散度的计算公式推导公式是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-29 09:06 标签： 旋度计算公式

散度在物理学中是一个非常重要的量，本人在学习电动力学的时候就会遇到各种坐标系情况下的散度。由于当时不知道散度的一般公式，所以都是死记硬背；但一段时间不用之后就会遗忘，再用时还需要再查书，非常麻烦。所以本文就希望给出不同坐标系下的散度的一般公式，不用再苦于记忆。文章开头首先直接给出结果\nabla\cdot\vec{v} =\nabla_av^a =\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^a}\left(\sqrt{|g|}v^a\right)\\\tag{1.1}其中 g=det(g_{ab})， g_{ab} 是坐标系的度规。证明：
在求出散度之前我们要计算矢量导数的一般表达式，然后再通过缩并求得散度，所以首先矢量的导数 \nabla_av^b=\partial_av^b+\Gamma^a_{\ \ bc}v^c\\\tag{2.1} 其中 \partial_a=\frac{\partial}{\partial x^a}， \Gamma^a_{\ \ bc} 是Christoffel 符号，具体表达式为 \begin{align} \Gamma^a_{\ \ bc}&=\frac{1}{2}g^{ad}(\partial_bg_{cd}+\partial_cg_{db}-\partial_dg_{bc})\\ &=\frac{1}{2}g^{ad}\partial_cg_{db}+g^{ad}\partial_{[b}g_{d]c} \end{align}\\\tag{2.2} 然后进行缩并，令 a=b ，会得到\begin{align} \Gamma^a_{\ \ ac} &=\frac{1}{2}g^{ad}\partial_cg_{ad}+g^{(ad)}\partial_{[a}g_{d]c}\\ &=\frac{1}{2}g^{ad}\frac{\partial g_{ad}}{\partial x^c} \end{align}\\\tag{2.3} 第一步利用了 g_{ab} 是个对称张量，第二步利用了不同括号缩并为零的性质，详情可看梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》上册，第2章末。
接下来就是要做变换，让Christoffel 符号和坐标系联系起来。
首先我们分解一下 g_{ab}
的行列式g=g_{ab}M^{ab}\\\tag{2.4}其中 M^{ab} 是代数余子式，从公式（2.4）可以推出\frac{\partial g}{\partial g_{ab}}=M^{ab}\\\tag{2.5} g_{ab} 的逆矩阵 g^{ab} ，表达式为 g^{ab}=\frac{M^{ab}}{g}\\\tag{2.6} 于是就可以得到如下的公式gg^{ab}=M^{ab}=\frac{\partial g}{\partial g_{ab}}\\\tag{2.7}再利用链式法则就可以得到如下的公式\frac{\partial g}{\partial x^c}=\frac{\partial g}{\partial g_{ab}} \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c}\\\tag{2.8}拐了这么一个大弯，我们终于可以把Christoffel符号和坐标系联系起来了，把公式（2.8）带入公式（2.3）中，可以得到\begin{align} \Gamma^a_{\ \ ac}=\frac{1}{2}\frac{1}{g}\frac{\partial g}{\partial x^c}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial\sqrt{|g|}}{\partial x^c} \end{align}\\\tag{2.9}最终散度的表达式为\begin{align} \nabla\cdot\vec{v} &=\nabla_av^a\\ &=\frac{\partial v^a}{\partial x^a}+\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial\sqrt{|g|}}{\partial x^a}v^a\\ &=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \left(\sqrt{|g|}\frac{\partial v^a}{\partial x^a}+v^a\frac{\partial\sqrt{|g|}}{\partial x^a}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^a}\left(\sqrt{|g|}v^a\right) \end{align}\\\tag{2.10} Q.E.D\\例子：
让我们来举几个常见的坐标系来验证一下公式是否正确1.直角坐标系
直角坐标系的度规为g_{ab}=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right)\\\tag{3.1.1} 很容易就可以得到散度的表达式\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial}{\partial x^a}(v^a)=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\\\tag{3.1.2} 2.球坐标系
球坐标系的度规为g_{ab}=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&r^2&0\\ 0&0&r^2\sin^2\theta \end{matrix} \right)\\\tag{3.2.1} 很容易就可以求得g=r^4\sin^2\theta\\\tag{3.2.2} 散度的表达式为\nabla\cdot\vec{v} =\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial x^a}(r^2\sin\theta\ v^a)\\\tag{3.2.3}
在这里需要注意的是，球坐标系一般取正交归一的基底 \{e^a\} ，而我们现在的基底为\left\{ \left(\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right)^a \right\} = \left\{ \left(\frac{\partial}{\partial r}\right)^a,\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^a, \left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)^a \right\}\\\tag{3.3.4} 两者的关系为(e_r)^a=\left(\frac{\partial}{\partial r}\right)^a,(e_\theta)^a=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\right)^a,(e_\varphi)^a=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)^a\\\tag{3.3.5}变换完基底之后，散度的表达式为\begin{align} \nabla\cdot\vec{v} &=\frac{1}{r^2\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r^2\sin\theta\ v_r)+\frac{\partial}{\partial\theta}({r\sin\theta}\ v_\theta)+\frac{\partial}{\partial\varphi}(rv_\varphi)\right]\\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2v_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\ v_\theta)}{\partial\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\ v_\varphi}{\partial\varphi} \end{align}\\\tag{3.3.6} 这就是常见的球坐标系下的散度公式。3.柱坐标系
柱坐标系的度规为g_{ab}=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&r^2&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right)\\\tag{3.4.1}度规的行列式也很容易求得 g=r^2\\\tag{3.4.2}散度的计算公式为\nabla\cdot\vec{v} =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial x^a}(rv^a)\\\tag{3.4.3}在这里还是要考虑坐标基底的变换，两组基底的关系为(e_r)^a=\left(\frac{\partial}{\partial r}\right)^a,(e_\theta)^a=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\right)^a,(e_z)^a=\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^a\\\tag{3.4.4} 于是散度的最终表达式为\begin{align} \nabla\cdot\vec{v} &=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial (rv_r)}{\partial r}+\frac{\partial(v_\theta)}{\partial\theta}+\frac{\partial (rv_z)}{\partial z}\right]\\ &=\frac{1}{r}\frac{\partial(rv_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial v_z}{\partial z} \end{align}\\\tag{3.4.5}
1、梯度、散度和旋度定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为。三维坐标系下，有或者其中分别为xyz方向上的单位矢量。2 梯度（Gradient）2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f的结果（f可以是标量和向量）。标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。2.2 梯度的性质c=0(RS)= R+S其中，C为常数，R、S为两个标量场，f为一连续可微函数。3 散度（Divergence）散度是哈密顿算子与矢量函数f点积的结果，是一个标量。设矢2、量函数则散度表示为：散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当，该点有散发通量的正源（发散源）；当，该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当，该点无源。4 旋度（Curl, Rotation）旋度是哈密顿算子与矢量函数f叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数则旋度：旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。该向量提供了向量场在这一点的旋转性质。小提示：通量是单位时间内通过某个曲面的量，散度是通量的强度。环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量，旋度是环流量强度。5 拉普拉斯算子（Laplace Operator）拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的二阶微分算子，定义为梯度（f）的散度（f）。拉普拉斯算子定义为：即：6 重要的公式6.1 算符的对易性函数S(x,y,z,t)满足必要的连续性条件时：6.2 梯度、散度和旋度的混合运算（标量场S的梯度没有旋转变换）（向量场A的旋度没有

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