fxxk...隔了一坤月终于更了一波。。。各种事情一波接着一波后面我就想更什么就更什么了，一般和我的学习进度有1~3个月延迟最近在看SYP model和thermalization一类外加量子计算理论之类。。。最近在看有关quantum sensing的文献，无意中找到了一篇综述，感觉较完整地介绍了量子传感及其涉及的一些理论应用，同时也提到了交变信号感应、噪声谱学、自适应感应等theoretical/technical的问题，我觉得有必要对量子传感这个听起来前沿的领域做一个理论式的初探，而不是像某些科普性文章的扯大白话画大饼讲技术革命一类。这是Degen, Reinhard, Cappellaro大佬共创的名为quantum sensing的review，我看 @少司命 师兄也用这篇综述做了一小部分量子传感的介绍。我这里希望在理论层面深入一点。一. 何为量子传感和量子传感器？“量子传感”，顾名思义，就是利用量子力学效应来对一件小的物件进行探测，从而得到这个物件的一些信息。更精确的说，“量子传感”可以指以下三种之一：利用一个量子物体去测量某个物理性质。这个物体可由离散能级来表征。典型的如超导qubit、自旋qubit、囚禁离子qubit的电磁态或振动态。利用量子相干效应去测量某个物理性质。这可以通过空间上的波函数叠加来实现。利用量子纠缠来提高传感灵敏度或测量精确度。通常可以超出经典极限。这三种类型我们分别称为I型、II型、III型量子传感。其中I、II型涵盖了绝大多数的物理系统，更贴近应用；而III型更倾向于提供测量上的优越性。而量子传感器为何？简单来讲就是实现量子传感的器件，当然这很不严格。我们可以参考量子计算机的DiVincenzo判据来给出量子传感器的判据：量子系统具有离散、可解的能级。通常为
0\rangle,|1\rangle 组成的二能级系统或系综，能级差 E=\hbar\omega_0 。器件可以将量子系统初态转换为一个熟知的量子态并可以从外界读出。量子系统可以相干调节（简单理解为干涉）。通常使用时变场。量子系统与一个相关的物理量 V(t) 相互作用。通常为电磁场。这个相互作用可用耦合参数或转导参数（transduction） \gamma=\dfrac{\partial^qE}{\partial V^q} 来表征，其中 E 为能级差。 q=1 对应线性耦合， q=2 对应二次耦合。当然这些判据并不是必须的——比如不一定是二能级系统，同时也可以不是相干调节，如弛豫率测量也是可以的。二. 目前有哪些类型的量子传感器？近25个坤年以来，物理学家也是通过各种媒介来实现量子传感。这里介绍一些主流的方式。1. 中性原子中性原子没有净电荷，它主要靠基态自旋（电子自旋和核自旋耦合）来作为媒介的，可以通过具有选择性的光学偶极跃迁实现。a. 原子蒸气这是最简单的一个方式。通过光的法拉第效应将热原子蒸气进行自旋极化，然后借助塞曼效应，实现垂直极化方向微弱磁场的测量。这种方式以简洁性著称。b. 冷原子云该媒介的原理是利用激光冷却技术，将原子在空间上囚禁起来，让它们在特定的轨迹上运动，从而利用这些囚禁原子进行传感探测。典型的应用是探测微观尺度的磁场，如利用拉莫尔进动等。当然比较先进的一种是用于干涉加强传感，其中的干涉是通过自旋压缩（spin squeezing,我会单独开一篇讲）来实现。2. 囚禁离子这种方式就是利用电磁场将离子在真空中囚禁，而离子的能级又和外电场通过偶极跃迁而强烈关联起来，从而可以利用拉曼冷却和激光光谱将能级读出，获得能级间隔的信息。由此可以探测外力场等。而考虑到离子的基态自旋子能级也是对磁场敏感的（和中性原子类似），因此也可以用于探测磁场。3. 里德伯原子里德伯原子是处于高激发态的原子，其由于在电场下表现的强电偶极跃迁和强斯塔克效应而可用于与激光有关的传感中。一个有名的案例是将真空中的里德伯原子作为单光子探测器，用来检测低温腔内的微波频光子，这也是2012诺奖的一个内容。4. 原子钟原子钟以原子跃迁频率为媒介，其跃迁频率在很高精度下可认为绝对不变的。但这个“不变频率”是不能作为传感来使用的，原子钟一般作为参考振荡器使用。而为了用于量子传感，则可以将跃迁频率和一个不稳定的振子去比较，然后每次比较后都将振子与原子钟去锁相，也就是说原子钟起到了一个对振子相对相移进行一个测量和稳定的作用。反过来，也可以利用这个锁相的原理来探测外场。5. 固体自旋系统——系综传感器a. NMR系综NMR即核磁共振，该类传感器基于核自旋的拉莫尔进动来对外场进行测量。其中固体自旋初态的制备则可以利用外场下的热化（thermalization），即达到一个热平衡状态。这种思路已经在陀螺仪中有所应用。b. NV色心系综NV色心即氮空位（nitrogen-vacancy）色心，是指金刚石晶体中一个C被N替换且在N附近存在一个C缺陷，亦即电子自旋缺陷。这种结构为自旋提供了一个类似于“真空冷冻室”的作用，在提供强电（磁）偶极的同时，也由于高自旋密度而提供有效的光学读出手段，如荧光探测。同时，该结构在室温下依然具有很好的相干性。但该媒介在推广到大体积固体时也有缺陷，一个是难以实现对大型NV色心的荧光探测——很难给出吸收和色散关系；另一个是相干时间，由于NV色心自旋和N自旋的相互作用，导致NV色心自旋的退相干时间下降到了不到1%。不过，在小尺度的探测中还是颇有成果的。6. 固体自旋系统——单自旋传感器单自旋传感利用了固体自旋的单自旋读出方法，主要包括电读出和光读出两种。前者的例子有掺磷硅、静电控制的半导体量子点等，后者的例子有单有机分子、光敏量子点等，因技术具有较强针对性，这里不再赘述。