 随机事件与概率? ? ? ? ? 随机试验与随机事件 频率与概率 等可能概型、几何概型 条件概率 事件的独立性 ? 综 合 练 习§1.1 随机试验与随机事件Random Experiments and Random Events随机试验随机事件样本空间Sample Space事件之间的关系及运算一. 随机试验Random ExperimentsE1： 掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况。 E2： 一射手射击，直到击中为止，观察射击情况； E3： 从一批灯泡中任意抽取一只，测其寿命。（1 ）试验可以在相同条件下重复进行； （ 2 ）每次试验的可能结果不止一个，但能 事先明确试验的所有可能结果； （ 3 ）进行一次试验之前，不能确定哪一个 结果会出现。 具有以上三个特征的试验叫做随机试验。 E 表示。 简称为试验，用记号二. 随机事件 Random Events随机试验中的每一个可能结果称为随机事件 （简称为事件）， 常用大写字母 A，B，C 等表示。例投掷一枚骰子，观察可能出现的点数1. 事件A：出现的点数为奇数 2. 事件B：出现的点数小于4 3. 事件 e1 :出现1点 4. 事件 ei :出现的点数为i(i=2,3,4,5,6) 当事件 e1 , e3 或 e5 发生时，A发生，即A ? { e1,e3,e5}.不可能再分的事件； 基本事件：事件 分类由基本事件复合而成的事件。 复合事件：必然事件: 一定发生的事件, 记作 ? 。 不可能事件: 一定不发生的事件, 记作 ? 。投掷一枚硬币的基本事件: e1 :{H} e 2 :{T} 投掷两枚硬币的基本事件: e1 :{HH} e 2 :{HT} e3 :{TH}e 4 :{TT}投掷一枚骰子的基本事件和复合事件事件 ei 和事件A：出现的点数为奇数需要指出的是无论是必然事件、随机事件还是不可 能事件，都是相对“一定条件”而言的。 条件发生变化，事件的性质也发生变化。 例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数 之和为 3 点”及“出现的点数之和大于 3 若同时抛掷 4 颗骰子， 点”，都是随机事件。“出现的点数之和为 3 点”， 则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于 3 点”则是必然事件了。 为了以后讨论问题方便， 通常将必然事件和 不可能事件看成是特殊的随机事件。? ? 基本事件：记为e； ? ? ? ?复合事件：记为A、B等； 随机事件 ? 必然事件：记为?； ?特殊事件? ? ? ?不可能事件：记为?。 ?三.样本空间Sample Space样本空间: 由试验所有可能结果构成的集合称为样 本空间，通常用符号? 表示，?中的每个元 素称为样本点。 基本事件: 只包含一个样本点的事件称为基本事 件Exp 1-1 将一枚硬币连掷两次，写出这一 随机试验的样本空间。 SolutionSOL ： 记正面为H , 反面为T , ? 为样本空间， 则? ={ HH，HT，TH，TT } ? ? {e1，e2，e3，e4 }Exp1-2 记录某电话交换台在一分钟内收到 的呼叫次数，写出样本空间 ? 。SOL ： ? ={0，1，2，3, ? }Exp1-3 在一批灯泡中任取一只测其寿命，样 本空间为 ? = t | t ? 0, t ? R ，而寿命小于 5 小 时为一随机事件，可表示为 A = ?t | 0 ? t ? 5?。??Exp1-4 向某一目标射击一发炮弹，观察落点的 分布情况，写出这一随机试验的样本空间 ? 。SOL ：假定平面上已建立了坐标系，目标所在区域 记为 G ，则样本空间 ? =（ ? x，y） （ | x，y） ? G ?。样本空间中的样本点是由试 需要指出的是： Aim 验目的所决定的。 （ 1 ）将一骰子连续抛掷 3 次，观察出现的 4， ?， 18 } ； ? ={ 3， 点数之和，（2 ）将一骰子连续抛掷 3 次，观察六点出 现的次数，? ={ 0， 1， 2， 3 }。以上两例，同是抛掷一颗骰子 3 次，由于试 验目的不同，其样本空间也就不一样。四. 事件及其运算关系若记 ? ：样本空间，? ：不可能事件， e ：基本 ?，An ?为随机事件。则有事 事件， A，B ， A1，A2， 件之间的运算关系如下： （1）包含关系：记作 A ? B ，表示事件 A 发生 必导致事件 B 发生 （2）相等关系： 即 A? B且B ? A 记作 A ? B ， （3）和事件：记作A ? B ， A or B or both有限个事件和事件记作 A1 ? A2 ? ? ? An ? ? ? Aii ?1n无限个事件和事件记作 A1 ? A2 ? ? ? An ? ? ? ? ? Aii ?1?AB ）， （4）积事件：记作A ? B (简记为? ? Ai 有限个事件的积事件记作 A1 ? A2 ? ? ? An ?i ?1n无限多个事件的积事件记作A1 ? A2 ? ? ? An ? ? ? ? ? Aii ?1?Both A and B（5 ）对立事件（余事件）： Complement 事件 B 的对立事件记作B ， 表示事件B 不发生；（6）差事件：事件 A 与事件B 的差事件记作A ? B ，表示事件 A 发生而事件B 不发生；A ? B ? ABMutually exclusive （7）互不相容（互斥）：若 AB ? ? ，则称事件A 与 事件B 互不相容；2， ?) ， 若 ?i ? j，Ai A j ? ? (i、j ? 1， ?，An ?为两两互不相容的。 则称 A1，A2，（8 ）若 AB ? ? 且 A ? B ? ? ，则称事件A 与事 即 A = B ， B =A 。 件 B 互逆，（9）摩根定理（对偶原理）：A? B ? A ? BA? B ? A ? B（10）运算规律(交换律，结合律，分配律) 参照集合的运算Exp 1-5 上例 1-1 讨论续： 记A1 表示：“第一次出现正面”，即A1 ? {HH，HT} ? ? e1 ? e2A2 表示：“两次出现同一面”，即A2 ? {HH，TT} ? ? e1 ? e4A3 表示：“只出现一次正面”，即则 A1 ? A2 ? {HH，HT，TT } ； A1 ? A2 ? {HH } ? e1 ； A1 ? A2 = A1 A2 = e2 ；A3 ? {HT，TH} ? ? e2 ? e3由于 A2 A3 ? ? ，故 A2 与 A3 互不相容，又由于 A2 ? A3 ? ? ， 所以 A2 与A3 互逆。结论：两事件互逆必互不相容，反之不然。需要指出的是：熟练掌握事件间的运算关 系是正确计算随机事件的概率之基础。在研究 实际问题时，往往需要考虑试验结果中各种可 能的事件，而这些事件通常是相互关联的。研 究事件之间的关系，进而研究这些事件的概率 之间的关系，就能够利用简单事件的概率去推 算较复杂事件的概率。因此应当善于把某些复 杂事件表示为若干个简单事件的和或积。要实 现这一点，除正确理解事件间关系及运算外， 还必须对具体问题进行具体分析。CH1例1-6 设A,B,C 为三个事件，试用事件之间的运 算关系表示下列事件 （1）A发生而B与C都不发生； A B C ABC A? B ?C （2）A,B,C恰有一个发生；( ABC ) ( ABC ) ( ABC )（3）A,B,C至少有一个发生； A B C（4）A,B,C至多有两个发生。A B CA B C思考： A,B,C 都不发生与A,B,C 不都发生的区别§1.2 频率与概率Frequency and Probability一.频率二.概率的统计性定义 三.概率的公理化定义CH1一. 频率Frequency在概率论中， 将描述随机事件 A 发生的可能性大小 的数记为 P( A) ，称 P( A) 为随机事件 A 的概率。 [引例] 将一硬币连续掷 n 次， 用 A 表示出现正面n( A) 表示n 次试验中A 出现的次数，则 这一事件，n( A) f n ( A) ? ? n在一定程度上能反映事件 A 发生的可能性大小。 