一元二次方程有两个实数根的根是如何确定的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-24 22:03 标签： 一元二次方程有两个实数根
学习一元二次方程，就必须要提到韦达定理，这个定理的重要性超乎你的想象，和它的谐音一样，伟大定理。它很形象，很简便的展示了根和系数的关系。在我们日常解题的过程中，为我们省去大量的时间一．韦达定理如果ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1，x2，当△≥0时，则x1+x2=-（b/a）,x1·x2=c/a，1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x^2+bx+c=0则x1+x2=-b，x1·x2=c，这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，也就是韦达定理。其实证明的过程也不复杂，利用求根公式也可以证明用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，一定需要注意的是△的大小。若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac≥0 则方程有两个实数根韦达定理的应用其实有很多方面，具体总结有下面几种：1．题意中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；2．已知原方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．已知方程的两根，求解原方程；4．根据根的判别式，判断每个根的符号；5．还有一部分应用，比如当已知等式具有和一元二次方程相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，然后利用韦达定理求．例1：已知方程3x^2+kx-18=0的一个根式2，求另一个根以及K的值。分析：按以往的经验是将x=2带入方程，求出k，在求解。但是现在可以用韦达定理进行求解。设方程的两根为x1，x2，则x1=2，x2是未知数。两根公式x1·x2=-6，∴x2=-3.x1+x2=-k/3=-1.所以k=3.例2：设a，b是一元二次方程x^2+3x-7=0的两个根，求a^2+4a+b的值。解：根据韦达定理可知，a+b=-3，将a带入原方程得a^2+3a-7=0,所以a^2+3a=7。a^2+4a+b=a^2+3a+a+b=7-3=4.例3：设x1，x2是方程x^2-2(k+1)+k^2+2=0的两个不相等的实数根，且有（x1+1）·（x2+1）=8，求K的值。解：有韦达定理可知x1+x2=2（k+1），x1·x2=k^2+2。且△=b^2-4ac=4（k+1）^2-4(k^2+2)=8k-4＞0,得k＞1/2。将（x1+1）·（x2+1）=8去括号得，k^2+2k-3=0。解关于k的一元二次方程得k=-3或者k=1.又因为k＞1/2，所以k=1.这个题的关键点就是根据△的大小判断k的取值范围。

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