一类典型的系统就是单NV色心，其室温光探测的可行性以及微纳尺度下的高稳定性给予其很大的优势。已经有报道的就有基于单NV色心的磁感器、压感器、磁成像等。7. 超导环路a. SQUID (超导量子干涉仪)SQUID (Superconducting QUantum Interference Device，超导量子干涉仪)，是基于超导波函数AB（Aharonov-Bohm）相位的元件，该相位由环绕的磁场确定，而该相位又可以通过对相位敏感的约瑟夫森结来进行测量，从而达到对外场传感的目的。该类传感器可以说是最老且最敏感的量子传感器。b. 超导量子比特该媒介是借助电荷本征态或超电流的叠加来构造超导量子比特，由于具有强电（磁）偶极作用，因此可以借助这些qubit实现对外场的感应。8. 基本粒子量子比特此类媒介是直接将一些基本粒子作为量子比特来实现量子传感，其一大优势是初始化和读出都很直接。a. μ子μ子和电子一样属于轻子，带有一个单位电荷和自旋，而这个自旋便可用于量子传感，以此为媒介的传感方式称为μ子自旋技术（μSR，muon spin rotation）。其中制备μ子的方式是利用光子碰撞产生 \pi^+ ，然后衰变得到反μ子：\pi^+\to\mu^++\nu_\mu 而由于弱相互作用的宇称不守恒，μ子的初态自旋自动和其动量平行。读出的方式即利用μ子的衰变\mu^+\to e^++\nu_e+\bar\nu_\mu 测量其中产生的正电子方向即可，而正电子的运动方向主要集中于μ子的自旋方向。从而实现传感的作用。b. 中子该媒介的传感方式是先将中子在磁性材料上发生布拉格散射，使其自旋极化，然后借助局域磁场实现自旋的旋转，最后的读出则可以借助对自旋敏感的布拉格分析器来实现。该思路的一个早期应用是对Berry相位的测量。还有一个典型应用是中子自旋回波（spin echo）技术，通过加外场使其磁共振（抵消失相），进而将中子当作一个钟的作用，测量中子的飞行时间。而利用飞行时间的测量，又可以测量材料性质，因为材料会使中子发生非弹性散射，改变中子的飞行速度进而改变飞行时间，同时可以测出能量损耗来反应进一步的性质。9. 杂项a. 单电子晶体管单电子晶体管（SET，single electron transistor）利用其源和漏之间的金属岛，测量内部的隧穿电流，进而实现对外电场的传感。而在尺度约100nm的金属岛中，仅当电荷本征态能量在源漏费米能级之间这么一个窄窗口内时，才可能发生隧穿。因此该器件对弱电场有很强的敏感性。b. 光力该思路是利用声子的振动离散能级，来模拟一系列单粒子的振荡，而这些振荡又可以与外光场发生强耦合。从而可以利用这种耦合来对光场进行感应。该方法的一个困难是声子数量本征态以及叠加态的制备较难，但与光场的强耦合性使得传感的启动和读出显得很有效。目前光力传感已经在力传感、加速度传感、质量传感、磁场传感等有了实现。c. 光子该方法主要利用光的压缩以及光关联。光压缩是早于自旋压缩实现的一个手段，其可以产生部分纠缠态，在一个方向上具有比经典光更小的相位或振幅波动，从而可以提高传感的灵敏度，这在引力波探测中已经得到应用。而光子的量子关联又可以作为成像的一个来源，这可以追溯到Hanbury-Brown-Twiss实验——利用光子聚束效应（bunching）来实现对那些直径低于望远镜衍射极限的星体的观测。更多的应用可参考量子光学领域的成果。10. 小summary以上总结了近几十年来主要的量子传感器类型，也有相当多的小领域传感器如石墨烯NEMS系统等在不同领域中有特别应用前景。原文中也给了一个详细表格，其总结了以上各种传感器的类型、传感量、特征频率、传感器类型等性质：三. 量子传感协议——实现传感的普遍方法下面我们讨论最底层的量子传感思路，这主要包括三个基本步骤：量子传感器的初始化与感兴趣信号的作用末态的读出而这些步骤中一个关键量便是量子相位。接下来我们就考虑这些步骤中一些具体化的问题。1. 量子传感器的哈密顿量考虑到传感的目的，我们需要把哈密顿量 \hat H 分成三个部分：\hat H=\hat H_0+\hat H_V+\hat H_{c} 其中 \hat H_0 是量子传感器的固有哈密顿量，即没有任何信号时的哈密顿量。在二能级系统中\hat H_0=E_0|0\rangle\langle 0|+E_1|1\rangle\langle 1
\hat H_V 为信号哈密顿量。其在2×2矩阵中可分为对角和非对角部分\hat H_V=\hat H_{V_{//}}+\hat H_{V_\perp} 对角部分 \hat H_{V_{//}} 为纵向（可交换）分量，非对角部分 \hat H_{V_{\perp}} 为横向（不可交换）分量。也可以写成形式\begin{aligned} & \hat{H}_{V_{\|}}(t)=\frac{1}{2} \gamma V_{\|}(t)\{|1\rangle\langle 1|-
0\rangle\langle 0|\} \\ & \hat{H}_{V_{\perp}}(t)=\frac{1}{2} \gamma\left\{V_{\perp}(t)|1\rangle\langle 0|+V_{\perp}^{\dagger}(t)
