如何证明下面这个三角形等边对等角定理角对等边，也就是AC等于BC？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-27 03:15 标签： 三角形等边对等角定理

　　初中数学是一个相当重要的学习过程，初中的数学跟小学的数学相比较而言不仅仅是变得更难了，同时在深度，广度上都有着很大的延伸，所以各位考生在学习的时候还是要认真学习的。数学的几何证明题中有很多的注意事项，较重要的就是关于定理的问题，因此我们在学习的时候这些定理是需要牢牢记住的，不然在你做题的时候可能就会遇到瓶颈，不知道自己应该怎么办?以下就是伊顿教育小编给大家整理的具体内容：
　　证明题的思路
　　很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。
　　对于证明题，有三种思考方式：
　　(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
　　(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。
　　同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。
　　例如：
　　可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;
　　要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。
　　(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
　　初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。
　　给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
　　证明题要用到哪些原理?
　　要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
　　下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
　　一、证明两线段相等
　　1.两全等三角形中对应边相等。
　　2.同一三角形中等角对等边。
　　3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
　　4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
　　5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
　　6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　　7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　　8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
　　9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
　　10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
　　11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
　　12.两圆的内(外)公切线的长相等。
　　13.等于同段的两条线段相等。
　　二、证明两个角相等
　　1.两全等三角形的对应角相等。
　　2.同一三角形中等边对等角。
　　3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
　　4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
　　5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
　　6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
　　7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
　　8.相似三角形的对应角相等。
　　9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
　　10.等于同一角的两个角相等。
　　三、证明两条直线互相垂直
　　1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
　　2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
　　3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
　　4.邻补角的平分线互相垂直。
　　5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
　　6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
　　7.利用到段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
　　8.利用勾股定理的逆定理。
　　9.利用菱形的对角线互相垂直。
　　10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
　　11.利用半圆上的圆周角是直角。
　　四、证明两直线平行
　　1.垂直于同一直线的各直线平行。
　　2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
　　3.平行四边形的对边平行。
　　4.三角形的中位线平行于第三边。
　　5.梯形的中位线平行于两底。
　　6.平行于同一直线的两直线平行。
　　7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
　　五、证明线段的和差倍分
　　1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
　　2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
　　3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
　　4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
　　5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。
　　六、证明角的和差倍分
　　1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
　　2.利用角平分线的定义。
　　3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
　　七、证明线段不等
　　1.同一三角形中，大角对大边。
　　2.垂线段较短。
　　3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
　　4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
　　5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
　　6.全量大于它的一部分。
　　八、证明两角的不等
　　1.同一三角形中，大边对大角。
　　2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
　　3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
　　4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
　　5.全量大于它的一部分。
　　九、证明比例式或等积式
　　1.利用相似三角形对应线段成比例。
　　2.利用内外角平分线定理。
　　3.平行线截线段成比例。
　　4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
　　5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
　　6.利用比利式或等积式化得。
　　十、证明四点共圆
　　1.对角互补的四边形的顶点共圆。
　　2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
　　3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。
　　4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
　　5.到顶点距离相等的各点共圆。
　　以上就是伊顿教育小编给大家整理的关于几何证明定理的汇总，希望能够帮助到各位考生。大家在做几何证明题的时候要多分析题目，因为我们知道每道题的条件和解题方法都是不一样的。只要做的多了，才能够在考场上顺利的解出来!
