关于大学高数期末考试题数学极限的题？到底怎么搞啊？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-11-03 11:16 标签： 大学高数期末考试题
首先要了解函数极限的直观含义。你所要求的lim[x→0]f(x)，就是在问，当x无限接近于零，且不等于零时，f(x)无限接近于几？此题还要用到下面的单侧极限的概念，即lim[x→0^+]f(x)和lim[x→0^-]f(x)，前者表示当x从x>0的方向无限接近于零且不等于零时，f(x)无限接近于几；而后者表示当x从x<0的方向无限接近于零且不等于零时f(x)无限接近于几。有了上面三个概念（注意下面说的每一句话都要用上面的这些概念来解释。也就是说，凡是见到lim都要用上面这三个概念来解释这个lim），还需要下面的一个定理：lim[x→0]f(x)=A等价于：lim[x→0^+]f(x)=lim[x→0^-]f(x)=A。好了。现在开始做本题，因为lim[x→0^+]f(x)=lim[x→0^+]{1+x}=1+0=1；同理lim[x→0^-]f(x)=lim[x→0^-]{e^x}=e^0=1。所以，由前面的定理lim[x→0]f(x)=1。解毕。
本篇回答主要包括以下三部分内容：首先，介绍高等数学的研究对象和研究内容；其次，对于高等数学学习的几点建议；最后，推荐几本微积分教材、参考书。高等数学的研究对象和研究内容：1.研究对象：函数\begin{equation*}
\text{函数}\left\{
\begin{aligned}
&\text{抽象函数：主要出现在证明题，属于比较难掌握的部分} \\ &\text{具体函数}\left\{
\begin{aligned} & \text{初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则}\\ & \text{运算和有限次的函数复合} \\ & \text{非初等函数}\left\{
\begin{aligned} & \text{分段函数} \\ & \text{变上限积分} \\ & \text{级数的和函数} \\
\end{aligned} \right.
\end{aligned} \right. \end{aligned} \right. \end{equation*}基本初等函数包括六大类函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。特别注意幂函数与指数函数的复合：\begin{equation*} u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\text{ln}(u(x))},\quad u(x)>0 \end{equation*} \begin{equation*}
\text{常见的分段函数}\left\{
\begin{aligned}
&\text{符号函数：}\text{Sgn}(x)=\left\{
\begin{aligned} 1 ,\quad& x>0 \\ 0 , \quad& x=0\\ -1
, \quad& x<0 \end{aligned} \right.\\ &\text{取整函数/高斯函数：}[x]=n(n\leq x< n+1,n\in Z)\\ &\text{狄利克雷函数：}\text{D}(x)=\left\{
\begin{aligned} 1 , \quad x&\in Q\\ 0
, \quad x& \in R\backslash Q \end{aligned} \right. \\ &\text{黎曼函数：}\text{R}(x)=\left\{
\begin{aligned} \frac{1}{q}, \quad &x=\frac{p}{q},(\text{其中}p,q\text{都为正整数，且} \frac{p}{q}\\ & \text{为既约真分数})\\ 0
, \quad & x=0,1 ,\text{以及}(0,1)\text{之间的无理数} \end{aligned} \right. \end{aligned} \right. \end{equation*}
分段函数在每一段上都是一个初等函数，因此非分段点的性质（是否有极限，是否连续，是否可导，是否可积等）可以归为初等函数的性质；而讨论分段点的性质，通常需要从相应的定义出发。变上限积分，在定积分章节会出现，主要讨论的是关于变上限积分的导数计算等。级数的和函数，在级数章节会出现，主要讨论的是和函数是否存在，是否连续，是否逐项可导，是否逐项可积分，以及和函数的计算等。2.研究内容：函数的性质\begin{equation*}
\text{函数的性质}\left\{
\begin{aligned} &\text{奇偶性：高中的内容，高数不怎么讨论}\\ &\text{周期性：高中的内容，高数不怎么讨论}\\ &\text{有界性：计算极限的时候可能需要用到的性质}\\ &\text{单调性：一阶导数的符号}\\ &\text{凹凸性：二阶导数的符号（比较$y=e^x$与$y=\text{ln}(x)$的图像）}\\ &\text{敛散性：函数极限的概念（在某一个过程，函数是否有极限）}\\ &\text{连续性：通过函数极限定义}\\ &\text{可导性：通过函数极限定义}\\ &\text{可积性：通过函数极限定义} \end{aligned} \right. \end{equation*}