n( A) 试验表明 （见表 1-1 及表 1-2） 随着 n 的增大， n 逐渐稳定于 1/2， 在 1/2 附近波动的幅度越来越小，表 1-1n =5 n =50 n =500 实验序号 n ( A) f n ( A) n ( A) f n ( A) n ( A) f n ( A) 1 2 0.4 22 0.44 251 0.502 2 3 0.6 25 0.50 249 0.498 3 1 0.2 21 0.42 256 0.512 4 5 1.0 25 0.50 253 0.506 5 1 0.2 24 0.48 251 0.502 6 2 0.4 21 0.42 246 0.492 7 4 0.8 18 0.36 244 0.488 8 2 0.4 24 0.48 258 0.516 9 3 0.6 27 0.54 262 0.524 10 3 0.6 31 0.62 247 0.494表 1-2 实 验 者 蒲 丰n n ( A)f n ( A)40400120.5 0.5005K.皮尔逊 12000 K.皮尔逊 24000试验表明(见表 1-1 及表 1-2)随着 n 的增大， n( A) 1 1 在 附近波动的幅度越来越小,逐渐稳定于 , 2 2 n 通常把这个稳定值称 1/2 这个值称为 f n ( A) 的稳定值，为事件A （出现正面）的概率。 f n ( A) 称为 n 次试验中A 出现的频率， n( A) 称为 n 次试验中 A 出现的频数。频率定义：Definition of Frequency定义 1-1 设 E 为随机试验， A 为其中任一事件， n( A) 为事件 A 在 n 次重复试验中出现的次数，则称比 n( A) 值 为 n 次试验中 A 出现的频率，记为 n n( A) （1-1） f n ( A) ? ? n 其中 n( A) 称为事件 A 在 n 次重复试验中出现的频数。当 n 增大时， f n ( A) 逐渐稳定于某一个确定值 p 上， 称 p 为频率的稳定值。由频率的定义不难看出 f n ( A) 具有以下性质：频率 f n ( A) 具有以下性质：（1）非负性： 0 ? f n ( A) ? 1 ； （2）规范性： f n (?) ? 1 ；Property（3）可加性：若事件 A 与事件 B 互不相容，则f n ( A ? B ) ? f n ( A) ? f n ( B )?，Am 两两互不相容，则 进一步，若 A1，A2，m mf n ( ? Ai ) ? ? f n ( Ai )i ?1 i ?1二. 概率的统计性定义Statistical definition of Probability需 要 指 出 的 是频率在一定程度上反映了事件 A 发生的 可能性大小，但在一定条件下做重复试验， 其结果可能是不一样的，因此不能用频率代 替概率。不过由大数定律保证，频率总能稳 定在某个固定数 p 周围，并且fn ( A) ??? ?p由此得概率的统计性定义如下：n??定义 1-2 在不变条件下做大量重复试验，称在重复试 验中事件 A 发生的频率的稳定值 p 为事件 A 的概率， 记为 P( A) 。三. 概率的公理化定义Axiomatize Definition定义 1-3 设 E 为随机试验， ? 为它的样本空间， 对 E 中的每一个事件 A 都赋予一个实数，记为 P( A) ， 且满足 （1）非负性： 0 ? P( A) ? 1； （2）规范性： P(?) ? 1 ； （3）可加性：若 A1 , A2 ,?, An ,? 两两互不相容， 则有 P( ? Ai ) ? ? P ( Ai ) 。i ?1 i ?1 ? ?则称 P( A) 为事件 A 的概率。概率 P( A) 的性质如下：（1 ）P (? ) ? 0 ；n n（2）若 A1 , A2 ,?, An 两两互不相容，则P ( ? Ai ) ? ? P ( Ai )i ?1 i ?1（3）若A 的对立事件记为 A ，则 P( A) ? 1 ? P( A ) ；由于 A ? A ? ? ，且 A ? A ? ? ，故由性质（2） Proof ：及规范性得 1 ? P(?) ? P( A) ? P( A )即 P( A) ? 1 ? P( A ) 。（4）若 A ? B ，则 P ( B ? A) ? P ( B ) ? P ( A) 且 P ( A) ? P ( B ) ；由于 B ? A ? ( B ? A)，而A ? ( B ? A) ? ? ， Proof ：所以由性质（2）得P( B ) ? P( A ? ( B ? A)) ? P( A) ? P( B ? A)即 P ( B ? A) ? P ( B ) ? P ( A) 。又 P( B ? A) ? 0 ，故 P ( B ) ? P ( A) ? 0 ，即P( A) ? P ( B ) 。P( B ? A) ? P( B) ? P( AB)（5） P( A ? B ) ? P( A) ? P( B ) ? P( AB) Proof ：由于A ? B ? A ? ( B ? AB)，而A ? ( B ? AB) ? ?所以由性质（2）、（4）得P( A ? B ) ? P( A) ? P( B ? AB) ? P( A) ? P( B ) ? P( AB)此性质可推广到任意有限个事件 A1 , A2 ,? , An ，即P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 A3 ) ? P ( A2 A3 ) ? P ( A1 A2 A3 )n n n i ?1 i? j i? j?kP ( ? Ai ) ? ? P ( Ai ) ? ? P ( Ai A j ) ? ? P ( Ai A j Ak )i ?1n加法公式? ? ? ( ?1) n ?1 P ( A1 ? An )Exp1-7 已知事件 A 、 B 满足 P( AB) ? P( A ? B ) 且 P( A) ? p ，求 P( B) 。 SOL one ：由性质（5 ）知P( B ) = P( A ? B ) ? P( A) ? P( AB) =1 ? P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( AB )（性质 5） （性质 3） =1 ? P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( AB ) （对偶原理） =1 ? P( A) =1 ? p （已知条件） SOL two：由于 P( AB) ? P( A ? B ) = P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) =1 ? P( A) ? P( B ) ? P( AB ) 从而得1 ? P( A) ? P( B ) ? 0 ，即P( B) ? 1 ? P( A) ? 1 ? pExp1-8 对 于 事 件 A 、 B、C 有 P( AC ) ? 1 / 8 ， 求 A、 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 / 4 ， P( AB) ? P( BC ) ? 0，B、C 至少出现一个的概率。解：由概率的加法公式 P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( AB ) ? P ( AC ) ? P ( BC ) ? P ( ABC ) 而 ABC ? AB 所以 P ( ABC ) ? P ( AB ) ? 0 ， 故P( ABC ) ? 0 ，即1 1 5 P( A ? B ? C ) ? ? 3 ? ? 4 8 8Exp 1-9 设 A ，B 为随机事件， P( A) ? 0.7 ，P( A ? B) ? 0.3 , 求 P( A B ) .解：由P( A ? B) ? P( A) ? P( AB)P( AB) ? 0.4以及题设条件，得从而由对偶原理以及概率的性质3可知P( A B) ? P( A B) ? 1 ? P( AB) ? 0.6类似问题：设 A ， B 为随机事件，P( A) ? 0.6P( B ? A) ? 0.2 ，求 P( A ，B) 。§1.3 古典概型（等可能概型）Classical Probability model[引例] 掷一枚硬币，则样本空间? ={H，T }； 掷一颗骰子，则样本空间 ? ={1，2，3，4，5，6}。这两个试验具有以下两个共同特征：（1 ） 试验的样本空间所含基本事件的个数只有有 限个；（2）每个基本事件出现的机会都是均等的；称具有上述两个特征的概型为古典概型(等可能概型)。Equal-Possibility Probability model定义 1-4?