0\rangle\langle 1|\right\} \end{aligned} 其中 \gamma 为耦合参数或转导参数，可以描述塞曼效应、线性斯塔克效应等。纵向分量带来的是能级移动亦即跃迁频率的变化，而横向分量则负责产生能级跃迁，并引入一个跃迁速率 \Gamma 。而 \hat H_c 为控制哈密顿量，可以用量子计算中的逻辑门描述，如Hadamard门、泡利X,Y门等。对于多于一个qubit的情况还可能有其他逻辑门如受控NOT门等。2. 量子传感协议为了实现通用的量子传感，可以按照如下步骤来进行：初始化：将传感器初始化到某个本征态，如
0\rangle 态。变换：将传感器变换到所需求的初态
\psi_0\rangle=\hat U_a|0\rangle ，其中 \hat U_a 可以用一系列控制脉冲实现。演化：将传感器在总哈密顿量 \hat H 下演化时间 t 直至达到末态
\psi(t)\rangle =\hat U_H(0,t)|\psi_0\rangle=c_0|\psi_0\rangle+c_1|\psi_1\rangle 。再变换：将传感器变换到可读出的态
\alpha\rangle=\hat U_b|\psi(t)\rangle=c_0'|0'\rangle+c_1'|1'\rangle ，其中新的基是可读出态的基。通常情况下假定读出态的基和初始化基相同，从而 \hat U_b=\hat U_a^\dagger,\quad c_0'=c_0,c_1'=c_1 。投影与读出：根据可读出态
\alpha\rangle 来读出结果（相当于投影），简单来说就是有 1-p'(p'=|c_1'|^2) 的概率读出'0'，有 p' 的概率读出'1'。这个读出概率 p' 正比于跃迁概率 p=|c_1|^2 。重复与平均：重复1-5循环，直到得到 p 的一个良好估计。估计信号：概率 p 可以反应外信号 V ，从而根据一系列 p 值可以得到信号的变化 V(t) 。用一个流程图形象表示就是3. 两个典型测量方法根据前面的传感协议，这里介绍两种常用的测量方法。a. Ramsey测量该方法用于测量静态能级劈裂频率 \omega_0 。其测量步骤为初始化到|0\rangle。加入 \dfrac\pi2 脉冲将初始化态变换为加态
\psi_0\rangle=|+\rangle=\dfrac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2} 。演化，演化后的态为
\psi(t)\rangle=\dfrac{|0\rangle+e^{-i\omega_0t}|1\rangle}{\sqrt 2} ，外加一个整体相位因子。再加一个\dfrac\pi2 脉冲变成可读出的态
\alpha\rangle=\dfrac{1+e^{-i\omega_0t}}{2}|0\rangle+\dfrac{1-e^{-i\omega_0t}}{2}|1\rangle 。读出末态，跃迁频率为 p=|\langle 1|\alpha\rangle|^2=\dfrac{1-\cos\omega_0t}{2} 。记录 p(t) 振荡即可得到能级劈裂频率 \omega_0 。可以看到Ramsey测量的原理非常简单但又很巧妙。b. Rabi测量该测量是针对跃迁矩阵元
V_\perp
的，步骤如下：初始化到
0\rangle 。给定能级劈裂 \omega_0 ，加入信号哈密顿量 \hat H_{V_\perp}=\dfrac12\gamma V_\perp\sigma_x=\omega_1\sigma_x ，其中 \omega_1 为Rabi频率。在哈密顿量下演化
\psi(t)\rangle=|\alpha\rangle 。读出并计算跃迁概率为 p=\dfrac{\omega_1^2}{\omega_1^2+\omega_0^2}\sin^2\sqrt{\omega_1^2+\omega_0^2}t （Rabi振荡，量子力学作业题）。从而可以得到跃迁矩阵元。4. 信号的检测手段量子传感的一个关键目标是对小信号的检测，也就是对跃迁概率关于一个参考值（偏置点） p_0 的偏离 \delta p=p-p_0 。对于该信号的检测，这里简单提两种：a. 斜率探测（线性探测）考虑Ramsey测量信号的情况。不难发现信号在 p_0=0.5 处有最大信号，那么偏移\delta p=\dfrac{1-\cos(\omega_0+\gamma\delta V)t}2-\dfrac12\approx\pm\dfrac{1}2\gamma\delta Vt\propto\delta V 但近似也是有要求的。如果
\gamma\delta Vt|>\dfrac{\pi}2 就会出现相位缠绕（phase wrapping），近似和线性探测不再适用。b. 方差探测（二次探测）该方法用于 \langle \delta V\rangle=0的情况，此时就要考虑二阶的 \langle \delta V\rangle^2=V_{rms}^2 。这可以在上述曲线的最低点附近探测：\delta p=\langle\dfrac{1-\cos(\omega_0+\delta V)t}{2}\rangle\approx\dfrac{\gamma^2V_{rms}^2t^2}4\propto V_{rms}^2 四. 灵敏度及影响因素为了定量衡量传感器的好坏，我们需要用灵敏度来评估。而为了估计灵敏度，我们要先考虑影响灵敏度的因素：1. 噪声我们主要考虑如下若干种噪声：a. 量子投影噪声该噪声是最常见的不确定度来源。其来源于对读出结果概率的估计p=\dfrac{N_1}{N} 当测量数有限时，用结果来估计必然会有误差。