中考专题系列五三角形一、三角形的角平分线高1、三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线如图，A的平分线与对边BC交点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交一点，这一点叫做三角形的内心三角形角平分线的数学语言：2、三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交一点，这一点叫三角形的重心三角形中线的数学语言：3、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高如图，从ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D那么线段AD叫ABC的边BC上的高三角形的高的数学语言：典型例题剖析例1、如图所示，BD是ABC中ABC的角平分线，CD是ABC的外角ACE的平分线，它与BD的延长线交点D，我们将会得到A=2D这一结论，试想一想为什么，并加以说明.解析例2、如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角ABC的高BE，其中画错的是_析例3、不等边ABC的两边高分别为4和12，若第三边上的高也是整数，试求它的长解析例4、如图，已知AD、AE分别是ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，CAB=90，试求：(1)AD的长；(2)ABE的面积；(3)ACE和ABE周长的差解析例5、如图，BD、CD分别平分ABC和ACB.(1)若A=70，求BDC的度数；(2)试判断BDC与A的关系，并说明理由.二、三角形边角之间的关系1、三角形的内角和等于1800。2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和。3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。5、在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。三、三角形的分类按边分类为：按角分类为：四、特殊三角形1、关于全等三角形的几个公理(1)三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）(4)全等三角形的对应边相等，对应角相等.(5)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）2、等腰三角形(1)等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形.(2)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等.（简称为“等边对等角”）定理的文字解释：若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等；定理的数学解释：已知，如图1，在ABC中，ABAC，求证：BC.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.推论的文字解释：等腰三角形的这一推论也称为“三线合一”，即三线中知其一必可得另二.推论的数学解释：已知：如图2，在ABC中，ABAC，D为BC边上一点，则：如果AD平分BAC，那么ADBC，BDCD；如果ADBC，那么AD平分BAC，BDCD；如果BDCD，那么AD平分BAC，ADBC.(3)等腰三角形的判定定理定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称为“等角对等边”）定理的文字解释：若一个三角形的两个内角相等，则该三角形是等腰三角形；定理的数学解释：已知，如图3，在ABC中，BC，求证：ABAC.3、等边三角形(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60；等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.(3)等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；有两个角都等于60的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4、直角三角形(1)直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(2)勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（其中为直角三角形的两条直角边长，为其斜边长）.勾股定理的作用：已知直角三角形的两条边长，求第三条边的长；已知直角三角形的一条边长，求另两条边长的关系；用于证明与平方关系有关的问题；利用勾股定理理解并求作长为的线段.勾股定理的各种表达形式：在ABC中，C90，A、B、C的对边长分别为，则：，.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，且满足关系：，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理逆定理的作用：判定一个三角形是否是直角三角形.勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：确定最大边（如）；验算与是否具有相等关系.若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形不是直角三角形.勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数或勾股弦数.(3)直角三角形全等的特殊判定斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等.该定理可简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.(4)两个重要结论和一性质在直角三角形中，如果一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30.两个重要结论的数学解释：已知：如图4，在ABC中，C90，则：如果AB2BC，那么A30；如果A30，那么AB2BC.性质：斜边上的中线等于斜边的一半。5、反证法(1)反证法的定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种方法可称为反证法.(2)反证法证题的三个步骤：第一步：假设命题的结论不成立；第二步：从假设出发，推导出与公理、定理、定义、已知等相矛盾的结论；第三步：由矛盾可知假设不正确，从而肯定原结论成立.6、互逆命题与互逆定理(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题.注意：每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题，原命题与其逆命题之间的真假性有四种情况：真、真；真、假；假、真；假、假.(2)如果一个定理的逆定理经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.注意：每个命题都有逆命题，但不是每一个定理都有逆定理.例题选讲例1、如图5，在ABC中，ABAC，点O在ABC内，OBOC，求证：AOBC.证明：延长AO交BC点D，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，BAOCAO，即BADCAD，ADBC，即AOBC.例2、如图6，在等边ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AEBD，求证：CEDE.证明：过E作EFCD点F，ABC是等边三角形，B60，BEF30，BE2BF，即BAAEBCBD2BCCD2（BCCF），CD2CF，CFDF，在CEF和DEF中，CFDF，CFEDFE90，EFEF，CEFDEF，CEDE.例3、如图7，已知在ABC中，ABAC，P为底边BC上任意一点，PDAB点D，PEAC点E，求证：PDPE是一个定值.解：连接AP，过点C作CFAB点F，由，得：，即，（定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？解：连接AP，过点C作CFAB点F，（如图8）由，得：，即,（定值）.即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.例4、如图9，已知AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交ADF，且有BFAC，FDCD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90，FBDBFD90，在RtBDF和RtADC中，BFAC，FDCD，RtBDFRtADC，BFDC，FBDC90，BEC180（FBDC）XXX，即BEAC.

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