，en },如果 设 ? ? {e1，e2， P( e1 ) ? P( e2 ) ? ? ? P( en )则称这一概型为古典概型（等可能概型）。2， ?，n 。 对于古典概型，显然有P(ei ) ? 1 / n ，i ? 1，?，eik } ，则 因此，若 A 为 ? 中的事件，且 A ? {ei1，ei 2，即k P ( A) ? ? P ( eij ) ? n j ?1kA中包含基本事件的个数 n( A) P( A) ? ? ? ?中基本事件的总数 n (?)（1-2）例 1-10 将一枚硬币连续掷三次，观察正反面出现 的情况，求： （1）样本空间 ? ;（2）恰有一次出现正面的概率； （3）至少有一次出现正面的概率。解：由题意知（1） ? ={ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }；（2）设事件A 表示“恰有一次出现正面”，则n ( A )=3， 故 且n ( ? )=8，n ( A) 3 P ( A) ? ? n (?) 8（3）设事件B 表示“至少有一次出现正面”，则1 2 3 n ( B )= C3 =7，且 n ( ? )=8，故 ? C3 ? C3n( B ) 7 P( B ) ? ? n (?) 8或用性质（3）先求逆事件的概率： 即 B 表示 B 的对立事则n ( B )=1，所以 件（三次中没有一次出现正面），1 P( B ) ? ，故 87 P( B ) ? 1 ? P( B ) ? 8例1-11 从一副扑克牌中的13张黑桃里，一张 一张有放回的抽取3张，求 （1）没有同号的概率； （2）有同号的概率； （3）3张中至多有2张同号的概率。 C ：3 分析：设 A ：没有同号，B ：有同号， 3 3 n ( A ) ? A n ( ? ) ? 13 ，而 张中至多有2张同号，则 13 从而可得 P ( A) ，显然 B ? A ，从而由性质3可得 其概率； 事件 C 的概率也可由其逆事件“全部同号” 的概率求得。 问：恰有两张同号的概率是多少？例 1-12 一个盒子中有 6 只球，其中有 4 个白球 2 个红球，从中取球两次，每次取一只，求下列事件的概 率： A ：“取到的两只球均为白球”；B ：“取到的两只球同色”；C ：“取到的两只球至少有一只白球”。解：考虑有放回抽样和无放回抽样两种情况。由于 n ( A )= 4 ? 4 ,且 n ( ? )= 6 ? 6 ,故 (a)有放回抽样：n ( A) 4 ? 4 4 P ( A) ? ? ? n (?) 6 ? 6 9又设D 表示“取到的两只球均为红球”，则又设D 表示“取到的两只球均为红球”，则 n ( D ) ? 2 ? 2 ,得 P( D ) ? 1 / 9 , 而 B ? A ? D 且 AD ? ? ，故5 P( B) ? P( A) ? P( D) ? 9 1 8 由于C ? D ，所以 P(C ) ? 1 ? P( D) ? 1 ? ?9 9(b) 无放回抽样(仍用上述记号):由于n (?) = 6 ? 5, n( A) = 4 ? 3, n( D) ? 2 ? 1 ，P( D) ? 1 / 15 ，所以n ( A) 4 ? 3 2 P ( A) ? ? ? n(?) 6 ? 5 5P( B) ? P( A) ? P( D) ? 7 / 15 P(C ) ? 1 ? P( D) ? 1 ? 1 / 15 ? 14 / 15从 0，1，2，3 这四个数中任取三个不同 的数字进行排列， 求取得的三个数字排成一个三位数且 为偶数的概率。 解： 设 A 表示 “取得的三个数排成一个三位数且为 偶数”； A0 表示： “取得的三个数排成一个三位数且 末位为 0”； A2 表示：“取得的三个数排成一个三位 数且末位为 2”。 由于首位不能为 0，所以 例 1-13n ( A0 ) 3? 2 1 P ( A0 ) ? ? ? n (?) 4 ? 3 ? 2 4n ( A2 ) 2?2 1 P ( A2 ) ? ? ? n (?) 4 ? 3 ? 2 6又由于 A0 A2 ? ? ，故由可加性得：P( A) ? P( A0 ) ? P( A2 ) ? 5 / 12例1-14 在1~1000的整数中随机的取一个数， 问取到的整数既不能被3整除，又不能被4整除的概 率是多少？ 分析：设 A ：该数能被3整除， B ：该数能被4 整除， 则所求概率即为 P( A B ) ,P( A B ) ? P( A B) ? 1 ? P( A B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB)而 AB 表示该数既能被3又能被4整除，即能 被12整除，易求出。 问：取到的数能被3整除，或能被4整除的概 率又是多少？例 1-15 设有 m 件产品,其中有 k 件次品,从中任意 抽取 n 件,问其中恰有 j 件次品的概率是多少( j ? k )？ 解：设 A 表示：“所取 n 件中恰有 j 件次品”，n n 而 m 件产品中抽取 n 件,共有取法 Cm 种, 即n ( ? )=Cm ,取到的 n 件产品中有 j 件次品， 这 j 件次品只能来自 k 件有取法 Ck 种，剩余的 n ? j 是正品，只能来自 次品中，n? j m ? k 件正品中，有取法 Cm ? k 种，因此 n 件产品中恰有jn? j j 件次品的取法共有Ckj Cm ? k 种，于是所求概率为P( A)j ? Ckn? j Cm ? kn /C m类似思考题举例如下： 例：现从20名候选人中选6人组成一个代表 团，20人中有8名是干部，4名是工人，5名是 教师，3名是学生。假设每人有相同的机会被选 到，求被选上的6人中恰有3名干部，1名工人， 1名教师和1名学生的概率。 例：从一副扑克牌共52张牌中任意取出13 张来，求有1张 A ，2张 K ，3张 Q ，4张 J 的 概率。例 1-16 有 n 个人，每个人以相同的概率 1 被分配 N 到 N （ n & N ）间房的每一间中去，求下列事件的概率： A ：某指定的 n 间房中各有一个人； B ：恰有 n 间房其中各有一个人； C ：某指定的房中恰有 m 个人（ m & n ）。 n n 个人共有 N 种可能， 解： n(?) ? N （每个人有N n 种）， n( A) ? n! ，故n! P( A) ? n N n n 个间房即可)， n( B ) ? C N n! (只要n 个人恰好在 所以n CN n! N! P( B ) ? n ? n N N ( N ? n )!m 事件C 中 m 个人可从n 个人中自由选，有C n 种选法， 而其余的n ? m 个人可以任意分配到N ? 1 间房中,m 所以有 （N ? 1)n ? m 种分法,因此 n(C ) ? Cn ( N ? 1) n ? m , 故m Cn ( N ? 1) n ?m 1 n ?m m 1 m P (C ) ? ? Cn ( ) (1 ? ) n N N N§1.4几 何 概 型引例[1] 某人午觉醒来，发现表停了。他打 开收音机，想听电台报时（整点报），求他等待时 间短于10分钟的概率。 引例[2] 如果在一个50000平方公里的海域里 有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油。假 如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概 率是多少？ 引例[3] 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌， 今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求 发现大肠杆菌的概率。如果一个试验具有以下两个特点： （1） ? 是一个几何区域，且其大小可以计量（长 度、面积、体积等），并把 ? 的度量记为 ?（?） ； （2）向 ? 中任掷一点，落在该区域任一点处都是 等可能的， 或者说， 落在 ? 中的区域 A 内的可能性与 A 的 计量 ? ( A) 成正比，而与 A 的形状无关。称此种概型为几何概型。 设 A 为 ? 中任一事件,且设 A ={掷点落在 A 内},则? ( A) P ( A) ? ? (?)Geometric Probability由此求得的概率称为几何概率。例 1-17 在边长为 1 的正方形 ? 中作一内切圆 A ， 并向 ? 中随机地投一点 M ，设 M 在 ? 中均匀分 布，试求点 M 落在 A 中的概率 P( A) 。