对于二项分布情形，其标准差为\sigma_p=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}} 取 p_0=\dfrac12（线性探测） 时标准差最大： \sigma_p=\dfrac{1}{2\sqrt N}\propto\dfrac{1}{\sqrt N} 而在二次探测中，该标准差为零，此时另一因素占主要影响：b. 退相干与弛豫该因素导致量子态之间发生随机跃迁，抑或是出现随机相位。其导致测量的概率偏移将多出一个因子\delta p_{obs}(t)=\delta p(t)e^{-\chi(t)} 其中 \chi(t) 为退相干函数，取决于具体过程。通常可以用幂律估计为\chi(t)\approx (\Gamma t)^a 其中 \Gamma 为衰减率，与衰减时间（退相干时间/弛豫时间） T_\chi=\dfrac{1}\Gamma 关联。关于弛豫与退相干有比较微妙的物理，我后续会更。c. 初始化以及量子比特操作中的误差该因素是实际操作带来的影响，其使跃迁概率偏移产生减小：\delta p_{obs}=\beta\delta p,\quad \beta<1 但与退相干不同的是该影响不依赖于传感时间,因此通常我们设定 \beta=1 .d. 经典读出噪声该影响来源于在最后读出时加入的经典噪声，主要有两种情况，一个是单发读出，一个是平均读出。用图示表示就是如下情况：其中由于噪声的加入，读出的值并不是正好在理论读出值，而是在各自中心附近有一定分布。单发读出：是通过若干次的单次读出，选定一个参考值 x_T ，然后比较参考值和读出值来确定对应于哪个状态，从而得到读出的 N_0,N_1,p 。而在确定状态的过程中，总有可能确定错了，比如说 x_{|0\rangle} 附近的一个值因噪声分布到了 x_T 右侧导致判断为x_{|1\rangle} 附近.这部分误差也可以用二项分布的思路来估计:\sigma_{p,readout}^2=\dfrac{\kappa_0(1-\kappa_0)p+\kappa_1(1-\kappa_1)(1-p)}{N} 其中 p 代表误判断到右侧,而 \kappa_0 是使得出现这一误判的概率,即分布到 x_T 右侧的概率.对于高斯分布有\kappa_0=\dfrac{1-\text{erf}(\dfrac{|x_{|0\rangle}-x_T|}{\sigma_x})}{2} , \sigma_x 是分布的方差单发读出对应的是经典噪声比较小,从而读出值分布不是太离谱的情况.平均读出:对应于经典噪声很大导致两个峰完全重叠到一块以至于分辨不出各自峰的情形. 此时可以用读出值的平均来估计:p=\dfrac{\bar x-x_{|0\rangle}}{x_{|1\rangle}-x_{|0\rangle}}=\dfrac1N\sum_{j=1}^N\dfrac{x_j-x_{|0\rangle}}{x_{|1\rangle}-x_{|0\rangle}} 其带来的误差为\sigma_{p,readout}^2=\dfrac{R^2}{4N},\quad R=\dfrac{2\sqrt N\sigma_x}{|x_{|1\rangle}-x_{|0\rangle}|} 而根据前面所述,量子效应带来的误差 \sim\dfrac{1}{\sqrt N} , 因此 R 可以作为经典噪声和量子噪声比值的一个量度:R=\dfrac{\sigma_{readout}}{\sigma_{quantum}} ,如果我们取 \sigma_{quantum}=\dfrac{1}{2\sqrt N} 总的误差就是\sigma_p^2=(1+R^2)\sigma_{p,quantum}^2=\dfrac{1}{4C^2N}\implies \sigma_p=\dfrac{1}{2C\sqrt N} 其中 C=\dfrac{1}{\sqrt{1+R^2}} 为读出效率参数. 理想情况下 C=1 .2. 灵敏度类似于经典传感,我们肯定要考虑信噪比(SNR, signal-to-noise ratio):a.信噪比其定义为跃迁概率变化与p误差(噪声项)的比值:SNR=\dfrac{\delta p_{obs}}{\sigma_p}=\delta p(t)2C\sqrt Ne^{-\chi(t)} 其中代入了前面的结果. 而 \delta p 项又可以统一为\delta p=\delta V^q|\partial_V^qp(t)
,其中 q=1,2 分别对应前面的线性和二次探测另外也可以用时间来表示 N .若一次演化过程的用时为 t ,初始化读出等过程的用时为 t_m ,所有传感的总用时(积分时间)为 T ,那么N=\dfrac{T}{t+t_m} 那么信噪比SNR=\delta V^q|\partial_V^qp(t)|2C(t_m)\dfrac{\sqrt T}{\sqrt{t+t_m}}e^{-\chi(t)} 其中考虑到效率因子受读出时间的影响.下面我们定量化灵敏度:b. 最小可探测信号灵敏度(sensitivity)定义为最小可探测信号,即在单位积分时间内产生单位信噪比的最小信号:v_{\min}^q=\dfrac{e^{\chi(t)}\sqrt{t+t_m}}{2C(t_m)|\partial_V^q p(t)|} 对于线性探测 p_0=0.5,\delta p(t)\approx \dfrac12\gamma Vt :
