一元n次方程a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an=0
（其中n是自然数，a0，a1，……an是任何复数，且a0
）如果n2，通常也叫高次方程，下面，我们学习一元n次方程的默写重要性质以及它的解法。
以后，我们用符号f（x）来表示a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an，很明显，如果f（a）=0，那么a就是f（x）=0的根，反过来，如果a是方程f（x）=0的根，那么f（a）=0。
一． 裴蜀定理（余数定理）多项式f（x）除以x-a所得的余数等于f（a）
证明：设f（x）除以x-a所得的商是q（x），余数是r
那么，f（x）=（x-a）q（x）+r对于x任何值都成立，因此当x=a时也成立
f（a）=（a-a）q（a）+r
所以r=f（a）
推论1.要使多项式f（x）能被x-a整除，必须并且只须
f（a）=0
推论2.要使x=a是方程f（x）=0的根，必须并且只须
多项式f（x）能被x-a整除。
例1. xnan（n为自然数）能被xa整除的条件。
例2. 求证：如果f（x）=0，有两个不相等的根a和b，那么f（x）能够被（x-a）（x-b）整除。
例3. 试证：多项式x9 +x8+……+x+1能整除多项式x9 999+x8888+……+x1111+1
二． 综合除法（霍纳法）
综合除法是求f（x）除以（x-a）所得的商和余数的一种简便方法。设a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an除以x-a所得的商是b0xn-1+b1xn-2+ b2xn-3+……+ bn-2x+ bn-1余数是r那么，
a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an=(x-a)（b0xn-1+b1xn-2+ b2xn-3+……+ bn-2x+ bn-1）+r= b0xn+（b1-ab0）xn-1+（ b2-ab1）xn-2+……+ （bn-abn-1）x -abn-1+ r比较系列：
b0=a0， 所以b0=a0
b1-ab0=a1 b1=a1+ab0
b2-ab1=a2 b2=a2+ ab1
…… ……
bn-1-abn-2=an-1 bn-1=an-1 +abn-2
r-abn-1=an r=an +abn-1
从上面等式可看出，商的各项系数b1，b2，……bn-1和余数r，可以很方便地计算出来：
a0 a1 a2 …… an-1 an a
ab0 ab1 …… abn-2 abn-1
b0=a0 b1=a1+ab0 b2=a2+ ab1…… bn-1=an-1 +abn-2 r=an +abn-1
b0就是a0，可以简单地写下来，把a与b0的积ab0 加到a1
上，就得b1，再把a与b1 的积加到a2 上，就得b2，以此类推，最后把a与bn-1的积abn-1加到an上，就得到余数r。
例1．用综合除法求3x4-7x3+4x2+x-6除以x-2所得的商和余数。
例2.已知f（x）=2x5-15x3+10x2-9用综合除法求f（-3）。
例3.分解因式4x4+4x3-9x2-x+2
例4. 解方程：604x+28㏒3x-23㏒2x-7㏒x+2=0
习题：1.已知ax4+bx3+1能够被（x-1）2整除，求a和b的值。
2.用综合除法求f（x）=-2x5+2x3+4x-3在x=-3时的函数数值f（-3），并求（x+3）除f（x）的商式部分。
3.求证：多项式f（x）除以（x-a）（x-b）所得的余式是
f（a）-f（b） x+a f（b）- b f（a） （ab）
a-b a-b
4.分解因式：16a4-32a3b+24a2b2-8ab3+b4
5.设有多项式f（x）=x4444+x3333+x2222+x1111可被x4+x3+x2+x整除。
6.设有多项式f（x）=4x4+4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2（p）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2-4q+4（m+1）=0那么f（x）恰好是一个二次三项式的完全平方。
（2）如果f（x）与F（x）=（2x+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2-4q+4（m+1）=0。
7.已知P（x）=（x+1）2n+2x（x+1）2n-1+……+2nxn（x+1）n
证明：（x-1）P（x）+（x+1）2n+1能被xn+1整除。