解：由于 ? (?) =1， 圆 A 的半径为 1/2，所以? ( A) =? (1 / 2) ?2?4,即A?? ( A) ? P ( A) ? ? ? (?) 4Uniform Distribution例 1-18 两人相约某天 8 点到 9 点在预定地点会面， 先到者要等候另一个人 20 分钟，过时就离去，若每人 在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的， 求事 件 A ={两人能会面}的概率。 解：设 x、y 分别表示两 y人到达预定地点的时刻， 那60 么两人到达时间的一切可能 结果对应边长为 60 的正方形 20 里所有点，这个正方形就是 o x 20 60 样本空间? ，而两人能会面 的充要条件是 x ? y ? 20 ，即x ? y ? 20 且x ? y ? ?20 ， 所以， 2 2? ( A) 60 ? 40 5 P( A) ? ? ? 2 ? ( ?) 9 60例1-19 在区间（0，1）内任取两数，求两数 之和大于 6 5 的概率。y 解：设 A 表示两数之和大于 6/5， 6设 x、y 分别表示取到的两数， 那么 ( x, y ) 一切可以取到的结果51即为对应边长为 1 的正方形内0 所有的点，所以 ? (?) ? 1。 1 而事件 A 应满足 x ? y ? 6 5 ， 2 1? 1? 8 如图所示阴影部分。 所以， ? ( A) ? 2 ?1 ? 5 ? ? 25 , ? ? 故所求概率为 ? ( A) 8 P( A) ? ? . ? (?) 256 5x例 1-20 [投针问题] 平面上画着一些平行线， 它们之间的距离都等于 a ，向此平面任投一长度为 l (l ? a) 的针，试求此针与任一平行线相交的概率。 解：以x 表示 针的中点到最近的一条平行线的 距离，? 表示针与 平行线的交角，针与平行线的位 a Z关系见图 1 ―2 。 显 然 有 0? x? ， 2 0 ? ? ? ? ，以G 表示边长 ? ? 的长方形。 为a / 2 及 为使 x a 针与平行线相交，必须 l x ? sin ? ， 满足这个关系 2 g ，在图 1 式的区域记为 图 1―2 ―3 中阴影表出，x a/2Gl sin ? 2g图 1―3O所求概率为??1 ? l sin ?d? ? g的面积 0 2l 2 p? ? ? G的面积 a? / 2 ?a2lN ? ? anCH1§1.5 条 件 概 率条 乘 件 法 概 公 率 式全 概 率 公 式 贝叶斯（Bayes) 公式条 件 概 率 Conditional Probability记为 P( A B) 事件B 已发生的条件下事件A 发生的概率，[引例] 设 10 件产品中有 5 件不合格品，而 5 件 不合格品中有 3 件次品 2 件废品，现从 10 件产品中任 取一件，求（1）取得废品的概率；（2）已知取到的 是不合格品,它是废品的概率。 B 表示“取 解：设事件A 表示“取得废品”；事件 得不合格品”，则（1）取得废品的概率 P( A) ? 1 / 5（2）已知取到的是不合格品，它是废品的概率为 n( AB) P ( AB ) n ( AB) n (?) 2 ? ? ? P( A | B ) ? 5 n( B ) P( B) n( B ) n (?)定义 1-3 设 A、B 为样本空间 ? 中的两个事件， P( B) ? 0 ，则称 P( AB) P( A | B) ? （1-3） P( B)为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。可以验证 P( A | B ) 满足公理化定义，即（1） 0 ? P ( A | B ) ? 1 ； （2） P ( ? | B ) ? 1 ；?, An， ? 是两两互不相容的事件，则 （3）若 A1 , A2，? ?P(n ?1An | B) ? ? P( An | B)n ?1（1-4）由引例及定义 1-3 可总结出求条件概率的两 种方法：10 事件 B 发生后，在缩小的样本空间中计算事件 A 发生的概率 P( A | B ) ；2 0 在样本空间中先计算 P( AB) 、P( B) ，再按定义计算 P( A | B ) 。 既然不用定义 1-3 也可求条件概率 P( A | B ) ，因此上述定义式可反过来应用，即 先求概率 P( A | B) 、 P( B) ，由此计算 P( AB) 。即 得计算积事件概率的乘法公式：乘 法 公 式 Multiplication FormulaP( AB) ? P( A) P( B A), P( A) ? 0, P( AB) ? P( B) P( A B), P( B) ? 0,(1 ? 5) (1 ? 6)推广： ?，An 为 n 个事件， 设 A1，A2，P( A1 A2 ? Ai ?1 ) ? 0 , i ? 2， 3， ?，n ，则P( A1 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ? ? ? P( An | A1 ? An?1 ) 。在概率的计算中,有时所考虑的事件比较复杂,不 易直接计算,利用概率的性质可以简化计算,从而启发 我们常常把一个较复杂的事件分解成若干简单事件 （概 率较易计算） ,然后通过事件和或积的运算来求出概率。例 1-13 设有 10 支签，其中三个是中，一个人抽完 后，下一个接着抽，求下列事件概率： A ：“前二个人都没抽到中”； B：“前二个人都抽到中”； C ：“前二个人恰有一个抽到中”； D ：“第二个人抽到中”。 解：设事件 Ai 表示“第 i 个人抽到中”，则7 6 7 P( A) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ? ? ? 10 9 15 3 2 1 P( B) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ? ? ? 10 9 15 7 P(C ) ? P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 15或P (C ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 7 / 15由于 D ? A1D ? A1D 且 A1D ? A1D ? ? ，由可加性P( D) ? P( A1D ? A1D) ? P( A1D) ? P( A1D)? P( A1 ) P( D | A1 ) ? P( A1 ) P( D | A1 ) 3 2 7 3 3 ? ? ? ? ? 10 9 10 9 10 第三个人抽到中的概率 P( A3 ) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) ? ?? P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )3 2 1 3 7 2 7 3 2 7 6 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10由例 1-11 计算知， A1 ? A1 ? ?A2 ? D ? A1D ? A1D ? D( A1 ? A1 )A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3? A3 ( A1 A2 ? A1 A2 ? A1 A2 ? A1 A2 )且 A1 A2、A1 A2、A1 A2、A1 A2 两两互不相容， 其共同点是将要考虑的事件化为要考虑事件与若干个两两互不相容 事件的积事件的和事件。抛开问题的具体意义，将其共性抽象化，得全概 率公式：Total Probability Formula?，An 为两两互斥事件，且 定理 1-1 设 A1，A2，i ?12， ?， n ）则 ?A ? ? 有 ? Ai ? ? ， P( Ai ) ? 0 ，（ i ? 1，nP ( A) ? ? P ( Ai ) ? P ( A | Ai )i ?1n（ 1-8 ）n n证明：由条件 A ? ? ，则 A ? A? ? A ? Ai ? ? AAii ?1 i ?1?, An 两两互斥知 AA1 , AA2， ?, AAn 也两两互斥， 由 A1 , A2，因此由概率的有限可加性及乘法公式得P ( A) ? P ( ? AAi ) ? ? P( AAi ) ? ? P( Ai ) ? P( A | Ai )i ?1nnni ?1i ?1例1-14 某学生的钥匙丢了，他落在宿舍、教 室和路上的概率分别为40%，35%，25%；以上三种情 况下能找到钥匙的概率分别为90%，30%和10%，求该 生能找到他的钥匙的概率。 