v_{\min}=\dfrac{e^{\chi(t)}\sqrt{t+t_m}}{\gamma C(t_m)t} 在 t_m\ll t 以及退相干函数 \chi(t)=\dfrac{t}{T_2} 的情况下，当 t=\dfrac{T_2}2 时灵敏度取最小 v_\min=\dfrac{\sqrt{2e}}{\gamma C\sqrt{T_2}} 。对于二次探测 \delta p(t)\approx \dfrac14\gamma^2 V_{rms}^2t^2 ： v_\min=\sqrt{\dfrac{2e^{\chi(t)}\sqrt{t+t_m}}{C(t_m)\gamma^2t^2}} 在 t_m\ll t 以及退相干函数 \chi(t)=\dfrac{t}{T_2} 的情况下，设 t=T_\chi （通用notation）时灵敏度最小，即v_\min=\dfrac{\sqrt{2e}}{\gamma\sqrt C\sqrt[4]{T_\chi^3}} c. 积分信号以上是考虑单位积分时间的情况，而若考虑到积分时间可以更长，则可探测最小信号（积分信号）将按指数律减小：V_\min^q(T)=\dfrac{v_\min^q}{\sqrt T} 特别地当 T=T_\chi 即灵敏度最小时间时，对于线性和二次探测该标度律分别为V_{\min}(T)=v_{\min}T^{-\frac12},\quad V_{\min}(T)=v_{\min}T^{-\frac14} 3. Allan方差衡量完灵敏度后，传感的稳定性因素也需要评估，使用的媒介就是Allan方差（标准差）：\sigma_X^2(\tau)=\dfrac{\sum_{j=1}^{N-1}(x_{j+1}-x_j)^2}{2(N-1)t_s^2} ，其中 t_s 是每一次测量的时间间隔，即 t_j=jt_s 当然实际中也可以取非相邻的读出值：\sigma_X^2(mt_s)=\dfrac{\sum_{j=1}^{N-2m}(x_{j+m}-x_j)^2}{2(N-2m)m^2t_s^2} 4. 参数估计的量子Cramer-Rao下界以上讨论的灵敏度是基于简单的“可探测信号”讨论的，而若严格考虑对参数的估计过程，则可以得到更精确的界限，即Cramer-Rao下界。这个参数估计过程主要包括两步：第一步是测量出量子态（密度矩阵） \rho_V ，第二部通过对测量结果进行数据处理，得到对参数 V 的估计。通常情况下，这个测量可以用POVM（正定算子估值测量）来实现，即用一系列算子 M=\{E_x^N\} 来测量原系统的N重复制。对应的测量结果为 x 的概率可以记为p_N(x|V)=\operatorname{Tr}[E_x^{(N)}\rho_V^{\otimes N}] 再设从测量结果x估计出参数V的值v的概率为 p_{est}^{(N)}(v|x) ，那么考虑所有测量结果后，估计值为v的概率为P_N(v|V)=\sum_xp_{est}^{(N)}(v|x)p_N(x|V) 仍记参数精确值为 V ，并定义参数估计的不确定度为\Delta V_N=\sqrt{\sum_v|v-V|^2P_N(v|V)} 数学上可以证明，该不确定度有一个Cramer-Rao下界（CRB）：\Delta V_N\geq\dfrac{1}{\gamma\sqrt{F_N(V)}} 其中 \gamma 是前面提过的转导常数， F_N(V) 是与POVM相关的Fisher信息：F_N(V)=\sum_x\dfrac{1}{p_N(x|V)}\left(\dfrac{\partial p_N(x|V)}{\partial V}\right)^2 上式是给定POVM集的情形。而如果考虑所有可能的POVM集即得到量子Cramer-Rao下界（QCRB）:\Delta V_N\geq\dfrac{1}{\gamma\sqrt{\max_{M^{(N)}}F_N(V)}}\geq\dfrac{1}{\gamma\sqrt{N\mathcal F(\rho_V)}} 其中量子Fisher信息：\mathcal F(\rho_V)=\operatorname{Tr}[R_{\rho_V}^{-1}(\partial_V\rho_V)\rho_VR_{\rho_V}^{-1}(\partial_V\rho_V)] 其中对称对数导数（LLD）R_\rho^{-1}(A)=\sum_{j,k;\lambda_j+\lambda_k\neq0}\dfrac{2A_{jk}|j\rangle\langle k|}{\lambda_j+\lambda_k} ，在使 \rho_V 对角化的基下 \rho_V=\sum_j\lambda_j|j\rangle\langle j
特别地，当 \rho_V 是纯态时，
\psi_V\rangle=e^{-i\hat H_Vt}|0\rangle ，QCRB简化为\Delta V_N\geq\dfrac{1}{2\gamma\sqrt N\Delta H} ，其中 \Delta H 是哈密顿量的不确定度。注意到QCRB正比于 \dfrac{1}{\sqrt N} ，这也称为标准量子极限（SQL）。五. 交变信号传感前面我们考虑的都是静态且确定的信号V的探测，但还有一类系统中信号是时变、交流（AC）的，对此系统也形成了一套传感协议与步骤。1. 时变信号类似于傅里叶级数的思路，我们取单频（single-tone）交变信号为V(t')=V_{pk}\cos(2\pi f_{ac}t'+\alpha) 以及多频（multi-tone）信号V(t')=\sum_m V_{pk,m}\cos(2\pi f_{ac,m}t'+\alpha_m) 2. 