8.求证：（x-y）6n-1整除整除
+ （y-z）6n-1+ （z-x）6n-1 能被x2+y2+z2-xy-yz-zx整除。
9.已知：f（x）= a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an（a0）
的系数都是偶数。求证：这个多项式能被x-1所整除的必要与充分条件。
三． 有关一元n次方程的根的定理
1. 高斯定理：一元n次方程至少有一个根。
2. 一元n次方程有n个根，并且只有n个根。
3. 如果f（x）= g1（x）g2（x）……gn，（x），g1（x），g2（x），……，gn，（x）的次数都大于0，那么方程g1（x）=0，g2（x）=0，……，gn，（x）=0的所有的根合在一起，就是方程f（x）=0的所有的根。
4. 有理整方程根的定理
（1） 如果方程f（x）=0的系数都为正值（或负值），那么此方程必无正根。
（2） 如果方程f（x）=0,奇数项系数都为正值（或负值），那么此方程必无负根。
（3） 如果方程f（x）=0,有一无理根a+b，那么一定还有一个无理根a-b。
5. 实系数方程f（x）=0,当n是奇数时，至少有一个实数。
6. 实系数方程f（x）=0，如果有一虚根a+bi那么一定还有一个虚根a-bi。
有关根的定理还很多，如重根、根的位置、近似根等等。
四． 整数系数方程的有理根的求法
1. 如果既约分数p/q是整系数方程a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an=0的根那么p一定是an的约数，q一定是a0的约数。
证明：因为p/q是f（x）=0的根，所以f（p/q）=0即a0（p/q）n+a1（p/q）n-1+ a2（p/q）n-2+……+ an-1（p/q）+ an=0乘qn得： a0pn+a1pn-1q+ +……+ an-1pqn-1+ anqn=0
anqn=-p(a0pn-1+a1pn-2q +……+ an-1qn-1)所以anqn/p=-（a0pn-1+a1pn-2q +……+ an-1qn-1）
显然右边是一个整数，以至于anqn/p也是一个整数，但是，p/q是一个既约分数，p的任何一个质因数在q中都没有，在qn中也没有，由此可知p一定是an的约数。
2. 如果一个整系数方程的最高顶的系数是1，那么这个方程有理根只能是整数。
3. 整系数方程的整数根一定是常数项的约数。
例1. 解方程：5x6-7x5+8x4-x3+7x2+8x-4=0
例2. 已知：一个三角形三个内角A、B、C依次成等差数列，这三个角的正切值、、恰为方程x3-（3+2k）x2+（5+4k）x-（3+2k）=0的三个根，又这个三角形的面积为2（3-）求这个三角形的三个角和三个边。
习题1.解方程3x5-8x4+x2+12x-4=0
习题2.因式分解：10x4+41x3+46x2+20x+3
习题3.已知：2与3是方程2x3+mx2+-13x+n=0的根，求m、n，此方程的三个根。
习题4.已知：ABC的三内角A、B、C的正弦值是方程x3-（+1）x2+（-m）x+m=0的三个根，求：A、B、C的度数及m值。
五． 一元n次方程的根和系数的关系
如果一元n次方程a0xn+a1xn-1+ a2xn-2+……+ an-1x+ an=0的根是x1，x2，……xn
x1+x2+……+xn=-an/a0
x1x2+ x1x3+……+ xn-1xn=a2/a0
x1x2……xn=（-1）n an/a0
证明：因为x1，x2，……xn是方程f（x）/ a0=0的n个根，所以xn+a1xn-1/ a0+ a2xn-2/ a0+……+ an/ a0=（x-x1）（x-x2）……（x-xn）=xn-（x1+x2+……+xn）xn-1+（x1x2+ x1x3+……+ xn-1xn） xn-2+……+（-1）n x1x2……xn
比较对应项的系数就得出定理的结论。
例1.已知α、β、γ是方程是方程2x3+x2-4x+1=0的根求下列各式的值
（1）1/αβ+1/βγ+1/αγ
（2）α2+β2+γ2
（3）α3+β3+γ3
例2.已知方程x3+px2+qx+r=0的三个根为α、β、γ求以下列条件为根的方程
（1）-α、-β、-γ
（2）kα、kβ、kγ
（3）1/α、1/β、1/γ
（4）-1/α2、-1/β2、-1/γ2
（5）α2、β2、γ2
（6）α+k、β+k、γ+k
（7）α/βγ、β/αγ、γ/αβ
例3.设方程x4+1/3x2+1/200=0的四个根成等差数列，其中α在0与2之间，求此α角，并求此四根之值
习题1.已知α、β、γ是方程x3-2x2+x-3=0的根，求下列各式的值