解：设 A1 ：“钥匙落在宿舍”， A2 ：“落在教 室”， 则 P( A ) ? 0 ，A3Ai：“能找到钥匙”， A1：“落在路上”， ? A2 ? A3 ? ? ，且 A 则由全概 1、A2、A3 两两互斥， 率公式，有P( A) ? ? P( Ai ) ? P( A | Ai )i ?13? 0.4 ? 0.9 ? 0.35 ? 0.3 ? 0.25? 0.1 ? 0.49.例 1-15 设有一箱同类产品是由三家工厂生产的， 其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4， 又知第一、二家工厂生产的产品有 2%的次品，第三家工 厂生产的产品有 4%的次品，现从箱中任取一只，问取到 的是次品的概率是多少？解： 设事件 A 表示: “取到的产品是次品” ;事件 Ai 表示: “取到的产品是第 i 家工厂生产的” （ i ? 1， 。 2， 3） 则 A1 ? A2 ? A3 ? ? ，且P( Ai ) ? 0 ， 又由于 A1、A2、A3 两故由全概率公式得 两互不相容，P( A) ? ? P( Ai ) ? P( A | Ai )31 2 1 2 1 4 ? ? ? ? ? ? ? 0.025 2 100 4 100 4 100i ?1问题：“若已知 P( A) ? 0 ，能否求出 P( Ai | A) ，即 已知取到的是次品，求它是第 i 家工厂生产的概率”。由条件概率定义 、乘法公式、全概率公式得P ( A A ) i P( Ai | A) ? ? P ( A)进而得P( Ai ) P( A | Ai )? P( A j ) P( A | A j )j ?131 2 ? P( A1 ) P ( A | A1 ) P( A1 | A) ? 3 ? 2 100 ? 0.4 0.025 P ( A ) P ( A | A ) ? j jj ?1同理得 P( A2 | A) ? 0.2 ， P( A3 | A) ? 0.4 。贝叶斯（Bayes) 公 式?，An 为两两互 定理 1-2（ Bayes 公式） 设 A1，A2，2， ?, n ） 不相容事件，且 ? Ai ? ? ， P ( Ai ) ? 0 ，（i ? 1，i ?1 n则 ? A ? ? ， P ( A) ? 0 ，有P ( Ai | A) ?P ( Ai ) P ( A | Ai )? P( A j ) P( A | A j )j ?1n2， ?, n ） （i ? 1，（1-9）证明略。例 1-15 根据统计数据，诊断患有某种癌与某种 B 化验指标的阳性有关，用A 表示该化验指标呈阳性, 表示被诊断者患有某种癌，并且 P ( A | B ) ? 0.98 ， P ( A | B ) ? 0.97 ，P ( B ) ? 0.005 ，已知某人该化验指标呈 阳性，试求此人患有此种癌的概率P ( B | A) 。解：由 Bayes 公式得 P( B ) P( A | B ) P( B | A) ? P( B ) P( A | B ) ? P( B ) P( A | B )0.005 ? 0.98 98 ? ? ? 0.141 0.005 ? 0.98 ? 0.995 ? 0.03 695这说明虽然患此种癌的病人该化验指标绝大部分 呈阳性，但该化验指标呈阳性的人患此种癌的比例并 不高。例 1-16 有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、 飞机的概率分别为 3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、 轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为 1/4、1/3、1/12、 0。结果他来迟了,试问此人乘火车来的概率是多少？Ai 分别表 解：设事件A 表示：“来迟了”；事件 示：“乘火车、轮船、汽车、飞机来”（i ? 1,2,3,4 ）， 则问题化为求P( A1 | A) 。P( A1 | A) ?P( A1 ) P( A | A1 )? P( A j ) P( A | A j )j ?143 1 ? 1 10 4 ? ? 3 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ?0 2 10 4 5 3 10 12 5例1-17：在一个每题答案有4种选择的测验中， 只有一种答案是正确的。学生不知道问题的正确答案 时，他就会作随机猜测。倘若我们假定一个学生确实 懂了和胡乱猜测的概率都是1/2，现在从卷面上看某 指定题是答对了。求该学生对该题确实是懂的概率。 解：设 A ：“该生对某指定问题作出正确回答”， B :“该生确实会做该题”， B :“该生是胡乱猜测该题答案”， 由题意，知： P( B) ? 0.5, P( B) ? 0.5, P( A B ) ? 0.25. 故， P( B) P( A B) P( AB)P( B A) ? P( A) P( B) P( A B) ? P( B ) P( A B ) 0.5 ?1 ? ? 0.8. 0.5 ?1 ? 0.5 ? 0.25 ?注：这为选择题的合理性提供依据。思考练习：设 10 件产品中有 4 件是不合格品，从 中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求 另一件也是不合格品的概率。解：设A 表示：“两件都是不合格品”； B 表示：“两件中至少有一件是不合格品”。 则所求概率为 P( A | B ) ， 显然 A ? B ，故 P( AB) ? P( A)2 2 P( A) ? C4 C10 ? 2 / 152 2 P( B) ? 1 ? C6 C10 ? 2/3所以2 15 1 ? P ( A | B ) ? P ( AB ) / P ( B ) ? 23 52 C4 1 P( A | B ) ? 1 1 ? 2 C6C4 ? C4 5或在缩小的样本空间中求P( A | B ) ，即§1.6 事件的独立性Independence of Event一般 P( A) ? P( A | B ) 。 设 A、B 为两个事件， P( B ) ? 0 ，[引例] 一盒子中有 2 个白球 3 个黑球，不放回的 每次取一球，求已知第一次取到白球的条件下，第二次 又取到白球的概率。 分析：设 A ：“第一次取到白球”； B ：“第二次 取到白球”， 即求 P(B A) ? 1 4 ， 而由全概率公式可得 P( B) ? 2 5 , 显然，P( B) ? P( B A). 2 若改为有放回的每次取一球，则 P ( B A) ? ? P( B) 5此时由乘法公式，可得 P( AB) ? P( A) P( B | A) ? P( A) P( B)定义 1-4设A、B 两个事件，如果 P ( AB ) ? P ( B ) P ( A)则称 A、B 为相互独立事件。 B 相互独立，则 由定义 1-4 易证，若事件A 与事件（1） A与B 、 A 与B 、 A 与B 也相互独立； （2） P( A) ? P( A | B )，P( B ) ? P( B | A) 。 证明：（1）欲证明 A、B 相互独立，只需证 P( AB ) ? P( A) P( B ) 即可。 而P( AB ) ? P( A ? AB) ? P( A) ? P( A) P( B) ? P( A)(1 ? P( B)) ? P( A) P( B )所以事件 A 与事件 B 相互独立。同理P ( A B ) ? P ( B ? AB) ? P ( B ) ? P ( A) P ( B )? P ( B )(1 ? P ( A)) ? P( A ) P( B )所以事件 A 与事件B 相互独立。对于事件 A 与事件 B ，由于 P( A B ) ? P( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B )? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? [1 ? P( A)][1 ? P( B )] ? P( A ) P( B )所以事件 A 与事件 B 相互独立。