简单序列交变信号带来的一个后果就是演化时间t内积累的相位变成了积分形式\phi=\int_0^t\gamma V(t')\mathrm d t' 对于静态信号，上式就是 \phi=\gamma Vt ，从而可以利用前面提到的Ramsey测量。如果用给量子态加相位的语言来说就是Ramsey序列。该序列仅适用于缓变情形，亦即频率小于 \dfrac1t 。而对于非缓变情形，当信号单频且传感时间恰好等于交变信号的一个周期时，可以仿照自旋回波（spin-echo）思路，在 \dfrac t2 处加一个 \pi 脉冲（相位）使qubit发生翻转。此时的相位积累就变成了\phi=(\int_0^{\frac t2}-\int_{\frac t2}^t)\gamma V(t')\mathrm dt'=\dfrac2\pi\gamma V_{pk}\cos\alpha\cdot t 于是在该脉冲下，相位积累依然是Ramsey序列的线性形式。此时的序列称为回波序列。3. 多脉冲序列我们也可以仿照着加入一系列 \pi 脉冲形成新的序列。此时的积累相位就是\phi=\int_0^t\gamma V(t')y(t')\mathrm dt' 其中 y(t')=\pm1 为调制函数，表征脉冲的影响，每当遇到一个脉冲后即变号一次。约定加入脉冲的时刻为 t_j(j=1,\cdots,n) ，并记单频信号的积累相位为\phi=\gamma V_{pk}tW(f_{ac},\alpha) 其中 W(f_{ac},\alpha) 称为权函数。两种典型的序列是CP序列和PDD序列。这两种序列的脉冲是等间隔 \tau 的，区别仅在于第一个脉冲和零时差是不是\tau。对于CP（Carr-Purcell）序列，脉冲位置 t_j=\dfrac{2j-1}2\tau ，对应的权函数为W_{CP}(f_{ac},\alpha)=\operatorname{sinc}(\pi f_{ac}n\tau)[1-\sec(\pi f_{ac}\tau)]\cos(\pi f_{ac}n\tau+\alpha) 对于PDD（periodic dynamical decoupling）序列， t_j=j\tau 。权函数W_{PDD}(f_{ac},\alpha)=\operatorname{sinc}(\pi f_{ac}n\tau)\tan(\pi f_{ac}\tau)\sin(\pi f_{ac}n\tau+\alpha) 而对于脉冲数很多的情形，由于有sinc函数的调制，权函数在 f_{ac} 轴上会有一系列尖峰，峰中心为 f_k=\dfrac{k}{2\tau} ，峰宽 \Delta f=\dfrac{1}{n\tau} 。此时的峰位处（共振）的权函数就是W_{CP}(\alpha)=\dfrac{2(-1)^{\frac{k-1}2}}{\pi k}\cos\alpha,\quad W_{PDD}(\alpha)=-\dfrac{2}{\pi k}\sin\alpha 下图是以上四种序列的简图：从上至下：Ramsey，回波，CP，PDD注意到两种序列的权函数均与 \alpha 有关，该相位表征了交变信号和调制函数的相对相位（但不完全相等，取决于何种序列）。若二者同相（in-phase）则相位积累最大；反之若异相（out-of-phase）则相位积累为零。因此也可以通过调节序列的相位，来实现对 \alpha 的锁相与测量。此即锁相检测（lock-in detection）。除以上的序列外，也存在XY4、XY8、XY16等序列以及更多待开发的序列。以上是在相位 \alpha 确定的情况下讨论的，但有一种情况是 \alpha 并不确定，而是随机的。此时将导致\langle\phi\rangle=0 为此我们需要考虑 \langle \phi^2\rangle 。类似的推导可得\langle\phi^2\rangle=\gamma^2V_{rms}^2t^2\bar W^2(f_{ac}),\quad V_{rms}=\dfrac{V_{pk}}{\sqrt 2} 其中 \bar W^2(f_{ac}) 是对相位α平均后的权函数\bar W^2(f_{ac})=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}W^2(f_{ac},\alpha)\mathrm d\alpha 对于CP和PDD序列则分别为\bar W_{CP}^2(f_{ac})=\dfrac{\operatorname{sinc}^2(\pi f_{ac}n\tau)}{2}[1-\sec(\pi f_{ac}\tau)]^2,\quad \bar W_{PDD}^2(f_{ac})=\dfrac{\operatorname{sinc}^2(\pi f_{ac}n\tau)}{2}\tan^2(\pi f_{ac}\tau) 在脉冲数量多的情形下二者统一为\bar W^2=\dfrac{2}{(k\pi)^2},\quad f_{ac}=\dfrac{k}{2\tau} 但考虑到随机相位后的跃迁概率演化就不应当包含随机相位了，而是对所有相位的平均。计算即得p(t)=\dfrac{1-J_0(\dfrac{2\sqrt 2\gamma V_{rms}t}{k\pi})}{2} ，在共振频率下同理，也可以当振幅 V_{pk} 随机，但通常有一定分布而非完全随机。