请教一道不定积分考试题及答案题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-30 15:30 标签： 不定积分考试题及答案
分享一种解法。将“y∈[0,1]”拆成“[0,x]∪[x,1]”去“丨丨”求解。∵y≤x时，丨x-y丨=x-y；y>x时，丨x-y丨=y-x，∴f(x)=∫(0,x)(x-y)sin√ydy+∫(x,1)(y-x)sin√ydy=x∫(0,x)sin√ydy-∫(0,x)ysin√ydy+ ∫(x,1)ysin√ydy-∫(x,1)xsin√ydy。两边对x求导、经整理，有f'(x)=∫(0,x)sin√ydy-∫(x,1)sin√ydy。∴f''(x)=2sin(√x)。供参考。

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展开全部带入积分上下限，ln|csc(π/2+π/4)-cot(π/2+π/4)
-ln|csc(0+π/4)-cot(0+π/4)
=带入积分上下限，ln|√2+1
-ln|√2-1|=ln(√2+1)+ln(√2+1)=2ln(√2+1)
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分部积分在考研中的重要性不用多说了，是很多题目解题的关键。我从李林880/张宇1000题/汤家凤1800中，对分部积分常考的六类题型进行了总结，见下。分部积分的作用(基础好的可跳过)：分部积分的初始表达式如下：\int_{}^{}uv'dx=uv-\int_{}^{}u'vdx .从这个式子可以看出：要求 \int_{}^{}uv'dx 积分值可以转变为主要求 \int_{}^{}u'vdx 的积分值。等式里面虽然还有 uv ，但是通常这个是比较好求的，所以主要求的是 \int_{}^{}u'vdx 。所以宏观上来说，分部积分的作用是使被积函数一部分积分，另一部分求导。又因为分部积分可以多次使用：\int_{}^{}uv'dx=uv-\int_{}^{}u'vdx ，一次分部积分\int_{}^{}uv''dx=uv'-u'v+\int_{}^{}u''vdx ，两次分部积分由此可知，使用k次分部积分如下所示：\int_{}^{}uv^{(k)}dx=一堆式子±\int_{}^{}u^{(k)}vdx 可见k次分部积分的作用效果就是把求 \int_{}^{}uv^{(k)}dx 转变为主要求 \int_{}^{}u^{(k)}vdx 同样的，虽然式子中除了积分之外还有其他式子，但是通常来说那些式子比较好计算，所以主要求的是 \int_{}^{}u^{(k)}vdx 。最后总结一下：分部积分可以使被积函数一部分积分，另一部分求导，且可以多次使用，多次使用可以使被积函数一部分多次积分，另一部分多次求导，求导/积分的次数就为分部积分的使用次数。有了上述铺垫，就能理解为什么某些题型需要用到分部积分。相关题型一：题型描述：两个函数乘积的积分，其中一个函数求导会变简单，另一个函数积分后难度变化不大。做法思路：通过分部积分，对求导变简单的函数求导，对另一个函数积分。使用若干次，直到得到的新积分容易求出结果为止。此时新积分的结果再加上前面一堆式子的结果，即为所求积分的结果。题目一览：1.多项式+ sinαx 或 cosαx 或 e^{\alpha x} 多项式只要求若干次导最后都会变成常数，而sinαx ， cosαx ， e^{\alpha x}它们积分后难度都不会明显变大。题目及解法如下图：题型一012.多项式+反三角函数、对数函数多项式积分后依然是多项式，因此难度不会明显增加，而反三角函数，对数函数直接积分太难处理，但是求导后会变的容易处理。题目及解法如下：题型一023. 单独反三角函数、对数函数使用原因和第二条类似，这里不做说明，题目及解法如下：题型一034.更多该类似的题，可自行总结满足两个函数乘积的积分，其中一个函数求导会变简单，另一个函数积分后难度变化不大。都可以尝试使用分部积分来解决。相关题型二：题型描述：被积函数一部分求导同时另一部分积分若干次后，会得到一个新积分。