（2） P( A) ? P( A | B)，P( B) ? P( B | A) 。证：P ( A | B ) ? P ( AB ) / P ( B ) ? P ( A) P ( B ) / P ( B ) ? P ( A)同理可证 P ( B ) ? P ( B | A )注：必然事件 ? 与任何事件相互独立； 不可能事件? 与任何事件相互独立。例 1-18 甲、乙两人各自同时向敌机射击，已 知甲击中敌机的概率为 0.6， 乙击中敌机的概率为 0.5，求敌机被击中的概率。 B 表示:“乙击中 解：设 A 表示:“甲击中敌机”； 敌机”；C 表示:“敌机被击中”。 则C ? A ? B ， 于是 P(C ) ? P( A ? B ) ? P( A) ? P( B ) ? P( AB) B 相互独立，因此 由题意可认为事件A 与事件P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.8或 P (C ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? P( A B )? 1 ? P( A ) P( B ) ? 1 ? (1 ? P( A))(1 ? P( B))? 1 ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.5) ? 1 ? 0.2 ? 0.8? An 为 n 个随机事件，若对任 定义 1-5 设 A1，A2， 意的k (1 ? k ? n ) ，及任意的1 ? i1 ? i2 ? ? ? ik ? n 有 P ( Ai1 Ai 2 ? Ai k ) ? P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) ? P ( Aik ) ? An 相互独立。 则称 A1，A2，当n =3 时， A1，A2，A3 相互独立，指的是它们满足P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ； P ( A1 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A3 ) ； P( A2 A3 ) ? P( A2 ) P( A3 ) ;P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )? An 为 n 个随机事件，若任意 定义 1-6 设 A1，A2， ? An 两两 两个事件 Ai、Aj (i ? j ) 相互独立，则称 A1，A2，独立。显然，相互独立 ? 两两独立，反之不真。例1-19（伯恩斯坦反例） 一个均匀的正四面 体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面 染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色， 现在以 A, 分别记投一次四面体出现红、白、 B, C 黑颜色朝下的事件， 则由于四面体中有两面有红 1 色，因此， P ( A) ? ,2 1 同理，P( B) ? P(C ) ? , 容易算出 2 1 P( AB) ? P( BC ) ? P( AC ) ? ,4P( AB) ? P( A) P( B), P( BC ) ? P( B) P(C ), P( AC ) ? P( A) P(C)即 A, B, C 两两独立，但P( ABC ) ? 1 1 ? ? P( A) P( B) P(C ), 4 8因此， A, B, C不相互独立。注：（1）若 A, B, C 相互独立，则 A B, AB 及 A ? B 都与 C 相互独立。 （2）对于相互独立的随机事件 A1 , , An ， 由他们中任何一部分事件的运算结果（和、 积、差、逆等等）所得到的事件与其它一部 分事件或他们的运算结果都是相互独立的。（3）若随机事件 A1 ,n, An 相互独立，则n i ?1P(i ?1Ai ) ? 1 ? ? P( Ai )例1-20 设有电路（右图），其中 1、2、3、 4 为继电器接点，设 各继电器接点导通与否 1 2 相互独立，且每一继电 R L 器导通的概率均为 p ， 3 4 求 L ― R 为通路的概率。解：设事件 Ai 表示：“第 i 个继电器接点导通” （ i ? 1,2,3,4）；事件 A 表示：“ L ― R 为通路”。则A ? A1 A2 ? A3 A4 ，由于 A1，A2，A3，A4 相互独立，所以P( A) ? P( A1 A2 ? A3 A4 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )? p 2 ? p 2 ? p 4 ? p 2 (2 ? p 2 )例 1-21 一个元件能正常工作的概率叫做元件的可 靠性；由元件组成的系统能正常工作的概率叫做系统的 可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为 r (0 ? r ? 1) ，且各元件能否正常工作是相互独立的.设 2n(n ? 1) 个元件按照下图的两种联接方式构成两个系统 （记为 C1、C2 ），求它们的可靠性，并比较两个系统可 靠性的大小。A1 A2…An系统 1B1 B2…BnA1A2An系统 2B1…B2 Bn解：设如图所示，事件 Ai、Bi 分别表示 “第 i 个元件正常工作”，事件 C1、C2 分别表示“系 统 1 、系统 2 正常工作”。则 A1 A2 An …系统 1B1 B2…BnP(C1 ) ? P( A1 A2 ? An ? B1B2 ? Bn )? P( A1 A2 ? An ) ? P( B1B2 ? Bn )? P( A1 A2 ? An B1B2 ? Bn )? r ? r ? r ? r (2 ? r )n n 2n n nA1A2An系统 2B1P(C2 ) ? P[( A1…B2B1 ) ( A2 B2 )…Bn( An Bn )]? P( A1n i ?1B1 ) P( A2B2 )P( AnBn )? ? [ P( Ai ) ? P( Bi ) ? P( Ai Bi )]? ? ( r ? r ? r 2 ) ? ( 2r ? r 2 ) n ? r n ( 2 ? r ) ni ?1n可证：当n ? 1 时，总有 ( 2 ? r ) n ? 2 ? r n 从而当 n ? 1 时， 有 P (C2 ) ? P (C1 ) ， 即系统 2 比系统 1 更可靠。内 容 提 要? 本章的六个概念:随机试验、随机 事件、频率、概率、条件概率、 事件的独立性; ? 四个公式:加法公式及乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式; ? 两个概型:古典概型、几何概型。基 本 要 求1．理解随机事件的概念，了解样本空间的概念， 掌握事件之间的关系与运算。 2．理解事件频率、概率的统计定义、公理化定 义及古典定义。并会计算简单的古典概率。3．掌握概率的性质，会用性质进行概率计算。4．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、 全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式，会用这些公式进 行概率的计算。 5．理解事件的独立性的概念，会用事件的独立 性进行乘积事件的概率计算。重 点 与 难 点重 点1．随机事件及事件间的运算关系。 2．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用。 3．乘法公式及全概率公式、贝叶斯公式。 4．事件的独立性及其应用。难点1．概率的公理化定义及概率基本性质的应用。 2．古典概率的计算及条件概率、全概率公式和 贝叶斯(bayes)公式的应用。CH1练习一、填空题1 ．一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取 两次，每次取一个（不放回）。则第二次取出的是次 品的概率为 1/6i i （ 分析：设Ai 表示： “第 次取出的是次品”2 ），则所求概率为=1 ，P( A2 ) ? P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 )2 1 所取两个都是次品的概率P( A1 A2 ) ? ? 