p点到直线的距离方程x＝负二的距离。等于p到原点的距离 求p的轨迹方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-30 09:15 标签： 点到直线的距离方程
1、中学数学解题方法讨论 求轨迹方程的方法道县五中周昌雪内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确 求轨迹方程对高考的成败至关重要。本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。曲线 形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动 点满足的几何等量关系“翻译”成动点 x ,y，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译 法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的 轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P随着曲线f（x,y）=O 而变动时，且Q的坐标2、可且动点P的坐标（x 0， y）代入动点Q的曲线方程即得曲线P的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法； 若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜 率k、比值等）作参数t，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则 可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中3、找出动点P（x,y ）的纵坐标y和横坐标x之间的关系式f x,y=0，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。检验 即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y的范围。、交轨法等求之。求曲线方程有两类基本题型：其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。一、用待定系数法求轨迹方程曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方4、程。例1已知椭圆5x2 14y2 =70和直线丨：x - y 9 = 0，在直线l上任取一点P，过P且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。2 2 解 已知椭圆的焦点 R -3,0和F2 3,0 ,从而设所求椭圆的方程为 笃 爲 1。若过Ia a -9上的P点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。把直线方程代入椭圆方程，利用判别式2 2等于0,得a2 =45，从而椭圆方程为 - y 1 .4536例2已知双曲线C的两个焦点为Fi,F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为3，直线L过点F2，21与线段F1F2夹角为:-,且tan :-，与线段F1F2垂直平分的交点为5、 P，线段PF2与双曲线的交2点为Q,且PQ =2QF2，求双曲线方程。解 取F1F2所在直线为 x轴，F1F2的中垂线为 Y轴建立直角坐标系，设双曲线方程为2 2.212，又 PQ =2F，设 2 ,F2 c,0 由题意直线L的方程为y = 21 x -c，令x = ，得点P的坐标为0,2 I由定比分点坐标公式可得点Q坐标因为点Q在双曲线上，所以鲨兰=1，9a236b232 2 2又 c 二 a b ,由、消去C，化简整理得16 -41 b -21 =0解得 b = 3aaa又由已知有ab二叮32 由、得a=1,b=,则所求双曲线方程为x2 -工=1。3又由对称性知，双曲线x2二1也适合。26、 2故所求双曲线方程为 X丄 i或寸上 i3 3二、用直译法求轨迹方程直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论。例3 已知直角任何坐标平面上的点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆0的切线长与 MQ的比等于常数( 0)。求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解设直线MN切圆于点N,则动点M组成的集合是 P=MII MNI =k|MQ .设 M(x,y)，从而.x2 y2x - 2y2，即2 -1 x2 y2 -4 2x 14-0经检验，坐标适合这个方程的点都属于7、集合P,故这个方程为所求，当 =1时，它表示一条直线，当丰1时，它表示一个圆。例4求与y轴相切，并且和圆x2 y2 -4x =0外切的圆的圆心的轨迹方程.解由 x2 十 y24x=0,有(x2$ +y2=22.设动圆的圆心 P (x,Y ),由题意记A (2, 0),贝U PA=|x+2,即J(x_2 )2 +y2 =|x十2,化简得 y2 =4x 4 x ,当 x _ 0 时，y2 =8x;当 x 0,x aW x0)Pp其中 P= I MN
