莫尔-库伦简述莫尔–库仑强度破坏准则是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-10 12:18 标签： 简述莫尔–库仑强度破坏准则
假设二维土单元在一方向余弦为 (s_x,s_y) 的平面上发生剪切破坏，假设破坏面的面积为1，受力如图一所示。根据力的平衡原理，可以求出破坏面上的垂直 \sigma 和剪切应力 \tau
\begin{align} \sigma&=s_x^2\sigma_x+s_y^2\sigma_y+2s_xs_y\tau_{xy}\\ \tau&=s_xs_y(\sigma_x-\sigma_y)-(s_x^2-s_y^2)\tau_{xy} \end{align} \tag{1} 我们知道库伦强度准则为\tau=R\sigma+C\\ \tag{2} 其中 R=tan\phi ， \phi 为内摩擦角， C 为粘聚力。我们把公式（1）代入公式（2），便得到如下公式s_xs_y(\sigma_x-\sigma_y)-(s_x^2-s_y^2)\tau_{xy}=R(s_x^2\sigma_x+s_y^2\sigma_y+2s_xs_y\tau_{xy})+C\\ \tag{3} 公式（3）比较复杂，如果用主应力表示会简单很多。我们假设破坏面相对于主应力方向的方向余弦为 (s_1,s_3) ,受力如图2所示。破坏面上的垂直 \sigma 和剪切应力 \tau 可以表示为 \begin{align} \sigma&=s_1^2\sigma_1+s_3^2\sigma_3\\ \tau&=s_1s_3(\sigma_1-\sigma_3) \end{align} \tag{4} 公式（3）可以简化为s_1s_3(\sigma_1-\sigma_3)=R(s_1^2\sigma_1+s_3^2\sigma_3)+C\\ \tag{5} 为什么库伦强度准则不够，而需要公式（3）或者（5）呢？因为库伦强度准则对应的\sigma 与 \tau 是一阶的（实际上是应力矢量，有大小和一个方向），而应力状态则需要用二阶张量表示（有大小和两个方向）。公式（3）或者（5）实际上相当于把库伦强度准则升了一阶，把适用于应力矢量变为适用于应力张量。这就带来了一个问题，我们应用库伦强度准则的时候，默认就在判断 \tau 所在的面会不会发生破坏。但对于一个应力张量来讲，它有无数个截面，每个截面上的 \sigma 与 \tau 都不一样，当多个截面满足库伦强度准则的时候，怎么判断材料沿着哪个截面破坏呢？科学家们经过对实验结果的总结，提出了不同的理论（强度理论）来判断材料在某种应力状态下会不会发生破坏，并且这些理论会事先假定破坏面（由破坏面的方向余弦决定）。接下来介绍两种常用的破坏准则。与最大剪应力面相关的破坏准则通过莫尔圆，可以很容易发现，最大剪应力平面与主应力的方向成45度倾角，所以 s_1=s_2=\sqrt{2}/2 ，代入公式（5），可以得到\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=R\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+C\\ \tag{6} (\sigma_1-\sigma_3)/2 就是最大剪应力。这种破坏准则假定，破坏的发生只与最大剪应力所在平面的应力状态有关。如果我们假定空间坐标系 x,y 轴与主应力方向一致， \sigma_x - \sigma_y 主应力平面上的破坏准则可以用下图所示两条直线表示。如果土是非摩擦性的，或者说内摩擦角为0，则 R=0 ,公式（6）可表示为\sigma_1-\sigma_3=2C\\ \tag{7}这个就是第三强度理论，或者叫Tresca准则。与最开始满足库伦强度准则的面相关的破坏准则（莫尔库伦强度准则）通过莫尔圆，可以求得\begin{align} s_1&=\cos(45^\circ+\phi/2)\\ s_2&=\cos(45^\circ-\phi/2) \end{align} \tag{8} 并且由于 R=\tan\phi , 公式（5）可以写为\sigma_1-\sigma_3=(\sigma_1+\sigma_3)\sin\phi+2C\cos\phi\\ \tag{9} 这就是大名鼎鼎的莫尔库伦破坏准则。如果土是非摩擦性的，或者说内摩擦角为0，同样可以和三强度理论（Tresca准则）一致。参考资料Excelで学ぶ土質力学

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