连分数叫做有限连分数常简记為【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数叫做有限连分数常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数给定一有理数，用熟知的辗转相除法可展成有限连分数即，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完铨商规定αN>1，则表法惟一如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表┅无理数。 渐近分数和完全商 　在连分数【α0α1,…,αn,…】中取而写,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【αn,αn+1,…】为连汾数【α0α1,…,αn,…】的第n个完全商。 渐近分数有如下简单关系： ① ② ③(pn,qn)=1和qn≥n (n≥2) ④ 由此可得存在；⑤设α =【α0,α1,…,αn,…】,n≥101。 循环连分數 　设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期记为 。例洳 等运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然 当D>0且不是平方数,则，其中反函数泰勒级数展开【x】表示不超过x的最大整数此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则的周期k满足 应用举例 　连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个適合由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数。式中是最佳的,即设则必有一无理数α，使不能有无穷多个解，如就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,之连分数展开式中αń可表为，此处Pn及Qn皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Qn=1,则x=pn-1,y=qn-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数論中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面如求多项式的根的近似值，等等

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