,M(-,0),N(,0),由2 2AM = 17AN =3 得2pxA =17, Xa2pxA =9,联立解得 xA =1, p = 4或xA 8、= 2.p = 2p AMN是 锐角三角形，xA,舍去 xA=2, P=2 . xa=1,P=42P2又点B在双曲线段上 C上，所以xb = BN = 4，因此所求的曲线段 C的方程为y=8x(1 w x0)2 2例6已知圆C(x+1) +y =25内一点A (1, 0), Q点为圆C上任意一点，线段 CQ连线交于点M,求点M的轨迹方程。解 连结AM点M在线段AQ的垂直平分线上，则AM=MQ,；CM I +|MQ
=5二 CM + MA =5故点M(x,y)到点C( -1 , 0)和点A (1, 0)的距离之和是常数5,且52，所以点P的轨迹是一个以A C为焦点的椭圆，-2a=5, 2c=29、,2 2 2 21b =a c ,42 2点M的轨迹方程为+ =125214 4四、用代入法求轨迹方程当所求轨迹上的动点P随着曲线f(x,y)=0 而变动时，且 Q的坐标可且动点 P的坐标(x 0, yo)代入动点Q的曲线方程即得曲线P的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法。例7 抛物线x2=4x的焦点为F,过点M(0,-1)作直线l交抛物线于不同两点 A B,以AF、BF为邻边作平行四边形FARB求顶点R的轨迹方程。为P(xo,y o)，F(0,1)由中点 坐标公式 得解 设R(x,y)，平行四边形FARB的对角线的点x y 1x”2,2 2 2 2设 A(xi,yi),B(X2,y10、2)则 xi 工 X2,且 xi =4yi,x 2 =4y2,相减得xi-x 2 =4(y1-y2),x0y0 +12从而 kAB 0，又 A、P、B、M 四点共线，且 kPM- ，由 KA=Kpm得 xo=2(y 0+1)2x。丄exy +12把x, y代入并整理得x =4y+122 2注：动点是直线被方程圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程，这事实上就是中点弦问题的处理方法。五、用参数法求轨迹方程若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k、比值等)作参数t，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数 11、t即得动点的轨迹方程，这种 求轨迹的方程的方法叫参数法。例9 给出定点 A(a,0)(a 0)和直线
:x=-1,B 是直线|上的动点，/ BOA的平分线交 AB于点C, 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a的关系解 设B(-1,t), C(x,y)，则OB =，点C分BA所成的比为BCOBJ1+t2x+1 y-1“1+t2CAoa|a a_x -ya消去t并整理得点C的轨迹方程为(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0(0 xv a)当a=1时，轨迹方程为 y2=x(0 xv a)，它表示抛物线段;当a1M时，轨迹方程可化为=1 (0 1时，方程表示双曲线一支上的弧段，当012、v av 1时，表示方程椭圆弧段。k,则点P的坐标为(2, 2k).例10已知点P在直线x=2上移动，直线|通过原点且和 OP垂直，通过点A ( 1, 0)及点P的直线m和直线|相交于Q求点Q的轨迹方程。Y解如右图所示，设OP所在直线的斜率为由I OP，得直线的方程为 x+ky=0.易得直线m的方程为y=2k(x-1).因为点Q( x,y )是直线|和直线m的交点，所以由联立，消去 k，得点Q的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(x丰1).Q六、用交轨法求轨迹方程m如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程。“交轨法”实际上也属于参数法，但它13、不拘于求出动点的坐标后再消参。例11 设点A和B为抛物线y2 =4px(p 0)上原点以外的两个动点，已知OAL OB OML AB,求点M的轨迹，并说明它表示什么曲线。2 2解 设M(x,y)，直线 AB方程为y=kx+b，把它代入 y =4px，消去x得ky -4py+4pb=0，从而 4pbb2y2，因此 XM22 .kk由 OAL OB得 XiX2+yiy2=0，即 b=-4kp，所以 y=kx+b=k(x-4p),x又 OML AB,故 k =.y22消去k得点M的轨迹方程x +y -4px=0(x丰0).例12已知点O点B为二定点,OB =1,点P是线段OB上一点，分别以OR OB为斜边在线段OB的同一侧作等腰三角形OCF和ODB设RD BC相交于点 Q当R在线段OB上移动时求点 Q的轨迹方程。解以OB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立如右图所示的直角坐标系,设点 R(t,0)(0 v tv 1),则C-,- j,又D丄丄12 2 丿 (2, 2 丿BC的方程为y t (x1),t -2、 1RD的方程为y(x t)1 -2t由得3tx 二2(t 1),t2(t 1)由以上两式消去t，得x

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