12 ? 11 66 至少有一个是次品的概率 P( A1 A2 ? A1 A2 ? A1 A2 ) =7/222 1 10 2 1 ? ? ? ? ? 12 11 12 11 6需要指出的是：解决此类问题要区分各种不 同的提法，例如：(1) “第一次取到正品 , 第二次也取到正品”等价 于“两次都取到正品”； (2)“第一次取到正品 , 第二次取到次品”即A1 A2 ; (3)“第一次取到次品 , 第二次取到正品”即A1 A2 ; (4) “恰有一次取到次品”即 A1 A2 ? A1 A2 ； (5) “两次都取到次品”即 A1 A2 ； (6) “已知第一次取到是次品，求第二次取到次品 的概率”即 P ( A2 | A1 ) 。2 ．已知工厂 A、B 生产产品的次品率分别 为 1% 和 2% ，现从由 A、B 的产品分别占 60% 和 40% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次 3/7 品，则该产品是 A 工厂的概率为分析：设 A 表示：“取到的是工厂A 生产的产品”； B 表示：“取到的是工厂 B 生产的产品”； C 表示：“取到的是次品”。则所求概率为P( A| C ) ，P ( C ) ? P ( A) P ( C | A) ? P ( B ) P ( C | B )60 1 40 2 7 ? ? ? ? ? 100 100 100 100 500P( A) P(C| A) 60 1 500 3 P ( A|C ) ? ? ? ? ? P(C ) 100 100 7 73、设两两相互独立的三个事件 A，B，C 满足 条件： ABC ? ? ， P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 / 2 ，且已 知 P( A ? B ? C ) ? 9 / 16,则 P( A) ?1/4。分析：P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C )? P ( AB ) ? P ( BC ) ? P ( AC ) ? 9 / 16即 亦即3 P ( A) ? 3( P ( A)) ? 9 / 16 ? 0 ，2P ( A) ? ( P ( A)) 2 ? 3 / 16 ? 0 ，解得 P( A) ? 1 / 4 及 P( A) ? 3 / 4 （舍去）。4.设两个相互独立的事件 A和B 都不发生的概 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发 率为 1/9， 生的概率相等，则 P( A) ? 2/3 。分析：由于 P( A) P( B ) ? P( A ) P( B) ，所以P( A) ? P( A) P( B) ? P( B) ? P( A) P( B)P( A) ? P( B)P( AB) ? P( A B) ? 1 ? P( A B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B)? 1 ? P( A) ? P( A) ? P( A) P( A)1 ? 2P( A) ? ( P( A))2 ? 1/ 9亦即 1 ? P ( A) ? ?1 / 3 ，解得 P ( A) ? 2 / 3练习二．选择题（ 4 个选择中，只有一个正确）1．设 A和B 是任意两个概率不为零的互不相 D 容事件，则下列结论肯定正确的是( ) ( A ) A 与B 互不相容 ( C ) P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) D ) P ( A ? B ) ? P ( A) ( B ) A 与B 相容 (分析：由于 A 与 B 互斥，因此 A ? B ? A ，即P( A ? B) ? P( A)2 ．设 A 和 B 为任意两个事件，且A ? B ，P ( B ) ? 0 ，则必有 (( A ) P ( A) ? P ( A| B ) ( C ) P ( A) ? P ( A| B )B)B ( ) P ( A) ? P ( A| B ) D ) P ( A) ? P ( A| B ) (分析：由于P ( AB ) P ( A ) P ( A| B ) ? P( B) ? P( B)B ) 正确。 又 P ( B ) ? 1 ，故 (B 满足 P( B| A) ? 1 ，则 ( D ) 3 ．设事件 A 和( A ) A 为必然事件 (C ) A ? BB ( ) P ( B| A ) ? 0 D )A ? B (所以 分析：由于 P( B| A) ? P( AB) / P( A) ? 1 ，P( AB) ? P( A) ，故 A ? B 。4．设 A，B，C 为三个相互独立的随机事件，且 0 ? P(C) ? 1。则在下列给定的四个事件中不相互独立 的是( ) B （ A ） A B与C （ C ） A ? B与C （ B ） AC与C （ D ） AB与CC 不相互独立。 分析：由于 AC ? A ? C ，显然与5 ．设当 A与B 同时发生时，事件 C 必发生，则 下列结论正确的是 ( ( B ) P ( C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 1B)( A ) P ( C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 1 C ( ) P ( C ) ? P ( AB )D ( ) P (C ) ? P ( A ? B )分析：由条件 AB ? C ，从而 P( AB) ? P(C) ，又P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 1即P( A) ? P( B) ? 1 ? P( AB) ? P(C)6 ．已知 P[( A1 ? A2 )| B ] ? P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ， B 且 0 ? P ( B ) ? 1则( ) ( A ) P[( A1 ? A2 )| B ] ? P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ( B ) P ( A1 B ? A2 B ) ? P ( A1 B ) ? P ( A2 B ) ( C ) P ( A1 ? A2 ) ? P ( A1 | B ) ? P ( A2 | B ) ( D ) P ( B ) ? P ( A1 ) P ( B| A1 ) ? P ( A2 ) P ( B| A2 ) P[( A1 ? A2 ) B] 分析： P[( A1 ? A2 )| B] ? P( B) P( A1B ? A2 B ) ? ? P( A1 | B ) ? P( A2 | B ) P( B )所以 P ( A1 B ? A2 B ) ? P ( A1| B ) P ( B ) ? P ( A2 | B ) P ( B )? P ( A1 B ) ? P ( A2 B )7．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1={掷A3 ={正、 第一次出现正面}，A2 ={掷第二次出现正面}，反面各出现一次 } ， A4 ={ 正面出现两次 } ，则事件 ( A) A1 , A2 , A3 相互独立； ( B) A2 , A3 , A4 相互独立； ( C) A1 , A2 , A3 两两独立； (D) A2 , A3 , A4 两两独立。分析：按照相互独立与两两独立的定义进行验 算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验 是否相互独立 .解： 因为 1 1 1 1 P ( A1 ) ? ， P( A2 ) ? ， P( A3 ) ? ，P( A4 ) ? ， 2 2 2 4 1 1 1 且 P ( A1 A2 ) ? ， P ( A1 A3 ) ? ， P ( A2 A3 ) ? ， 4 4 4 1 P ( A2 A4 ) ? , P ( A1 A2 A3 ) ? 