不定积分换元需要考虑范围吗如何换元积分?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-28 16:30 标签： 不定积分换元需要考虑范围吗
专栏/解不定积分的利器——第一换元积分法2022年11月21日 07:23--浏览 ·
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--评论换元积分法是求不定积分最常用的方法之一，包括两类换元积分法，这里老黄先介绍“第一换元积分法”。它其实是一个定理：定理：(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义，u=φ(x)在[a,b]上可导，且α≤φ(x)≤β，x∈[a,b]，并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x∈[a,b].(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)，且F(x)=G(φ(x))+C,即∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.证：∵dG(φ(x))/dx=G’(φ(x))φ’(x)=g(φ(x))φ’(x)=f(x)，【这里面运用了复合函数求导的法则】∴∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.(可简写为：∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)=G(φ(x))+C). 【高手一般不会把换元的步骤表示出来，正所谓“口中有佛，未必心中有佛；心中有佛，不必口中有佛”】单学定理，一时半刻恐怕很难消化，还是用例题来说话吧！例1：求∫tanxdx.证：原积分=∫(sinx/cosx)dx 【其中sinxdx=-dcosx】=-∫dcosx/cosx.【这一步叫“凑微分”，通过凑微分，使不定积分中只包含中间变量cosx的形式】令u=cosx, 则原积分=-∫du/u=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.例2：求∫dx/(a^2+x^2 ) (a>0).解：原积分=∫(1/a^2*dx)/(1+x^2/a^2 )= 1/a*∫d(x/a)/(1+(x/a)^2 ),令u=x/a, 则原积分=1/a* ∫du/(1+u^2 )=1/a*arctanu+C=1/a*arctan(x/a)=C.练习：求∫dx/√(a^2-x^2 ) (a>0).解：原积分=∫d(x/a)/√(1-(x/a)^2 ),令u=x/a, 则原积分=∫du/√(1-u^2 ) =arcsinu+C=arcsin(x/a)+C.上面三个不定积分其实都是常用的积分公式，都是要记牢的。不过老黄的记性很差，总是记不住，所以每回要用到，老黄都需要自己动手推一推。这么一来二回的，就把第一换元法给练得滚瓜烂熟了。所以有时候人太聪明并不是什么好事，不如笨一点，才能获得更多探究学习过程中的乐趣，你说呢？最后再给大家总结一下第一换元法的一般步骤：(1)利用u'dx=du，凑微分，使不定积分中只包含中间变量u.(2)换元，用中间变量形式代替它的函数形式；(3)运用基本积分公式求中间变量的不定积分；(4)代入中间变量的函数形式。赶快再去找几道题练练手吧！本文为我原创本文禁止转载或摘编
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