对于方差 V_{rms} 中心为0的高斯分布，同理可以平均出跃迁概率演化为p(t)=\dfrac{1-I_0(\dfrac{\bar W^2\gamma^2V_{rms}^2t^2}{2k^2})e^{-\frac{\bar W^2\gamma^2V_{rms}^2t^2}{2k^2}}}{2} ，在共振频率下4. 波形重建受多脉冲序列启发，有人根据Walsh函数的性质设计了Walsh动力学解耦序列y(t')=W_n(\dfrac{t'}t) 在此序列下，相位积累可以表为（似乎涉及Walsh函数的性质，这里不列细节）\phi(t)=\gamma V_nt ，其中 V_n 为Walsh系数。通过测量N个Walsh系数即可通过Walsh-傅里叶级数来重建交变信号V_N(t')=\sum_{n=0}^{N-1}V_nW_n(\dfrac{t'}t) ，且满足 \lim_{N\to\infty}V_N(t')=V(t') 。5.频率估计前面我们考虑的是信号强度估计，这里我们考虑如何估计信号频率 f_{ac} 。主要的思路是动力学解耦序列。a. 原先的动力学解耦该思路其实就是用前面的多脉冲序列去调制，改变脉冲间隔 \tau 来测量相应的响应。根据前面分析可知，改变不同的 \tau 将影响对应权函数 W(f_{ac},\tau) 亦即动力学解耦谱的峰宽 \Delta f\approx\dfrac 1t 。但后面会提到，传感时间不能无限长，必须小于一个退相干特征时间 T_2 ，因此谱的峰宽即频率测量精度限制于\Delta f\sim\dfrac{1}{T_2} b. 关联序列原先的动力学解耦谱方法受退相干影响太大，为了减小其影响，可以采取关联序列的方法。其思路是在原先的多脉冲序列略作改进——分为 t_a=\dfrac t2 的两部分，然后中间分开一定时间 t_1 。这个时间段里没有脉冲，系统在 t_1 内自由演化。同样考虑相位积累可得跃迁概率p(t)=\dfrac{1-\sin[\Phi\cos\alpha]\sin[\Phi\cos(\alpha+2\pi f_{ac}t_1)]}{2}\approx\dfrac{1-\Phi^2\cos\alpha\cos(\alpha+2\pi f_{ac}t_1)}{2} 其中 \Phi=\dfrac{\gamma V_{pk}t}{k\pi}\ll 1 。若考虑随机相位，对 \alpha 平均后就是p(t)=\dfrac{1-\dfrac{\Phi^2}2\cos(2\pi f_{ac}t_1)}{2} 由此可见将跃迁概率变为了随分开时间 t_1 的振荡。由于这个振荡是自由演化部分决定的，因此频率精度不受限于退相干，取而代之的是弛豫时间 T_1 \Delta f\sim\dfrac{1}{T_1} c. 连续采样另一种思路是不改变原先的多脉冲，而是把初始化、脉冲和读出过程按一定周期去重复，每一次重复都进行一次信号的读出，然后将这些读出信号进行傅里叶变换来提取信号的频率。由于该采样不依赖于量子态的退相干与弛豫（多次读出而非一直演化），因此其频率精度只受限于总传感时间\Delta f=\dfrac1T 两种思路的原理简图如下：从上至下分别为信号、关联序列、连续采样六. 噪声分析前面我们一直模糊提到噪声的影响，但还没有定量化噪声。本部分将给出对噪声和噪声谱的一些定量探讨。1. 噪声过程噪声可以定量化为一个随机信号 V(t) ，且通常假定为随时间高斯分布，即高斯噪声。我们定义自相关函数G_V(t)=\langle V(t'+t)V(t')\rangle 并定义功率谱密度S_V(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega t}G_V(t)\mathrm dt 自相关函数只在一个时间尺度 t_c 内有明显值，说明大于这个时间尺度的噪声不相关。功率谱通常在 \Delta f\sim\dfrac1t 内是相对平滑的。2. 噪声影响下的退相干退相干之前提到过，其使跃迁概率在自由演化情况下变成p(t)=\dfrac{1-e^{-\chi(t)}}2 其中 \chi(t)=\Gamma t 对应于马尔可夫过程的白噪声， \chi(t)=(\Gamma t)^3 对应于洛伦兹噪声，更一般的形式可以表为\chi(t)=(\Gamma t)^{a+1} 但是我们还没有对退相干函数的深层含义分析。我们可以用关联积分来定义这个函数\displaystyle\chi(t)=\dfrac12\int_0^t\mathrm dt'\int_0^t\mathrm dt''y(t')y(t'')\gamma^2 G_V(t'-t'') 或者写成对频率的积分\displaystyle\chi(t)=\frac2\pi\int_0^\infty \gamma^2S_V(\omega)|Y(\omega)|^2\mathrm d\omega 其中滤波函数Y(\omega)=\int_0^ty(t')e^{i\omega t'}\mathrm dt' 例如对于Ramsey测量（序列），|Y(\omega)|^2=\dfrac{\sin^2\dfrac{\omega t}2}{\omega^2},\quad \chi(t)\approx\dfrac12\gamma^2S_V(0)t 当然这只是给出了对于一般调制函数y(t)下的退相干函数。