0 ， 4 而 P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ， P ( A1 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A3 ) ，P ( A2 A3 ) ? P ( A2 ) P ( A3 ) ， P( A2 A4 ) ? P( A2 ) P( A4 )P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) ，.故 A1 , A2 , A3 两两独立但不相互独立； A2 , A3 , A4 不两 两独立更不相互独立，应选( C) 。练习三 设事件A与B 满足0 ? P( A) ? 1 ， 0 ? P ( B ) ? 1 且 P( A | B ) ? P( A | B ) ? 1 ，则A、B 独立。证明：由于 P( A | B ) ? P( A | B ) ? 1 ，即 P( A | B ) ? 1 ? P( A | B ) ? P( A | B ) AB AA B) P ?(? 由于 A ? AB ? AB ，且 P( AB ) ?? P( B， ) 所以 P( A) ? P( B ) P( A | B ) ? P( B ) P( A | B )P AB )A ?| B P) (? AP |B )P (( B ) | B) ?P (( B ) P( (B )P A? [ P( B ) ? P( B )]P( A | B ) ? P( A | B )从而有P ( AB ) ? P ( A | B ) P ( B ) ? P ( A) P ( B )B 相互独立。 故由定义 1-4 知，事件A 与事件练习四解：由于已知 P( A) ? 1 / 4 ， P( B | A) ? 1 / 3 ，P( A | B) ? 1 / 2 ，求 P ( A ? B ) 。P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB)1 1 1 P( AB) ? P( A) P( B | A) ? ? ? 4 3 12P ( AB) 1 / 12 1 P( B) ? ? ? P( A | B) 1 / 2 6所以1 1 1 1 P( A ? B ) ? ? ? ? 4 6 12 3练习五 已知 P( A ) ? 0.3, P( B ) ? 0.4, P( AB ) ? 0.5， 求P( B | ( A ? B )) 。P ( B ( A ? B )) 解：由于 P ( B | ( A ? B )) ? P( A ? B )B( A ? B ) ? BA ? BB ? BA , A ? AB ? AB , AB ? AB ? ?P( BA) ? P( A) ? P( AB )? 1 ? P( A ) ? P( AB ) ? 0.7 ? 0.5 ? 0.2P( A ? B ) ? P( A) ? P( B ) ? P( AB )? 0.7 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.8故P ( B ( A ? B )) 0.2 1 P ( B | ( A ? B )) ? ? ? =0.25 P( A ? B ) 0 .8 4练习六.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名 考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份、7 份、5 份。随机取一个地区的报名表,从中先后抽出两份，(1) 求先抽到的一份是女生表的概率(2)已知后抽到的一 份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q 。解： 设 Bi (i ? 1， “第 i 次抽到的是女生表” ; 2) 表示A（ 表示 “抽到的报名表来自第 i 个地区” 。 ， 2， 3 ） i i ?1P( B1 ) ? P( B1 A1 ? B1 A2 ? B1 A3 )? P( A1 ) P( B1 | A1 ) ? P( A2 ) P( B1 | A2 ) ? P( A3 ) P( B1 | A3 )1 3 7 1 29 ? ?( ? ? ) ? 3 10 15 5 90（2） P ( B2 ) ? P ( A1 B1 B2 ? A1 B1 B2 ? A2 B1 B2 ? A2 B1 B2? A3 B1 B2 ? A3 B1 B2 )1 3 7 7 6 7 8 8 7 1 5 4 19 61 ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )? 3 10 9 10 9 15 14 15 14 5 6 5 24 90P(( A1 ? A2 ? A3 ) B1B2 ) P( B1 | B2 ) ? P( B2 )1 3 7 7 8 1 5 ?( ? ? ? ? ? ) 20 3 10 9 15 14 5 6 ? ? 61 61 90思考练习.有两个盒子，第一盒子装有2个红球，1 个黑球，第二盒中装有 2 个红球， 2 个黑球，现从 这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球 ，问（ 1 ）这个球是红球的概率；（ 2 ）若发现这 个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率 。 解：设A表示“取得一个红球”； Bi 表示“ 从第i（i=1,2）个盒中取出一个红球”；于是 2 1 1 P( A | B1 B2 ) ? 1 P ( B1 B2 ) ? ? ? 3 2 3 2 1 1 1 P ( B1 B2 ) ? ? ? P ( A | B1 B2 ) ? 3 2 3 2 1 1 1 1 P ( B1 B2 ) ? ? ? P ( A | B1 B2 ) ? 3 2 6 21 1 1 P( B1 B2 ) ? ? ? 3 2 6P( A | B1B2 ) ? 0（1）由全概率公式得P( A) ? P( A | B1 B2 ) P( B1 B2 ) ? P( A | B1 B2 ) P( B1 B2 )? P( A | B1 B2 ) P( B1 B2 ) ? P( A | B1 B2 ) P( B1 B2 ) ? 7 / 12P( AB1 ) P( AB1B2 ) ? P( AB1B2 ) P( B1 | A) ? ? （ 2） P( A) P( A)P( A | B1 B2 ) P( B1 B2 ) ? P( A | B1 B2 ) P( B1 B2 ) 6 ? ? P( A) 7思考练习：两箱同种类的零件，第一箱装 50 件，其 中 10 件一等品，第二箱 30 件，其中 12 件一等品，今通 过抛掷一枚均匀硬币决定从哪一箱中取零件，现若取出 的第 1 件是一等品，并把它放回去，问从同一箱中抽取 的第 2 件也是一等品的概率。 解：设事件 Ai 表示“抽到第 i 箱”， i ? 1， 2；事件 Bi 表示 “第 i 次抽到一等品” ，i ? 1， 2。P( B2 | B1 ) ? P( B1B2 ) / P( B1 ) 为此先求 P( B1 ) 及 P( B1B2 ) 。依题意，要求 P( B2 | B1 ) ，由条件概率公式P( B1 ) ? P( B1 A1 ? B1 A2 ) ? P( B1 A1 ) ? P( B1 A2 ) ? P( A1 ) P( B1 | A1 ) ? P( A2 ) P( B1 | A2 )P( B1 ) ? P( B1 A1 ? B1 A2 ) ? P( B1 A1 ) ? P( B1 A2 )? P( A1 ) P( B1 | A1 ) ? P( A2 ) P( B1 | A2 )1 10 1 12 3 ? ? ? ? ? 2 50 2 30 10 P( B1B2 ) ? P( B1B2 A1 ? B1B2 A2 ) ? P( B1B2 A1 ) ? P( B1B2 A2 )? P( A1 ) P( B1B2 | A1 ) ? P( A2 ) P( B1B2 | A2 ) 1 10 2 1 12 2 1 ? ?( ) ? ?( ) ? 2 50 2 30 101 3 1 P( B2 | B1 ) ? P( B1B2 ) / P( B1 ) ? ? 10 10 3
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