定带有上下限的积分怎么求导如何求导

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-08 12:06 标签： 带有上下限的积分怎么求导
一、函数的数值导数本期对函数的求导运算同样适用于多项式，各位可以自行对比。首先我们来思考导数运算规则f'(x_{0})=\lim_{h\to+0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\\ 上面是y的差值，下面是x的差值。我们介绍差分函数diff() 给出一列数，对其做diff()运算 A = [1,2,5,2,1];
diff(A)结果如下：ans =
1
3
-3
-1可以看到diff()函数其实是差分运算，即用第k个数-第k-1个数，这样的话便可以得到n-1个差值。那么我们用两个差分函数进行相除，不就可以得到函数在该点的导数了吗?1.1求函数在某点处的导数例1、给定函数 f(x)=sinx ，求 f'(x_{0}) 在 x_{0}=\pi/2 处的值，h=0.1。x0 = pi/2; h=0.1;
x = [x0,x0+h];
y = [sin(x0),sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)
%注意这里是点除结果如下：m =
-0.0500于是点 x_{0} 处的斜率就可以得到了。但实际上我们知道，点 x_{0} 的处的斜率为0，所以说还是存在一定的误差的，那么如何减小这个误差呢？我们稍微思考一下就知道了，当h的取值越接近0，结果就越准确。这里希望各位同学可以尝试不同的h值（如0.1，0.01，0.001）代入来分析。1.2 求函数在某段区间处的导数与求某点处的导数类似，比如求x=[0,2π]例2、画出sinx在[0,2π]的一阶导数图像h = 0.5; x = 0:h:2*pi;
y = sin(x); m = diff(y)./diff(x);
plot(x,y,x(1:end-1),m,'ro--')
%因为求过差值后，x的个数比原来少一个，所以用1:end-1表示1.3 高阶求导其实很简单，对求导过的数再进行一次求导。例3、对于函数 f(x)=x^3 ，画出 f'(x)与f''(x) 的图像，其中 -2\le x \le 2 。 x = -2:0.005:2; y = x.^3;
m = diff(y)./diff(x);
m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));
plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);
xlabel('x','Fontsize',18);
ylabel('y','FontSize',18);
legend('f(x)=x^3','f''(x)','f''''(x)');
set(gca,'Fontsize',18);
例3二、函数定积分首先介绍一下积分原理（不想了解可以直接跳到2.4）2.1 矩形逼近积分有多种方式，我们首先考虑一下这种，用矩形逼近的。原理如下图举一个栗子：例4、A =\begin{equation*}
\int_{0}^{2}4x^3dx=x^4|_{0}^{2}=2^4-0^4=16 \end{equation*}\\ h = 0.05; x = 0:h:2;
midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;
%相当于矩形的底
y = 4*midpoint.^3;
%相当于矩形的高
s = sum(h*y)
%底乘高为小矩形的面积，相加即可得到近似的解结果如下：s =
15.9950误差0.005，可见还是很接近的，如果h取的足够小的话，可以控制误差在允许范围内。2.2 梯形逼近梯形逼近一般是要优于矩形逼近的，对于上题我们用矩形逼近来做。h = 0.05; x = 0:h:2;
y = 4*x.^3;
s = h*trapz(y)
%matlab自带矩形逼近的函数trapz()，我们直接用就行了结果如下：s =
16.0100误差0.01，比矩形的误差还大，hhh。所以这告诉我们，梯形逼近不一定就优于矩形逼近。*2.3 simpson逼近对比一下矩形逼近和梯形逼近，我们可以发现，梯形其实是用中间一个点来进行逼近，而矩形则是用两边两个点进行逼近。还有一种方法是simpson方法，是取了三个点，其精度更高。我们这里不详细介绍，只给出一张图来进行对比从左到右\begin{equation*} \int_{x_{0}}^{x_{2}}f(x)dx\approx \frac{h}{3}(f_{0}+4f_{1}+f_{2}) \end{equation*}\\ h = 0.05; x = 0:h:2;
y = 4*x.^3;
s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+4*sum(y(2:2:end))+y(end))结果如下：s =
16可以看到误差为0（只是因为本题较为简单，所以误差很小为0，其他则不一定），所以我们得出一个道理，其实就是把面积分得越细，得到的结果就越准确。2.4 积分函数integral()如果前面没有理解，没有关系。接下来介绍integral()，我们平常积分用的函数。integral其实和前面的算法是一样的，只不过划分区域更细了。具体用法如下：integral(y,a,b)函数y在区间[a,b]的积分例5、 \int_{0}^{2}\frac{1}{x^3-2x-5} y = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
%要创建积分的函数
integral(y,0,2)结果如下：ans =
-0.46052.5 高次积分matlab提供二次积分integral2() 和三次积分integral3() 例6、 \int_{\pi }^{0}\int_{\pi }^{2\pi }(y \cdot sin(x)+x\cdot cos(y))dxdy\\ f = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi)
结果如下：ans =
-9.8696例7、\int_{-1}^{1}\int_{0 }^{1}\int_{0 }^{\pi }(y \cdot sin(x)+z\cdot cos(y))dxdydz\\
f = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)结果如下：ans =
2.0000三、函数直接求导与不定积分在前面的内容，我们讲了求导与定积分运算，用两个diff()函数做除法运算，那么我们来试试对于这种不给具体数值的运算是怎么做的。例8、求该函数的导数y=5x^4\\ syms x
y = 4*x^5
diff(y)
%对于这种符号方程，直接使用就可以，不用除以步长（因为步长无限小，也没法给一个准确的值）方程的不定积分int() :求方程的不定积分（不带常数C）例9、 求下列函数z= \int{x^2e^xdx}\\其中：z(0)=0syms x
y = x^2*exp(x);
z = int(y)
结果：
z =
exp(x)*(x^2 - 2*x + 2)要注意int(y)只是求出了y的不定积分，但是不带常数C。因此我们要求该常数C。根据已知条件z(0)=0。那么令X=0求出来的Z的积分，与实际结果0相比，做差即可得到。这里直接用一个subs()函数 ，即将x=0代入z的表达式求出的值，那么z-sub()-0就是实际函数了z = z-subs(z,x,0)
z =
exp(x)*(x^2 - 2*x + 2) - 2总结：本节我们学习了函数的求导以及积分运算，求导主要利用diff()函数，而定积分主要用到integral()函数，不定积分用到int()函数。作业：请各位同学尝试求解z= \int_{a}^{b}{x^2e^xdx}\\ 操千曲而后晓声，观千剑而后识器

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