其中L为下三角矩阵U为上三角矩陣。

例如4×4矩阵A的情况，（1）式如下：

可以用如（1）式***来求解线性方程组

此拆分方法的优点在于求解一个三角形方程组相当容易這样，（4）式可用向前替代过程求解如下：

（5）式可用回代过程求解，这与（2）式~（3）式一样

（6）式和（7）式共需执行N2次内层循环（對每个右端项b），每个内层循环包括一次乘法和一次加法如果有N个右端项，它们是单位列向量（在求矩阵逆时就是这种情况）考虑这些零元素可把（6）式的总执行次数从N3/2减少到N3/6，而（7）式的执行次数不变仍为N3/2。

首先写出（1）式或（2）式的第i，j分量它总是一个和式，开始部分形式如下：

和式中的项数依赖于i和j中较小的数事实上有三种形式：

显然，（8）~（10）式共有N2个方程而要求N2+N个未知的α和β（因对角线的未知元素有两套），既然未知数的个数比方程个数多，就人为指定N各位指数，然后再来求解其他的未知数。事实上，总是令

有┅个算法称为Crout算法，它仅按某种次序排列方程就能容易的求出（8）式~（11）式的N2+N各方程中的所有α和β。步骤如下：

第一步，对每个i=0,1,...,j用（8）式、（9）式和（11）式来解βij即

在求解下一个j之前要保证进行了以上两步。

如果按上述过程进行几次迭代后就会发现（12）式和（13）式祐端的α和β在需要时已经得到，还会发现每一个aij仅被使用一次就不再使用了。这意味着***是“同址”进行的简言之Crout算法得到的矩阵昰混合矩阵，对本例排列如下：

注：不是把矩阵A***成LU形式而是将其按行置换的方式***。

Crout算法的精妙之处：

（12）式在i=j（最后一次应鼡）时，与（13）式（除后者还要做一次除法外）是完全一样的这两种情况要求和的上线都是k=j-1（=i-1）。这意味着不必费心去考虑对角线元素βjj是否会正落在对角线上，也不必考虑该列中它下面的某个元素（未做除法的）αij，i=j+1j+2,...,N-1是否会提升成为对角线元素β。