3.学习高等数学所需的高中数学基础：对于一元微积分（高数上）：主要是基本初等函数的概念性质，比如定义域、值域、图像以及一些比较常见的不等式、三角恒等式等。对于多元微积分（高数下）：还需要向量概念性质，常见二次曲面等空间解析几何的基础。对于高等数学学习的几点建议：1.提前预习老师要讲的内容。刚开始学的内容，一般都比较简单，可以提前预习一下相关的知识内容，能看懂多少就预习多少。数学知识就像九连环，是一环扣一环的，前面的知识往往是后面内容的基础。因此，前面的知识一定要打扎实了，不然后面学起来就会很吃力，也容易产生讨厌数学，觉得数学很难的情绪。2.课堂，要做笔记，紧跟老师的节奏。尽量不带手机上课，避免因为刷手机走神，跟不上老师的思维。笔记要准备厚一点的，一学期微积分的笔记写到A4纸上差不多要有200多页。如果来不及边听老师讲课边做笔记的话，可以选择先听老师讲课，先理解老师的逻辑。3.课后，要及时做好复习工作。当天讲完的数学课，一定要当天把笔记整理出来，如果是课上就做好笔记的话，要重新再把笔记看一遍，顺一遍，回忆一下老师当时是怎么介绍这些知识点的；如果课上没有做笔记的话，一定要当天就找同学把老师的笔记抄一下，同样抄的时候要回忆一下老师当时是怎么介绍这些知识点的。记得一定要当天就复习，不要隔天，隔天的效果通常不怎么好。若是隔几天再来看，很可能就全忘了老师当时是怎么讲的知识点。4.除了老师使用的教材，最好多备1-3本的参考辅导书。因为不同的参考书通常是由不同的老师编写的，他们对定义定理的理解深浅重要性以及陈述可能都会有些差别的，找的例子，练习题也不尽相同的。通过对比不同教材，可以更容易理解相应的知识点，同时也可以逐渐地找到属于自己的陈述理解风格。知识点通过比较，多方验证过后，一般就可以记得很牢靠，不容易遗忘。5.做适量的练习题。虽然不提倡题海战术，但是想学好数学的话，尤其是基础的数学，是要有一定量的练习。很多同学存在计算能力和逻辑分析能力非常弱的问题，尤其需要多加练习。练习题可以包括老师指定教材上的例子，习题和参考辅导书上的例子习题。做题的时候要多加思考，不要单单地以做对最后的结果为目的，想想这道题用到了哪些知识点，哪些知识点是新，哪些知识点是以前的，知识点与知识点之间是什么关系，这道题哪一个步骤是比较关键的、不容易想到的，等等。对于做过的题目要多停留一些时间来思考，有时要尝试记住一些做过的题目的结论。大学里面的有些例子，不仅仅单单是例子，也是一些常用的结论，对于后面的理解或者解题都是很有帮助的，所以要对你做过的题目要有印象！6.主观上一定要重视数学。微积分是大学重要的数学基础课，为许许多多的专业课提供了基础，数学的思维如果在第一遍没有得到应有的训练，以后是很难补救的。因此主观上一定要重视数学，重视了，才会花时间去学了，花时间了去学了，才有大概率学好高数。7.关于函数极限、导数、积分计算的学习过程：(1)学习函数极限、导数、积分的基本定义；(2)通过相应的定义导出基本初等函数的计算公式；(3)学习相应的四则运算法则和复合函数的计算法则；(4)通过相应的四则运算法则和复合函数的计算法则，可以得到所有初等函数的计算公式。推荐几本微积分教材、参考书：1.清华大学出版社2.高等教育出版社3.同济大学第七版4.国外的教材（中文版）5.国外的教材（影印版）最后，关于《微积分》教材或者参考书，更完整的推荐，大家可以参考我的另一个回答：
函数的极限问题怎么解释更通俗易懂？初高中数学辅导初中教育
来源：网络
编辑：楠哥
2019-11-04 11:14:38
　　函数问题是贯穿中小学直到未来的大学、研究生，函数问题很多，比如函数的极限性，其实是一个较难理解的问题，如果不能够说的通俗易懂，可能很多的学生是没有办法理解的。其实要小编来说函数的极限问题要说清楚，得要让孩子具备极限思想。如何将这个“极限思想”讲清楚，初高中数学辅导小编还是有一些心得体会的。
　　关于极限，我们一直在强调极限思想。书上的说法更加的严密，如果你要一个通俗易懂的，那么一句词就解决问题了：无限接近。就是当函数自变量x趋近于某个值的时候，我函数的因变量y也无限接近一个数。
　　教材上的也是这个意思。就是用ξ-Ν语言来表述：
　　你要学会看这个图，教材是分两种情况讨论的，我们先看第一种情况当x趋近于某个具体值的时候，那么你任给一个值ξ(指的是函数上任意一点的纵坐标与y0的纵坐标之差)，无论你给的有多么的小，我都能够找出一个ε，只要我x与x0的距离在这个ε之内的，我这个区间内的函数就都能满足使函数值变化不过ξ的要求。你可能会说这个图右上角有一部分满足你的要求又不在我说的区间之内，我说这是正常的，就像衣服的边角料一样，只要我区间内x的都可以满足函数值在你的区间之内就可以了。至于外面的我不用管。还有一种情况是针对x趋近于无穷的：
　　就是说当x趋近于无穷的时候，那么你任给一个数字ε当做函数与y=A的距离，这回我不变了，你去找吧，只要x大于某个X(一个具体的数字)，从此以后的值都是比你给的距离小的。
　　函数的极限，其实就是“无限接近”，无限接近主要是两个未知数x个y之间的关系，当x无限的变化时，你要看y是如何变化的，这就是它们之间的函数关系。*本文内容来源于网络，由升学帮整理编辑发布，如有侵权请联系客服删除！文章标签：
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