该积分和原积分是倍数关系时，使用。做法思路：首先通过分部积分处理初始积分，若干次后得到初始积分乘以某个数。之后合并初始积分，再化简即得到结果。题目一览：1.两个三角函数( sinαx 、 cosβx )相乘的积分由于 sinαx 和 cosβx 积分/求导两次都会变成自身乘以某个数。所以使用两次分部积分就可以变成某个数乘以原积分。题目及解法如下：题型二012.三角函数( sinαx 、 cosβx )与指数函数( e^{γx} )相乘的积分由于 sinαx 和 cosβx 积分/求导两次都会变成自身乘以某个数，同时 e^{γx} 积分/求导一次都会变成自身乘以某个数。所以它们两个乘积的积分，使用两次分部积分就可以变成某个数乘以原积分。题目及解法如下：题型二023.复合函数的积分，外层函数是 sin 或 cos ，内层函数 alnbx 举个例子即可说明：\int_{}^{}sin(alnbx)dx=xsin(alnbx)-\int_{}^{}acos(alnbx)dx 使用一次分部积分\int_{}^{}sin(alnbx)dx=xsin(alnbx)-axcos(alnbx)-a^{2}\int_{}^{}sin(alnbx)dx 两次分部积分可见两次分部积分后出现的新积分为初始积分的 -a^{2} 倍，故可以使用分部积分计算。题目及解法如下：题型二03相关题型三：题型描述：抽象积分计算题。其中题目告诉你 \int_{a}^{b}uv^{(k)}dx 的值，但是让你求\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx的值。做法思路：根据分部积分的作用，我们使用k次分部积分就可以建立起\int_{a}^{b}uv^{(k)}dx 与\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx之间的关系。建立之后代入题目的条件+简单计算即可得到结果。题目及解法如下：题型三相关题型四：题型描述：含有f(x),f''(x)的积分等式证明题做法思路：根据分部积分的作用，使用两次分部积分即可建立f(x),f''(x)之间的关系，之后变形即可得到所证等式。题目及解法如下：题型四相关题型五：题型描述：含有 f(x) ，同时有
f''(x)
最大值的积分不等式证明题做法思路：根据分部积分的作用，使用两次分部积分即可建立f(x),f''(x)之间的关系，然后利用不等式 \left
\int_{}^{}\Delta dx \right|\leq \int_{}^{}|\Delta
dx
处理，处理完之后放缩|f''(x)
，最后整理即可。题目及解法如下：题型五相关题型六：题型描述：求 I_{n} 与 I_{n-1} 之间的递推关系做法思路：通过分部积分建立起I_{n} 与 I_{n-1}之间的关系题目及解法如下：题型六到此结束~我是煜神学长，考研我们一起加油！！！往期总结笔记：煜神学长：148分学长考研数学结论总结（秒杀函数、极限与连续-第1期）煜神学长：148分学长考研数学结论总结（秒杀函数、极限与连续-第2期）煜神学长：148分学长考研数学结论笔记-导数与微分解题技巧（第3期）煜神学长：148分学长考研数学结论笔记-一元函数积分学解题技巧总结（第四期）煜神学长：148分学长考研数学结论笔记-多元函数微分学解题技巧总结（第五期）其他干货文章：煜神学长：正交变换最强总结笔记，解决每一个考研线代人的理解难关煜神学长：超强换元法，二重积分计算的核武器！（雅可比行列式超通俗讲解）煜神学长：高数极限概念题，90%的人都会做错的一道题煜神学长：考研秘技-拉格朗日中值定理横扫极限难题！(秒杀5种题型)煜神学长：一文搞懂考研数列极限问题(概念/计算/证明)史上最强/最全总结！！煜神学长：多元函数微分学条件极值(拉格朗日乘数法)求解技巧总结煜神学长：一文彻底搞懂积分等式证明题(积分证明题总结笔记1/3)煜神学长：一文搞懂由积分判断函数零点个数问题(积分证明题总结笔记2/3)煜神学长：一文搞懂积分不等式证明(积分证明题总结笔记3/3)

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