如何解决这道数学题不是很容易？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-03-22 18:16 标签： 解决这道数学题不是很容易

题：一所语言学校有一些教师：40名德语教师，35名日语教师和60名法语教师。20名教师教授德语和日语，6名教师教授日语和法语，10名教师教授德语和法语，3名教师教授所有三种语言。有8位...
题：一所语言学校有一些教师：40名德语教师，35名日语教师和60名法语教师。20名教师教授德语和日语，6名教师教授日语和法语，10名教师教授德语和法语，3名教师教授所有三种语言。有8位老师不教这三种语言中的任何一种。有多少语言老师？答案会是什么？答案选项如下： 展开
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先给n=2,3,4,5的情况下，每一种排列，跑个车链数模拟。
n = 2car seq (1, 2)final links are [(1,), (2,)] length : 2car seq (2, 1)final links are [(2, 1)] length : 1for n=2 link_counts of all permutations are [2, 1]average link_counts is 1.5
n = 3car seq (1, 2, 3)final links are [(1,), (2,), (3,)] length : 3car seq (1, 3, 2)final links are [(1,), (3, 2)] length : 2car seq (2, 1, 3)final links are [(2, 1), (3,)] length : 2car seq (2, 3, 1)final links are [(2, 3, 1)] length : 1car seq (3, 1, 2)final links are [(3, 1), (2,)] length : 2car seq (3, 2, 1)final links are [(3, 2, 1)] length : 1for n=3 link_counts of all permutations are [3, 2, 2, 1, 2, 1]average link_counts is 1.8333333333333333
n = 4for n=4 link_counts of all permutations are [4, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1]average link_counts is 2.0833333333333335
for n=5 link_counts of all permutations are [5, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2,
1, 2, 1, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2,
1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 1]average link_counts is 2.283333333333333
定义n辆车的平均车链数为 A_n ，n辆车的全排列数为 n! ,若其中每一种排列对应的车链数为K_{n,i} \qquad i\in[1,P(n,n)] ,n辆车全排列的每一种情况的车链数总和为 S_n
既
S_n = \sum_{i=1}^{n!}K_{n,i}
A_n = \frac{S_n}{n!}
考虑 S_n 和 S_{n-1} 的关系。在n辆车中挑出最快的一辆。则其余(n-1)辆车全排列的基础上，每种排列里的n个位置再分别重新插回最快的一辆，就构成了新的n个n辆车的排列。
每一组新的n个排列中，只有当最快的车被插在最后的那个排列，才会使得车链多出一组，其他排列情况最快的车都会加入原有的某个车链。
比如n=4的情况下，对于原先n=3的排列之一 (2, 1, 3)。 新的最快的车 4可以有4种不同的插入方式。（4，2，1，3），（2，4，1，3），（2，1，4，3），（2，1，3，4）
只有最后一种插入方式才会对车链数产生影响，其他插入方式都会导致这量最快的车追上前车而链入某个原来的车链。
所以这一组新产生的n个排列的车链数总和为
K_{n-1,i}\cdot{n}+1
把n-1组排列的车链数加起来，就是n辆车全排列下车链数总和
S_n = \sum_{n=i}^{(n-1)!}K_{n-1,i}\cdot{n}+1
S_n = (n-1)!+{n} \cdot \sum_{n=1}^{(n-1)!}{K_{n-1,i}}
S_n = (n-1)!+{n} S_{n-1}
把An和Sn关系带入。
A_n = \frac{(n-1)!+{n} S_{n-1}}{n!}
A_n = \frac{(n-1)!+{n} S_{n-1}}{n!}
A_n = \frac{(n-1)!}{n!}+\frac {S_{n-1}}{(n-1)!}
A_n = \frac{1}{n}+A_{n-1}
即
A_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}
验算一下。
for n=1,avg link count is 1.0for n=2,avg link count is 1.5for n=3,avg link count is 1.8333333333333333for n=4,avg link count is 2.083333333333333for n=5,avg link count is 2.283333333333333for n=6,avg link count is 2.4499999999999997for n=7,avg link count is 2.5928571428571425for n=8,avg link count is 2.7178571428571425for n=9,avg link count is 2.8289682539682537
和上面的模拟一样。

这是个很有意思的问题。
首先， c 不能为负，否则当 n 充分大以后， n^c 将不再是整数，于是可命 c\ge0. 下面考虑利用反证法，不妨设 k-1<c<k, 其中 k\in\mathbb{N_+}.
置 f(x)=x^c,记 f(x) 的k 阶差分为 \Delta^kf(x), 依中值定理，存在 n<\xi_n<n+k 使得 \Delta^kf(n)=f^{(k)}(\xi_n)=c(c-1)\cdots(c-k+1)\xi_n^{c-k}, 其中 -1<c-k<0.
这将出现很奇怪的事情：依题设，无论 n,k 如何取值，这左端的差分总是整数，但基于与前类似的理由，只要 n 充分大，右端就可任意地小，以至于落入 (0,1) 之中，这就不再是整数，从而导致矛盾。
编辑于 2022-08-13 13:07
o 随便写写的，如有问题，还望指正我提一个问题哈，3^{x} =5,那么显然x不为整数。 所以是不是题目出错了嘛:D
我想到如何证明了:D，证明如下
因为原题给出条件，对于任意正整数n ， n^{c}都为整数。其实，我们只需要假定n为2和3。(我们假设2^{c}=d_{1},3^{c}=d_{2})
要证明c是整数，只需证明当c不为整数时,d_{1}依旧为整数
而d_{2}不为整数，与原题违背就可以得证
我们显然有定理1:设 a^{b}＝c,而b＝\frac{p}{q},p与q互质,且p≠q,则c为无理数
证明如下: a^{\frac{p}{q}}＝\sqrt[q]{a^{p}},而又因为p与q互质，则p与q有唯一公因数，即1，因此c为无理数
好了，我们可得 d_{1}为正整数 ， 又因为c不为正整数，且根据定理1，c显然不为分数，因此c为无理数
我们又令c＝k_{1}+k_{2}+k_{3}+……, 则3^{c}＝3^{k_{1}}·3^{k_{2}}·3^{k_{3}}·……
再令k_{n}＝\frac{p_{n}}{q_{n}}
所以原式为3^{c} ＝3^{k_{1} } ·\sqrt[q_{2} ]{3^{p_{2} } } ·\sqrt[q_{3} ]{3^{p_{3} } } ·…… 而我们又可以令无理数的指数相同，令其为q_{2}
接下来，为简便的(懒)，我就直接写出最后的表达式了
\sqrt[q_{2} ]{3^{p_{2}(1+\frac{p_{3} }{q_{3} } +……) } } ,而 (1+\frac{p_{3} }{q^{3} } +……)趋近于1.1 ，
要证明其值为无理数，只需证nq_{2} ≠p_{2} (1+\frac{p_{3} }{q_{3} } +……)(其中n为正整数)
显然，这是得证的。因为左式的积为整数，而(1+\frac{p_{3} }{q_{3} } +……)为无理数，且p_{2} 为整数
整数等于无理数，这是不可能的，因此原命题得证 ，所以c必定为整数
编辑于 2022-08-09 22:48

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