对于动力学解耦过程，则可以看作每一个调制块 y_1(t) 以间隔 \tau_c 重复 n_c 次形成的调制函数，对应的滤波函数也可以按照这个思路去写出来：Y_{n_c,\tau_c}(\omega)=Y_{1}(\omega)\sum_{k=0}^{n_c-1}e^{i\tau_ck}=Y_1(\omega)\dfrac{\sin\dfrac{n_c\omega\tau_c}2}{\sin\dfrac{\omega\tau_c}2}e^{-i(n_c-1)\frac{\omega\tau_c}{2}} 对于前面的CP和PDD序列， \tau_c=2\tau,n_c=\dfrac n2 (调制函数间隔是脉冲间隔二倍)，|Y_{n,\tau}|^2\approx\sum_k\dfrac{2\pi}{(k\pi)^2}\operatorname{sinc}^2\dfrac{(\omega-\omega_k)t}2\approx\sum_k\dfrac{2\pi}{(k\pi)^2}t\delta(\omega-\omega_k) ，其中\omega_k=2\pi\dfrac{k}{2\tau},\quad k=1,3,5,\cdots 对应的退相干函数\chi(t)=\dfrac{4t}{\pi^2}\sum_k\dfrac{\gamma^2S_V(\omega_k)}{k^2}\propto t 3. 弛豫测量弛豫基于向其他非关联态的跃迁，影响着 \chi(t) 中的衰减率 \Gamma 。而基于一阶微扰理论，我们可以对衰减率做一些简单理论计算。首先把噪声信号作傅里叶变换V(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm d\omega[V(\omega)e^{-i\omega t}+V^\dagger(\omega)e^{i\omega t}] 然后考虑其中的 V(\omega) 成分，设其对应的哈密顿量为 H_V(\omega) ,根据含时微扰可以得到跃迁振幅c_1(t)=-i\int_0^t\mathrm dt'\langle\psi_1|\hat H_V(\omega)|\psi_0\rangle e^{i(\omega_{01}-\omega)t}=-i\langle\psi_1|\hat H_V(\omega)|\psi_0\rangle\dfrac{e^{i(\omega_{01}-\omega)t}-1}{i(\omega_{01}-\omega)} 在t很大时跃迁概率
c_1(t)|^2\approx 2\pi|\langle \psi_1|\hat H_V(\omega)|\psi_0\rangle|^2t\delta(\omega_{01}-\omega) 其变化率遵循费米黄金定则
\dfrac{\partial|c_1(t)|^2}{\partial t}\approx 2\pi
\langle\psi_1|\hat H_V(\omega)|\psi_0\rangle|^2\delta(\omega_{01}-\omega) 衰减率则是对所有频率进行积分\Gamma=\dfrac1\pi\int_0^\infty\mathrm d\omega\dfrac{\partial|c_1(t)|^2}{\partial t}=2|\langle\psi_1|\hat H_V(\omega_{01})|\psi_0\rangle|^2 根据之前提到的 \hat H_V 形式，每一部分可以用矩阵形式写成H_V(t)=\dfrac{\gamma \sigma_VV(t)}{2} 由此可以导出（针对不同部分）\Gamma=2\gamma^2 S_{V_{01}}(\omega_{01})|\langle\psi_1|\dfrac{\sigma_V}2|\psi_0\rangle|^2 可以看到，衰减率正比于哈密顿量对应的功率谱密度。在只有 V_\perp 的情况下|\langle\psi_1|\dfrac{\sigma_V}2|\psi_0\rangle|^2=\dfrac14\implies\Gamma=\dfrac12\gamma^2 S_{V_{01}}(\omega_{01}) 下面我们定义两类弛豫测量：a. T_1 弛豫测量该测量针对
0\rangle,|1\rangle 态的跃迁率。根据前面的 \Gamma 可知跃迁特征时间即 T_1 时间：T_1=\dfrac{1}\Gamma=\dfrac{2}{\gamma^2S_{V_\perp}(\omega_0)} 即只与 \vec V 的横向分量有关，且 T_1 通常很长。b. T_2,T_2^* 弛豫测量T_2^* 弛豫测量针对
\pm\rangle=\dfrac{|0\rangle\pm e^{-i\omega_0t}|1\rangle}2 之间的跃迁。此时特征时间T_2^*=\dfrac{1}{\gamma^2\left[\dfrac{S_{V_\perp}(\omega_0)}4+\dfrac{S_{V_{//}}(0)}2\right]} 可见其中包括了两部分——一个是V横向分量主导的比特翻转，一个是V纵向分量主导的相位反转。而且因后者依赖于谱密度的零频值，其往往比非零频值要大得多，因此T_2^*\ll T_1 即在一段时间演化后，相位翻转的概率影响要远远大于比特翻转。而 T_2 弛豫测量只是将 T_2^* 弛豫测量推广到了动力学解耦序列中，其特征时间 T_2 ，依然满足T_2\ll T_1 小summary关于quantum sensing，主干知识就列到这儿了，原文献中还有更多的如adaptive sensing的话题，个人感觉是一些延申式的介绍内容，限于篇幅，就不在这里讲述了。