（1） α/βγ+β/αγ+γ/αβ
（2） βγ/α+αγ/β+αβ/γ
（3） （α+β）（β+γ）（r+α）
（4）（α2+β2）（β2+γ2）（γ2+α2）
（5）α(1/β+1/γ)+β(1/α+1/γ)+γ(1/α+1/β)
习题2.已知α、β、γ是方程x3+2x2+3x+4=0的根，求以下列条件为根的方程
（1） α2+β2，β2+γ2，γ2+α2
（2） α（β+γ），β（r+α），γ（α+β）
（3） αβ+1/γ，βγ+1/α，αγ+1/β
（4） α/β+γ-α、β/α+γ-β、γ/β+α-γ
习题3.已知方程x3+3x2+mx+n=0的三个根成等差数列，而方程x3-（m-2）x2+（n-3）x-8=0的三个根成等比数列，求m和n的值。
习题4.用韦达定理解下列方程式
（1）
a3-a2x+ay-z=0 （2） x+y+z=15
b3-b2x+by-z=0 x2+y2+z2=83
c3-c2x+cy-z=0 x3+y3+z3=495
习题5.设一个四次项f（x）的x4项的系数和常数项分别为1和48，又它的四个根分别是两个正三角形的边和高，又这两个正方形的面积比试4：1求这个一元四次式。
六． 几种类型的高次方程的解法
1. 倒数方程：起首尾等距的两项系数相等（或绝对值相等）的方程，叫做到数方程。
例1. 2x5+5x4-13x3-13x2+5x+2=0
例2. 4x4-12x3+x2+12x+4=0
2. 二项式方程：方程a0xn+an=0叫做二项方程。
例1. 当n=3、4和6时，用分解因式的方法解方程
xnan=0（a）
例2. 解方程x12+1=0
3. 三项方程：方程ax2n+bxn+c=0叫做三项方程
由于xn=故可化为二项方程来解。
例1. 解方程：36x8-13x4+1=0
例2. 解方程：x10+33x5+32=0
4. 三次方程：假设已知方程x3+ax2+bx+c=0解：设x=y-a/3则可化为y3+py+q=0再令y=u+v
可得：（u+v）3+p（u+v）+q=0
u3+v3+(3uv+p)（u+v）+q=0选取u、v使3uv+p=0，即uv=-p/3于是有
u3v3 =-p3/27
u3+v3=-q
解之得：u3=-q/2+
v3=-q/2- 卡丹公式：
x=+
判别式：实系数三次方程x3+px+q=0
判别式=q2/4+p3/27
（1） 当时，方程有一个实根，两个复根
（2） 当时方程都是实根，并且其中有两个相等
（3） 当时，方程有三个相异的实根。
例1. 解方程：x3-9x2+36x-80=0
例2. 解方程：2x3-6x2+12x-11=0
5. 四次方程： x4+ax3+bx2+cx+d=0
（1） 费拉利法：原方程可化为（x2+ax/2）2-【（a2
/4-b）x2-cx-d】=0， 方程加上，2（x2+ax/2）t/2+（t/2）2,使2（x2+ax/2）t/2+（t/2）2和（x2+ax/2）2，配成完全平方。
同时再减去2（x2+ax/2）t/2+（t/2）2，使2（x2+ax/2）t/2+（t/2）2和（a2/4-b）x2-cx-d也成为一个完全平方。
于是，（x2+ax/2+ t/2）2-【（a2/4-b+t）x2+（at/2-c）x+t2/4-d】=0方括号内的x二次三项式是一个完全平方的条件，是它的判别式为0，（at/2-c）2-4（a2/4-b+t）（t2/4-d）=0设t0为一根，则有（x2+ax/2+ t0/2）2-（x+）2=0分解为：x2+（a/2+）x+（ t0/2）=0，x2+（a/2-）x+（ t0/2）=0
解此二次方程即可。
此公式比较复杂，解题时很少用，解方程时多用其推导的思想方法。
（2） 待定系数法（笛卡尔法）
例x4-4x3+x2+4x+1=0
一般地来说，用代数解法（只用加、减、乘、除、乘方、开方六种运算）只能到四次方程。而五次方程以上的一般不能用代数解来解。这个结论到十九世纪才由法国数学家伽罗华作了严密的证明。
习题1.解方程：2x4+3x3-16x2+3x+2=0
2.解方程：6x6+5x5-44x4+44x2-5x+6=0
3.解方程：4x4+2（x+1）2-4x2（x+1）=0
4.解方程：x3+2x2+3x+-1=0
5.解方程：27x6-8=0
6.解方程：x10+x6-x4-1=0
7. 解方程： x3+3x2+6x+5=0
8.解方程：x3+12x2+24x-64=0
9.解方程：x3-12x-8=0
10. 解方程：x4+8x3+22x2+32x+21=0返回搜狐，查看更多
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